高考数学总复习《函数与方程》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《函数与方程》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．(2024·陕西西安五校联考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是()A．y＝logeq\s\do14(\f(1,2))x B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x32．(2024·宁夏石嘴山质检)函数f(x)＝x－3＋lgx的零点所在区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)3．(2024·安徽安庆模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x∈[0，1，,2－x2，x∈[－1，0，))且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为()A．3B．2C．1D．04．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)5．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2＝()A．1B．－1C．eD.eq\f(1,e)6．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c7．(2024·江苏徐州模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))8．若x0是方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))的解，则x0属于区间()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))9．已知函数f(x)＝ln|x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为()A．0B．2C．3D．4二、多项选择题10．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是()A．1B．2C．4D．611．(2024·江苏南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋xB．g(x)＝x2－x－3C．f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋1D．f(x)＝|log2x|－1三、填空题与解答题12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0，))则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．13．对任意实数a，b定义运算：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1，,a，a－b<1.))设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k有3个零点，则实数k的取值范围是________．14．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，－1≤x<0，,log2x＋1，0≤x<3，))对任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x－2)．若在区间[－5,3]上函数g(x)＝f(x)－mx＋m恰好有三个不同的零点，求实数m的取值范围．高分推荐题15．(2024·山东潍坊一中模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋2,2)，x≤1，,|log2x－1|，x>1，))则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－eq\f(3,2)的零点个数是()A．4B．5C．6D．7解析版一、单项选择题1．(2024·陕西西安五校联考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是()A．y＝logeq\s\do14(\f(1,2))x B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x3解析：函数y＝logeq\s\do14(\f(1,2))x在定义域上单调递减，y＝x2－eq\f(1,2)在(－1，1)内不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1,1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.答案：B2．(2024·宁夏石嘴山质检)函数f(x)＝x－3＋lgx的零点所在区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：依题意可知，f(x)在(0，＋∞)上连续且为增函数，又f(2)＝lg2－1<0，f(3)＝lg3>0，f(2)f(3)<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,3)．故选C.答案：C3．(2024·安徽安庆模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x∈[0，1，,2－x2，x∈[－1，0，))且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点个数为()A．3B．2C．1D．0解析：由f(x＋1)＝f(x－1)知，f(x)的周期是2，画出函数f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，由图象可知，f(x)与g(x)的图象有2个交点，故F(x)在(0，＋∞)内有2个零点．故选B.答案：B4．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：因为a>1,0<b<1，所以f(x)＝ax＋x－b在R上是增函数，又f(－1)＝eq\f(1,a)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，所以由函数零点存在定理可知，f(x)在区间(－1,0)上存在零点．答案：B5．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2＝()A．1B．－1C．eD.eq\f(1,e)解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex，函数y＝lnx分别与函数y＝eq\f(1,x)的图象的交点A，B的横坐标，而Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,x1)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(1,x2)))两点关于直线y＝x对称，因此x1x2＝1.故选A.答案：A6．已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝lnx＋x，h(x)＝lnx－1的零点依次为a，b，c，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c解析：∵ea＝－a，∴a<0.∵lnb＝－b，且b>0，∴0<b<1.∵lnc＝1，∴c＝e>1.故选A.答案：A7．(2024·江苏徐州模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))解析：由题意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有实数解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有实数解，设t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).答案：D8．若x0是方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))的解，则x0属于区间()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析：令g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))，则g(0)＝1>f(0)＝0，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,2))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,3))，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,3))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up15(eq\f(1,3))，结合图象(如图)可得eq\f(1,3)<x0<eq\f(1,2).答案：C9．已知函数f(x)＝ln|x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为()A．0B．2C．3D．4解析：原问题可以转化为求方程ln|x－2|＝4x－x2的所有根之和，易知y＝ln|x－2|和y＝4x－x2的图象均关于直线x＝2对称，且两个函数的图象有2个交点，故两个交点的横坐标之和为4.答案：D二、多项选择题10．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是()A．1B．2C．4D．6解析：由题意知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinx，x∈[0，π]，,－sinx，x∈π，2π]，))在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.故选ABC.答案：ABC11．(2024·江苏南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A．f(x)＝2x＋xB．g(x)＝x2－x－3C．f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋1D．f(x)＝|log2x|－1解析：选项A，若f(x0)＝x0，则2x0＝0，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；选项B，若g(x0)＝x0，则xeq\o\al(2,0)－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故B中函数是“不动点”函数；选项C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，可得xeq\o\al(2,0)－3x0＋1＝0，解得x0＝eq\f(3±\r(5),2)＞0，故C中函数是“不动点”函数；选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，即|log2x0|＝x0＋1，在同一平面直角坐标系中作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，即|log2x0|＝x0＋1，故D中函数是“不动点”函数．故选BCD.答案：BCD三、填空题与解答题12．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0，))则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．解析：当x≤0时，令x＋1＝0，得x＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝eq\f(1,2)；当x>0时，令log2x＝0，得x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2，∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，eq\f(1,2)，0,2，∴所有零点之和为－2＋eq\f(1,2)＋0＋2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．对任意实数a，b定义运算：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1，,a，a－b<1.))设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k有3个零点，则实数k的取值范围是________．解析：令x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，令x2－1－(4＋x)<1，得－2<x<3，则f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋x，x≤－2或x≥3，,x2－1，－2<x<3，))作出函数f(x)的图象，如图所示．函数y＝f(x)＋k有3个零点，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝－k有3个交点，根据函数图象可得－1<－k≤2，即－2≤k<1.答案：[－2,1)14．函数f(x)的定义域为实数集R，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc