高考数学总复习《双曲线》专项测试卷附答案

第第页高考数学总复习《双曲线》专项测试卷附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(,2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝12．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0，则该双曲线的实轴长为()A．2 B．1C．eq\r(3) D．2eq\r(3)3．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,24a2)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan∠PF2F1＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(7,4)C．2 D．eq\f(12,5)4．(2024·广东惠州调研)“m>2”是“方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示双曲线”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(2024·河南洛阳联考)设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|＝()A．4 B．3C．2 D．16．(2024·湖南岳阳模拟)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q，P，使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为()A．eq\r(3) B．2C．eq\r(5) D．eq\r(6)7．(2024·河北唐山模拟)已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若|AB|＝|AF|，则C的离心率e＝()A．eq\f(4\r(,15),15) B．eq\f(2\r(,3),3)C．eq\f(\r(,5),2) D．28．(2024·湖南长沙明德中学月考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若cos∠F1MF2＝eq\f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±x D．y＝±2x9．(2024·山东潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为()A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(4,5)二、多项选择题10．(2024·河北唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：eq\f(y2,3)－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则()A．|PF1|－|PF2|＝2eq\r(,3)B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(,3),3)xC．双曲线C的离心率为eq\f(2\r(,3),3)D．|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≥2eq\r(,3)11．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足eq\o(EO,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，则下列结论正确的是()A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0B．双曲线C的离心率为eq\f(\r(,13),2)C．|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝1D．△OMN的面积为6三、填空题与解答题12．(2024·河北模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，实轴长为4，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项，则△ABF1的周长为________．13．(2024·河北六校联考)已知F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝eq\f(2b2,a)，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．14．(2024·河北邢台六校联考)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.高分推荐题15．(2024·河南开封模拟)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为eq\r(,5)的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的．已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部(最细处)的直径为________cm.解析版一、单项选择题1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(,2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1解析：设双曲线方程为eq\f(x2,2m)－eq\f(y2,m)＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.答案：D2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0，则该双曲线的实轴长为()A．2 B．1C．eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：由题意知，渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，则eq\f(b,a)＝eq\r(3)，又焦点为F(2,0)，即c＝2，所以c2＝a2＋b2＝4a2＝4，则a2＝1，即a＝1或－1(舍去)，所以实轴长为2a＝2.故选A．答案：A3．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,24a2)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan∠PF2F1＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(7,4)C．2 D．eq\f(12,5)解析：易知c2＝25a2，则c＝5a，|F1F2|＝2c＝10a.因为P为C右支上的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a.因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，则(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝100a2，解得|PF2|＝6a(负值舍去)，所以|PF1|＝8a，所以tan∠PF2F1＝eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(8a,6a)＝eq\f(4,3).故选A．答案：A4．(2024·广东惠州调研)“m>2”是“方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示双曲线”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示双曲线，所以(2－m)(m＋1)<0，解得m<－1或m>2，即m∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．因为(2，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，所以“m>2”是“方程eq\f(x2,2－m)＋eq\f(y2,m＋1)＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选B．答案：B5．(2024·河南洛阳联考)设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|＝()A．4 B．3C．2 D．1解析：连接PF2，OT，则有|MO|＝eq\f(1,2)|PF2|＝eq\f(1,2)(|PF1|－2a)＝eq\f(1,2)(|PF1|－6)＝eq\f(1,2)|PF1|－3，|MT|＝eq\f(1,2)|PF1|－|F1T|＝eq\f(1,2)|PF1|－eq\r(c2－a2)＝eq\f(1,2)|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1|－3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1|－4))＝1.故选D．答案：D6．(2024·湖南岳阳模拟)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q，P，使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为()A．eq\r(3) B．2C．eq\r(5) D．eq\r(6)解析：双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，∴直线OP的方程为y＝eq\f(b,a)x.直线OQ的方程为y＝－eq\f(a,b)x，则QF的方程为y＝eq\f(b,a)(x－c)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x－c，,y＝－\f(a,b)x，))解得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c)，－\f(ab,c))).∵Q在双曲线上，∴eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,c)))2,a2)－eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ab,c)))2,b2)＝1，∴c2＝3a2，∴e＝eq\r(3).故选A．答案：A7．(2024·河北唐山模拟)已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为双曲线C上一点，直线AF⊥x轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若|AB|＝|AF|，则C的离心率e＝()A．