2023-2024学年广东省揭阳市普宁市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省揭阳市普宁市2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知椭圆，则它的短轴长为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B2.已知直线m经过，两点，则直线m的斜率为（）A.-2 B. C. D.2【答案】A【解析】直线的斜率为：.故选：A3.已知空间向量，，则（）A. B.19 C.17 D.【答案】D【解析】因为，，所以，故，故选：D.4.在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32 C.36 D.37【答案】C【解析】数列的前6项之和为.故选：C.5.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台站的距离至少为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设震中为，依题意有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线靠近的一支，因为，当且仅当三点共线时，取等号，所以,所以，所以震中到地震台站的距离至少为.故选：A6.已知圆和存在公共点，则m的值不可能为（）A.3 B. C.5 D.【答案】D【解析】因为圆和存在公共点，所以两圆相交或者相内切或者相外切，即，解得，选项ABC满足，m的值不能为D.故选：D7.如图，在四面体中，是的中点,设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，．故选：B．8.对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在,则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（）A.若，则数列是无界的 B.若，则数列是有界的C.若，则数列是有界的 D.若，则数列是有界的【答案】C【解析】对于A，恒成立，存在正数，使得恒成立，数列是有界的，A错误；对于B，，，，即随着的增大，不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，B错误；对于C，当偶数时，；当为奇数时，；，存在正数，使得恒成立，数列是有界的，C正确；对于D，，；在上单调递增，，不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，D错误.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知向量，则与同向共线的单位向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为向量，所以，所以与同向共线的单位向量为：，故选：C.10.已知数列满足，，记，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由题意可得，所以，所以A错误，B正确；又，故，即，所以为等差数列，故，所以C正确，D错误，故选：BC.11.已知直线与圆，则下列结论正确的是（）A.存在，使得的倾斜角为B.存在，使得的倾斜角为C.存在，使直线与圆相离D.对任意的，直线与圆相交，且时相交弦最短【答案】AD【解析】对于A中，当时，直线，此时直线的倾斜角为，所以A正确；对于B中，当时，可得直线的斜率为，若直线的倾斜角为，可得，即，此时方程无解，所以B错误；对于C中，由直线，可化为，令，解得，即直线恒经过点，又由圆圆心坐标为，半径为，因为，则，所以点在圆内部，所以无论为何值，直线与圆总相交，所以C错误；对于D中，当时，直线，此时直线的斜率为，又由，此时，即，根据圆的弦的性质，此时弦长最短，所以D正确.故选：AD.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.若，且，则C.分别以线段、为直径的两个圆内切D.【答案】ACD【解析】对于A选项，设点，则，因为、，所以，由，得，故双曲线的渐近线方程为，A对；对于B选项，因为，所以，根据双曲线的定义可得，又因为，所以，整理得.由，可得，即，解得，B错；对于C，设的中点为，为原点.因为、分别为、的中点，所以，则可知以线段、为直径的两个圆内切，C对；对于D，当点在第一象限时，设点，则，.因为渐近线方程为，所以，.当时，即当轴时，则，所以，，可得，所以，，此时，为等腰直角三角形，则，满足；当时，，，所以，因为，所以；当点在第四象限时，同理可得，综上可知，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与直线平行，则___________.【答案】【解析】由题意得：，解得：，经检验符合要求.故答案为：14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则___________．【答案】【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以双曲线的方程可设为，即，因为，所以，解得（负值舍去），所以.故答案为：.15.已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】依题意，，所以前4项都满足的一个通项公式为.故答案为：16.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点,,,,若，则_________．【答案】【解析】设,如下图所示，建立空间直角坐标系，，，，，，则所以又因为所以故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线和直线．（1）若时，求a的值；（2）当平行，求两直线，的距离．解：（1）∵，且，∴，解得．（2）∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直线间的距离为．18.已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．（1）求r的值；（2）若点B为圆O上一点，且直线垂直于直线l，求弦长．解：（1）在中，令，得，故.因为圆O：经过点A，所以，解得.（2）直线l的斜率为2，因为直线垂直于直线l，所以直线的斜率为.所以直线的方程为，即.圆心到直线的距离为，所以.19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，求三棱锥M﹣ACP体积．解：（1）由题意得四边形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC（2）过点A作AE⊥BC于E，易知E为BC中点，以A为原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，.则设，.显然，是平面ACD的一个法向量，设平面MAC的一个法向量为.则有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，有，解得，所以M为PD中点.所以20.已知数列的前项和为..（1）求数列的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①，；②是和的等比中项,.若公差不为0的等差数列的前项和为，且______，求数列的前项和.解：（1）当时，，可得；当时，，所以，即，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）设数列的公差为，若选择①，由题意，解得；所以，由（1）得，，所以，所以，，两式相减得，所以；若选择②，有，即，即，因为，所以，所以，解得，所以，由（1）得，，所以，所以，.两式相减，得，所以.21.在平面直角坐标系中，点在抛物线上．（1）求的值；（2）若直线l与抛物线C交于，两点，，且，求的最小值．解：（1）将代入抛物线，解得：.