2023-2024学年河北省邢台市高二上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在长方体中，下列向量与是相等向量的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示的长方体中，A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确；C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确，故选：B2.如图,在中,点分别是棱的中点,则化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以.故选：C.3.过两点的直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线斜率为，则，故选：D.4.已知，直线l过且与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（）A.或 B.C. D.以上都不对【答案】A【解析】由题意得，，若直线l过点且与线段相交，则或,故选：A.5.直线与直线平行，则的值为（）A.或 B.C.或 D.【答案】B【解析】因为直线与直线平行，则，解得或，当时，两直线方程都是，则两直线重合，不满足题意；当时，两直线方程分别为：，，满足题意；综上，.故选：B6.圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，故，解得，故关于直线对称点为，所以所求的圆的方程为．故选：C7.已知为等差数列的前项和，，则（）A.240 B.60 C.180 D.120【答案】D【解析】因为数列为等差数列，所以，所以，所以．故选：D．8.已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，，解得，，所以双曲线的方程是．故选：D．二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】ACD【解析】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意；对于B，假设，，共面，则，使得，故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面；故B不符合题意；对于C，，故三个向量共面，故C符合题意；对于D，，故三个向量共面，故D题意符合．故选：ACD．10.已知圆与直线，下列选项正确的是（）A.直线与圆必相交B.直线与圆不一定相交C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相切【答案】AC【解析】直线过定点，又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，所以A正确，B，D错误，因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.所以最短弦长为，故C正确，故选：AC.11.已知点，，直线：，则下列结论正确的是（）A.当时，点，到直线距离相等B.当时，直线的斜率不存在C.当时，直线在轴上的截距为D.当时，直线与直线平行【答案】CD【解析】对于A：当时，直线为，此时，，显然不满足题意，故A错误；对于B：时，直线为，直线斜率为，故B错误；对于C：时，直线为，取，则，故C正确；对于D：时，直线为，，不过A点，而，，所以直线与直线平行，故D正确；故选：CD.12.已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，可得，可得，A对；所以，抛物线的方程为，其准线方程为，故，B对；易知点，直线斜率为，直线的方程为，联立，解得或，即点，所以，，C对；，故、不垂直，D错.故选：ABC.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______.【答案】【解析】椭圆的半焦距，其焦点坐标为，由椭圆的定义得所求长轴长.故答案：14.抛物线的准线方程为______.【答案】【解析】由题意抛物线的标准方程为，其准线方程为.故答案为：.15.已知数列满足，则__________.【答案】【解析】因为，所以，所以，故.故答案为：416.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由；由.综上：且.故答案为：.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线：，直线：（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．解：（1）由，则，即，所以或，当，，，两线重合，不合题设；当，，，符合题设；综上，（2）由，则，即，所以，即或.18.已知圆过点和．（1）求圆的方程；（2）求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．解：（1）设圆的一般方程为：，分别代入点和.，解得,故圆的方程为：.（2）因为、所以直线的方程为：，故设直线的方程为：.由题意可知，圆心，被圆截得弦长等于则可知到直线与直线的距离相等.故有，解得或所以直线的方程：或19.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积．解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，因为焦距为，，又离心率，，；再由，所以椭圆标准方程为：；（2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为：则，设，则，由弦长公式，到直线的距离，.20.已知数列满足：，数列为等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求和：．解：（1）因为，，数列为等比数列，所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.（2）.21.如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面；解：由题意，以点为坐标原点，，,分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，则，故，，即，又平面，故平面.22.已知抛物线E：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点.（1）求面积的最小值；（2）设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴.解：（1）由得，，∴，依题意得的斜率存在，设直线的方程，，，由得：，∴，，∴，又O到的距离，.（2）由（1）得直线的方程，的横坐标为，又由得的横坐标为，因为，的横坐标相同，所以平行于轴.河北省邢台市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在长方体中，下列向量与是相等向量的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示的长方体中，A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确；C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确，故选：B2.如图,在中,点分别是棱的中点,则化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以.故选：C.3.过两点的直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线斜率为，则，故选：D.4.已知，直线l过且与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（）A.或 B.C. D.以上都不对【答案】A【解析】由题意得，，若直线l过点且与线段相交，则或,故选：A.5.直线与直线平行，则的值为（）A.或 B.C.或 D.【答案】B【解析】因为直线与直线平行，则，解得或，当时，两直线方程都是，则两直线重合，不满足题意；当时，两直线方程分别为：，，满足题意；综上，.故选：B6.圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，故，解得，故关于直线对称点为，所以所求的圆的方程为．故选：C7.已知为等差数列的前项和，，则（）A.240 B.60 C.180 D.120【答案】D【解析】因为数列为等差数列，所以，所以，所以．故选：D．8.已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，，解得，，所以双曲线的方程是．故选：D．二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】ACD【解析】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意；对于B，假设，，共面，则，使得，故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面；故B不符合题意；对于C，，故三个向量共面，故C符合题意；对于D，，故三个向量共面，故D题意符合．故选：ACD．10.已知圆与直线，下列选项正确的是（）A.直线与圆必相交B.直线与圆不一定相交C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相切【答案】AC【解析】直线过定点，又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，所以A正确，B，D错误，因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.所以最短弦长为，故C正确，故选：AC.11.已知点，，直线：，则下列结论正确的是（）A.当时，点，到直线距离相等B.当时，直线的斜率不存在C.当时，直线在轴上的截距为D.当时，直线与直线平行【答案】CD【解析】对于A：当时，直线为，此时，，显然不满足题意，故A错误；对于B：时，直线为，直线斜率为，故B错误；对于C：时，直线为，取，则，故C正确；对于D：时，直线为，，不过A点，而，，所以直线与直线平行，故D正确；故选：CD.12.已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，可得，可得，A对；所以，抛物线的方程为，其准线方程为，故，B对；易知点，直线斜率为，直线的方程为，联立，解得或，即点，所以，，C对；，故、不垂直，D错.故选：ABC.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______.【答案】【解析】椭圆的半焦距，其焦点坐标为，由椭圆的定义得所求长轴长.故答案：14.抛物线的准线方程为______.【答案】【解析】由题意抛物线的标准方程为，其准线方程为.故答案为：.15.已知数列满足，则__________.【答案】【解析】因为，所以，所以，故.故答案为：416.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由；由.综上：且.故答案为：.四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线：，直线：（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．解：（1）由，则，即，所以或，当，，，两线重合，不合题设；当，，，符合题设；综上，（2）由，则，即，所以，即或.18.已知圆过点和．（1）求圆的方程；（2）求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．解：（1）设圆的一般方程为：，分别代入点和.，解得,故圆的方程为：.（2）因为、所以直线的方程为：，故设直线的方程为：.由题意可知，圆心，被圆截得弦长等于则可知到直线与直线的距离相等.故有，解得或所以直线的方程：或19.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积．解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，因为焦距为，，又离心率，，；再由，所以椭圆标准方程为：；（2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为：则，设，则，由弦长公式，到直线的距离，.20.已知数列满足：，数列为等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求和：．解：（1）因为，，数列为等比数列，所以，，则，即是