高考数学总复习《集合、常用逻辑用语》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《集合、常用逻辑用语》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________第1讲集合复习要点1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．一集合与元素1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．4．常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR二集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)三集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}常/用/结/论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集．非空子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔UA⊇UB.3.U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB)．这一结论称为德·摩根定律，又叫反演律，可利用Venn图解释．4．集合中元素的个数：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．判断下列结论是否正确．(1)集合{x∈N|x3＝2x}，用列举法表示为{－eq\r(2)，0，eq\r(2)}．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.()(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)2．设A，B，U均为非空集合，且满足A⊆B⊆U，则下列各式中错误的是()A．(UA)∪B＝UB．(UA)∩(UB)＝UBC．A∩(UB)＝∅D．(UA)∪(UB)＝U解析：A⊆B⊆U，则UB⊆UA，(UA)∪B＝U，选项A正确；(UA)∩(UB)＝UB，选项B正确；A∩(UB)＝∅，选项C正确；(UA)∪(UB)＝UA≠U，所以选项D错误．故选D．答案：D3．(2023·全国甲卷，文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪UM＝()A．{2,3,5}B．{1,3,4}C．{1,2,4,5}D．{2,3,4,5}解析：因为全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，所以UM＝{2,3,5}，又N＝{2,5}，所以N∪UM＝{2,3,5}．故选A．答案：A4．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解析：集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，即有2个交点，故A∩B中有2个元素．答案：2题型集合基本概念的理解典例1(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝k＋eq\f(1,2)，k∈Z}，B＝eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x＝eq\f(k,2)，k∈Z}，则A与B之间的关系是()A．A＝B B．ABC．BA D．无法比较(2)设集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为________．解析：(1)方法一(列举法)：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(…，－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(3,2)，\f(5,2)，\f(7,2)，…))，列举法形象、直观.B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(…，－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2)，2，\f(5,2)，3，\f(7,2)，…)).显然AB.方法二(描述法)：集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝k＋eq\f(1,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝eq\f(2k＋1,2)，k∈Z))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝eq\f(k,2)，k∈Z))))，2k＋1可以表示任意奇数，k可以表示任意整数，描述法抽象、概括.认真理解代数式的意义，以及内涵和外延．同学们应加强这方面的理解．故AB.故选B．(2)A＝{x|(x－a)2＜1}＝{x||x－a|＜1}＝{x|a－1＜x＜a＋1}．因为2∈A,3∉A，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＜2，,a＋1＞2，,a＋1≤3，))解得1＜a≤2.故实数a的取值范围是(1,2]．故答案为(1,2]．求解与集合中元素有关问题的关键点(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．对点练1(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4(2)(2024·湖南长沙月考)如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a的值是()A．0B．4C．0或4D．不能确定解析：(1)因为A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}，故选A．(2)当a＝0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，只有一个元素，满足题意；当a≠0时，由集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.则a的值是0或4.故选C．答案：(1)A(2)C题型集合基本关系的分析典例2(1)若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，每当有此条件，不可忽视B＝∅的特殊情形.当B＝∅时，转化为判别式Δ＜0.则实数m的取值范围为________．(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．解析：(1)若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此时B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，代入求参后，回来再次确认条件B⊆A，这是个易错点．不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．故答案为[－2,2)．(2)∵B⊆A，∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))此三个不等式，学生易错点在于第一个不等式容易遗漏.思维的完整性：既要考虑B＝∅的情况，又要思考B≠∅时应满足的条件．解得2≤m≤3.故实数m的取值范围为(－∞，3]．故答案为(－∞，3]．集合间的关系问题的注意点(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情勤思考，多练习这一特殊情形．况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，集合的包含关系，转化为区间端点的大小关系，这是一个难点，主要是对端点值的取舍，尤其注意区别开区间和闭区间.例如：[－1,2)⊆(2a－3，a＋2]⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－3＜－1，,a＋2≥2.))进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．对点练2(1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2 B．1C．eq\f(2,3) D．－1(2)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．①若a＝eq\f(1,5)，试判定集合A与B的关系；②若BA，求实数a组成的集合C.(1)解析：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B．