（2），在抛物线C上，故，，解得：或2，因，所以，即，故，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.22.已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点．（1）求P点的轨迹C的方程；（2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值．解：（1）圆：的圆心，半径为8，因A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点，则，于是得，因此，P点的轨迹C是以，为左右焦点，长轴长2a=8的椭圆，短半轴长b有，所以P点的轨迹C的方程是.（2）因直线过点且与曲线C：相交于M，N两点，则直线的斜率存在且不为0，又不经过点，即直线的斜率不等于-1，设直线的斜率为k，且，直线的方程为：，即，由消去y并整理得：，，即，则有且，设，则，直线MQ的斜率，直线NQ的斜率，，所以直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值.广东省揭阳市普宁市2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知椭圆，则它的短轴长为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B2.已知直线m经过，两点，则直线m的斜率为（）A.-2 B. C. D.2【答案】A【解析】直线的斜率为：.故选：A3.已知空间向量，，则（）A. B.19 C.17 D.【答案】D【解析】因为，，所以，故，故选：D.4.在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（）A.12 B.32 C.36 D.37【答案】C【解析】数列的前6项之和为.故选：C.5.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台站和站相距.根据它们收到的信息，可知震中到站与震中到站的距离之差为.据此可以判断，震中到地震台站的距离至少为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设震中为，依题意有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线靠近的一支，因为，当且仅当三点共线时，取等号，所以,所以，所以震中到地震台站的距离至少为.故选：A6.已知圆和存在公共点，则m的值不可能为（）A.3 B. C.5 D.【答案】D【解析】因为圆和存在公共点，所以两圆相交或者相内切或者相外切，即，解得，选项ABC满足，m的值不能为D.故选：D7.如图，在四面体中，是的中点,设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，．故选：B．8.对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在,则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（）A.若，则数列是无界的 B.若，则数列是有界的C.若，则数列是有界的 D.若，则数列是有界的【答案】C【解析】对于A，恒成立，存在正数，使得恒成立，数列是有界的，A错误；对于B，，，，即随着的增大，不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，B错误；对于C，当偶数时，；当为奇数时，；，存在正数，使得恒成立，数列是有界的，C正确；对于D，，；在上单调递增，，不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，D错误.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知向量，则与同向共线的单位向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为向量，所以，所以与同向共线的单位向量为：，故选：C.10.已知数列满足，，记，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由题意可得，所以，所以A错误，B正确；又，故，即，所以为等差数列，故，所以C正确，D错误，故选：BC.11.已知直线与圆，则下列结论正确的是（）A.存在，使得的倾斜角为B.存在，使得的倾斜角为C.存在，使直线与圆相离D.对任意的，直线与圆相交，且时相交弦最短【答案】AD【解析】对于A中，当时，直线，此时直线的倾斜角为，所以A正确；对于B中，当时，可得直线的斜率为，若直线的倾斜角为，可得，即，此时方程无解，所以B错误；对于C中，由直线，可化为，令，解得，即直线恒经过点，又由圆圆心坐标为，半径为，因为，则，所以点在圆内部，所以无论为何值，直线与圆总相交，所以C错误；对于D中，当时，直线，此时直线的斜率为，又由，此时，即，根据圆的弦的性质，此时弦长最短，所以D正确.故选：AD.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.若，且，则C.分别以线段、为直径的两个圆内切D.【答案】ACD【解析】对于A选项，设点，则，因为、，所以，由，得，故双曲线的渐近线方程为，A对；对于B选项，因为，所以，根据双曲线的定义可得，又因为，所以，整理得.由，可得，即，解得，B错；对于C，设的中点为，为原点.因为、分别为、的中点，所以，则可知以线段、为直径的两个圆内切，C对；对于D，当点在第一象限时，设点，则，.因为渐近线方程为，所以，.当时，即当轴时，则，所以，，可得，所以，，此时，为等腰直角三角形，则，满足；当时，，，所以，因为，所以；当点在第四象限时，同理可得，综上可知，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与直线平行，则___________.【答案】【解析】由题意得：，解得：，经检验符合要求.故答案为：14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则___________．【答案】【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以双曲线的方程可设为，即，因为，所以，解得（负值舍去），所以.故答案为：.15.已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】依题意，，所以前4项都满足的一个通项公式为.故答案为：16.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点,,,,若，则_________．【答案】【解析】设,如下图所示，建立空间直角坐标系，，，，，，则所以又因为所以故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线和直线．（1）若时，求a的值；（2）当平行，求两直线，的距离．解：（1）∵，且，∴，解得．（2）∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直线间的距离为．18.已知直线l：与x轴的交点为A，圆O：经过点A．（1）求r的值；（2）若点B为圆O上一点，且直线垂直于直线l，求弦长．解：（1）在中，令，得，故.因为圆O：经过点A，所以，解得.（2）直线l的斜率为2，因为直线垂直于直线l，所以直线的斜率为.所以直线的方程为，即.圆心到直线的距离为，所以.19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值为，求三棱锥M﹣ACP体积．解：（1）由题意得四边形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC（2）过点A作AE⊥BC于E，易知E为BC中点，以A为原点，AE，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，.则设，.显然，是平面