eq\f(4\r(,15),15) B．eq\f(2\r(,3),3)C．eq\f(\r(,5),2) D．2解析：由题意得F(c,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由双曲线的对称性，不妨设A，B均为第一象限的点，当x＝c时，eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，所以|AF|＝eq\f(b2,a)，当x＝c时，y＝eq\f(bc,a)，所以|BF|＝eq\f(bc,a)，因为|AB|＝|AF|，所以|BF|＝2|AF|，所以eq\f(bc,a)＝eq\f(2b2,a)，得c＝2b，所以a＝eq\r(,c2－b2)＝eq\r(,3)b，所以双曲线C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2b,\r(,3)b)＝eq\f(2\r(,3),3).故选B．答案：B8．(2024·湖南长沙明德中学月考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线上一点，若cos∠F1MF2＝eq\f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，则此双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±x D．y＝±2x解析：由题意，得|MF1|－|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，∴cos∠F1MF2＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq\f(1,4)，化简得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，又a>0，b>0，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴此双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.故选A．答案：A9．(2024·山东潍坊模拟)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为()A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\f(4,3) D．eq\f(4,5)解析：由题意知，点F(0，c)到渐近线y＝eq\f(a,b)x，即ax－by＝0的距离d＝eq\f(|－bc|,\r(a2＋b2))＝b＝12.又由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝36，,a2＋122＝c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝16，,c＝20，))所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(20,16)＝eq\f(5,4).答案：B二、多项选择题10．(2024·河北唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：eq\f(y2,3)－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则()A．|PF1|－|PF2|＝2eq\r(,3)B．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(,3),3)xC．双曲线C的离心率为eq\f(2\r(,3),3)D．|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≥2eq\r(,3)解析：双曲线C：eq\f(y2,3)－x2＝1的焦点在y轴上，a＝eq\r(,3)，b＝1，c＝eq\r(,a2＋b2)＝2.对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq\r(,3)，而P点在哪支上并不确定，故A错误；对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\r(,3)x，故B错误；对于C选项，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(,3))＝eq\f(2\r(,3),3)，故C正确；对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，则|PO|＝eq\r(,x2＋y2)＝eq\r(,x2＋3x2＋3)＝eq\r(,3＋4x2)≥eq\r(,3)(当且仅当x＝0时取等号)，因为O为F1F2的中点，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|2eq\o(PO,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PO,\s\up6(→))|≥2eq\r(,3)，故D正确．答案：CD11．双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足eq\o(EO,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，则下列结论正确的是()A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0B．双曲线C的离心率为eq\f(\r(,13),2)C．|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝1D．△OMN的面积为6解析：如图，双曲线C的焦距为2c＝2eq\r(,13)，得c＝eq\r(,13)，设MN与y轴交于点P，则由圆和渐近线的对称性知P是MN的中点．设点M(m，n)，m>0，n>0，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n2＝13，,\f(m,a)＝\f(n,b)，,c＝\r(,13)，))可得m＝a，n＝b.故M(a，b)，N(－a，b)，则P(0，b)．由题意可知|OM|＝c＝eq\r(,13).由eq\o(EO,\s\up6(→))＋eq\o(EM,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝0，知点E为△OMN的重心，可得|OE|＝eq\f(2,3)|OP|，即a＝eq\f(2,3)b，eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(9,4)，所以a＝2，b＝3，e＝eq\f(\r(,13),2)，M(2,3)，N(－2，3)，P(0,3)．所以双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝2，M的坐标为(2,3)，S△OMN＝eq\f(1,2)×(2＋2)×3＝6.答案：ABD三、填空题与解答题12．(2024·河北模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，实轴长为4，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项，则△ABF1的周长为________．解析：由|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项得|AF1|＋|BF1|＝2|AB|，根据双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，两式相加得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，即|AF1|＋|BF1|＝8a，|AB|＝4a，故△ABF1的周长为12a，因为2a＝4，所以△ABF1的周长为24.答案：2413．(2024·河北六校联考)已知F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝eq\f(2b2,a)，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．解析：由F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝eq\f(2b2,a)，可得2c＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(2c2－2a2,a)，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝eq\f(1＋\r(,5),2).设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝eq\f(1,2)|PF1|·r，S△IPF2＝eq\f(1,2)|PF2|·r，S△IF1F2＝eq\f(1,2)·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF1＋λS△IF1F2，得eq\f(1,2)|PF1|·r＝eq\f(1,2)|PF2|·r＋λcr，故λ＝eq\f(|PF1|－|PF2|,2c)＝eq\f(a,c)＝eq\f(1,\f(1＋\r(,5),2))＝eq\f(\r(,5)－1,2).答案：eq\f(\r(,5)＋1,2)eq\f(\r(,5)－1,2)14．(2024·河北邢台六校联考)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.(1)解：设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a)))，因为|AF|＝|BF|，故eq\f(b2,a)＝a＋c，故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，又e>0，故e＝2.(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.因为e＝2，故c＝2a，b＝eq\r(,3)a，故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(,3)x，所以∠BAF∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∠BFA∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))).当∠BFA＝eq\f(π,2)时，由题意易得∠BAF＝eq\f(π,4)，此时∠BFA＝2∠BAF.当∠BFA≠eq\f(π,2)时，因为tan∠BFA＝－eq\f(y0,x0－c)＝－eq\f(y0,x0－2a)，tan∠BAF＝eq\f(y0,x0＋a)，所以tan2∠BAF＝eq\f(\f(2y0,x0＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co