答案：B(2)解：①由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．若a＝eq\f(1,5)，由ax－1＝0，得eq\f(1,5)x－1＝0，即x＝5.∴B＝{5}．∴BA.②∵A＝{3,5}，又BA，故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝eq\f(1,a).∴eq\f(1,a)＝3或eq\f(1,a)＝5，即a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,5).故C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).题型集合基本运算的多维研讨维度1集合的基本运算典例3(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝()两集合的性质不同，M属于离散集，N属于连续集，高考有意这样设计．A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}(2)已知集合M＝{x|y＝lg(4－x2)}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≤\f(1,2)))))，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))解析：(1)方法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．方法二：因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1,0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．故选C．(2)由4－x2＞0得－2＜x＜2，所以M＝(－2,2)．由cosx≤eq\f(1,2)，得2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,3)(k∈Z)，坐标系中，快速求解三角不等式：如图：可以写出cosx＞a和cosx＜a的区域角.即“大于取右边，小于取左边”．所以N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))(k∈Z)．k＝－1时，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,3)，－\f(π,3)))，k＝0时，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,3))).则M∩N＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))，所以Venn图中阴影部分表示的集合为M(M∩N)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3))).故选C．集合基本运算的求解策略(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．对点练3(1)(2023·全国甲卷，理)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则U(M∪N)＝()A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k－1，k∈Z}C．{x|x＝3k－2，k∈Z}D．∅(2)(2023·全国乙卷，理)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝()A．U(M∪N) B．N∪UMC．U(M∩N) D．M∪UN解析：(1)因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A．(2)由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则U(M∪N)＝{x|x≥2}，选项A正确；UM＝{x|x≥1}，则N∪UM＝{x|x>－1}，选项B错误；M∩N＝{x|－1<x<1}，则U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，选项C错误；UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪UN＝{x|x<1或x≥2}，选项D错误．故选A．答案：(1)A(2)A维度2利用集合的运算求参数典例4(1)已知集合A＝{x|x2＋x－6＞0}，B＝{x|2a－1＜x＜a＋2}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(1,3)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,2)))∪(0,3)C．(－∞，－1)∪(0,3)D．(－∞，－2)∪(0,3)(2)已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}，若三个集合至少有一个集合不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：(1)由题意可得集合A＝(－∞，－3)∪(2，＋∞)，因为A∩B≠∅，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1＜－3，,2a－1＜a＋2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2＞2，,2a－1＜a＋2，))在B≠∅的条件下，B的左端点落在(－∞，－3)内或者右端点落在(2，＋∞)内，仔细体会这个取并集的含义．解得a＜－1或0＜a＜3，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(0,3)．故选C．(2)假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，这种解法很妙，在于应用了补集思想.先计算命题的否定，即三个集合都是空集时对应a的范围，再取其补集．则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a2－4<0，,Δ2＝4＋4a<0，,Δ3＝4a2－8<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<a<2，,a<－1，,－\r(2)<a<\r(2)，))则－eq\r(2)<a<－1，∴当a≤－eq\r(2)或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即三个集合至少有一个集合不是空集．故实数a的取值范围为{a|a≤－eq\r(2)或a≥－1}．故答案为{a|a≤－eq\r(2)或a≥－1}．利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．(3)运用补集思想求参数取值范围的步骤．第一步：把已知的条件否定，考虑反面问题．准确理解命题的否定叙述．第二步：求解反面问题对应的参数的取值范围．第三步：求反面问题对应的参数的取值集合的补集．对点练4已知集合A＝{x|x＜－1或x≥0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(－∞，0) D．(－1,0)解析：如图，在数轴上表示出集合A，若A∪B＝R，则由图易知a≤－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1]，故选B．答案：B维度3集合新定义问题典例5(2024·名师原创)对集合A，B，记A－B＝{x|x∈A且x∉B}，定义A△B＝(A－B)∪(B－A)为A，B的对称差集．若A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，y，|x|}，且A△B＝∅，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)＋\f(1,y3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2020)＋\f(1,y2020)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2021)＋\f(1,y2021)))＝________.解析：依题意及Venn图知，图中左侧阴影部分为A－B，右侧阴影部分为B－A，两阴影部分合起来就是A△B，因为A△B＝∅，所以A＝B，根据说明A－B＝∅且B－A＝∅，故有A＝B．集合中元素的互异性，且结合集合B知，x≠0，y≠0，因为0∈B，且A＝B，所以0∈A，故只有lg(xy)＝0，从而xy＝1，而1＝xy∈A，由A＝B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,|x|＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,y＝1，)