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文档简介

衡水市重点中学2025届高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A. B.6 C. D.3.已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是()A. B. C.或 D.4.已知椭圆,直线与直线相交于点,且点在椭圆内恒成立,则椭圆的离心率取值范围为()A. B. C. D.5.已知数列是公比为的等比数列,且,若数列是递增数列,则的取值范围为()A. B. C. D.6.已知等差数列的前13项和为52,则()A.256 B.-256 C.32 D.-327.已知数列的通项公式为,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列,从上到下的行共个数的和,则数列的前2020项和为()A. B. C. D.8.如图,在平面四边形中,满足,且,沿着把折起,使点到达点的位置,且使,则三棱锥体积的最大值为()A.12 B. C. D.9.如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为()A. B.C. D.10.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.11.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图,下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“—”表示一根阳线,“——”表示一根阴线).从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为()A. B. C. D.12.已知定点都在平面内,定点是内异于的动点,且,那么动点在平面内的轨迹是()A.圆,但要去掉两个点 B.椭圆,但要去掉两个点C.双曲线,但要去掉两个点 D.抛物线,但要去掉两个点二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,机器人亮亮沿着单位网格,从地移动到地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从移动到最近的走法共有____种.14.已知过点的直线与函数的图象交于、两点,点在线段上,过作轴的平行线交函数的图象于点,当∥轴,点的横坐标是15.在四面体中,与都是边长为2的等边三角形,且平面平面,则该四面体外接球的体积为_______.16.某公园划船收费标准如表:某班16名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,每只租船必须坐满,租船最低总费用为______元,租船的总费用共有_____种可能.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)[选修4-5:不等式选讲]:已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)设,,且的最小值为.若,求的最小值.18.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数.).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,曲线与直线其中的一个交点为,且点极径.极角(1)求曲线的极坐标方程与点的极坐标;(2)已知直线的直角坐标方程为,直线与曲线相交于点(异于原点),求的面积.19.(12分)(某工厂生产零件A,工人甲生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为,工人乙生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为.己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.(1)试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏;(2)为鼓励工人提高技术,工厂进行技术大赛,最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是:每一轮比赛,甲乙各生产一件零件A,如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件,则该方得分1分,另一方得分-1分,如果两人生产的零件A品级一样,则两方都不得分,当一方总分为4分时,比赛结束,该方获胜.Pi+4(i=4,3,2,…,4)表示甲总分为i时,最终甲获胜的概率.①写出P0,P8的值;②求决赛甲获胜的概率.20.(12分)设函数.(1)当时,解不等式;(2)设,且当时,不等式有解,求实数的取值范围.21.(12分)如图,在棱长为的正方形中,,分别为,边上的中点,现以为折痕将点旋转至点的位置,使得为直二面角.(1)证明:;(2)求与面所成角的正弦值.22.(10分)在平面直角坐标系中,直线与抛物线:交于,两点,且当时,.(1)求的值;(2)设线段的中点为,抛物线在点处的切线与的准线交于点,证明:轴.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

试题分析:由题意可得:.共轭复数为,故选A.考点:1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系2、D【解析】

用列举法,通过循环过程直接得出与的值,得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图,可得,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.3、D【解析】

先求函数在上不单调的充要条件,即在上有解,即可得出结论.【详解】,若在上不单调,令,则函数对称轴方程为在区间上有零点(可以用二分法求得).当时,显然不成立;当时,只需或,解得或.故选:D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件,要注意二次函数零点的求法,属于中档题.4、A【解析】

先求得椭圆焦点坐标,判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出,判断出点的轨迹方程,根据恒在椭圆内列不等式,化简后求得离心率的取值范围.【详解】设是椭圆的焦点,所以.直线过点,直线过点,由于,所以,所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立,所以椭圆的短轴大于,即,所以,所以双曲线的离心率,所以.故选:A【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系,考查动点轨迹的判断,考查椭圆离心率的取值范围的求法,属于中档题.5、D【解析】

先根据已知条件求解出的通项公式,然后根据的单调性以及得到满足的不等关系,由此求解出的取值范围.【详解】由已知得,则.因为,数列是单调递增数列,所以,则,化简得,所以.故选:D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围,难度一般.已知数列单调性,可根据之间的大小关系分析问题.6、A【解析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由,,得.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质,等差数列的等和性应用能快速求得结果.7、D【解析】

由题意,设每一行的和为,可得,继而可求解,表示,裂项相消即可求解.【详解】由题意,设每一行的和为故因此:故故选:D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.8、C【解析】

过作于,连接,易知,,从而可证平面,进而可知,当最大时,取得最大值,取的中点,可得,再由,求出的最大值即可.【详解】在和中,,所以,则,过作于,连接,显然,则,且,又因为,所以平面,所以,当最大时,取得最大值,取的中点,则,所以,因为,所以点在以为焦点的椭圆上(不在左右顶点),其中长轴长为10,焦距长为8,所以的最大值为椭圆的短轴长的一半,故最大值为,所以最大值为,故的最大值为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值,考查学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.9、D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为,又因为鸡蛋的体积为,所以球的半径为,所以球心到截面的距离,而截面到球体最低点距离为,而蛋巢的高度为,故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题,考查球体有关的知识.在解答过程中,如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时,可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面,然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.10、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=1对称.

∵当x≥1时,为减函数,∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,

故选C11、B【解析】

根据古典概型的概率求法,先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数,再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数,代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种,这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种,分别是(巽,坤),(兑,坤),(离,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选:B【点睛】本题主要考查古典概型的概率,还考查了运算求解的能力,属于基础题.12、A【解析】

根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,,,又,,平面,又平面,故在以为直径的圆上,又是内异于的动点,所以的轨迹是圆,但要去掉两个点A,B故选:A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定,圆的性质,轨迹问题,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

分三步来考查,先从到,再从到,最后从到,分别计算出三个步骤中对应的走法种数,然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】分三步来考查:①从到,则亮亮要移动两步,一步是向右移动一个单位,一步是向上移动一个单位,此时有种走法;②从到,则亮亮要移动六步,其中三步是向右移动一个单位,三步是向上移动一个单位,此时有种走法;③从到,由①可知有种走法.由分步乘法计数原理可知,共有种不同的走法.故答案为:.【点睛】本题考查格点问题的处理,考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用,属于中等题.14、【解析】

通过设出A点坐标,可得C点坐标,通过∥轴,可得B点坐标,于是再利用可得答案.【详解】根据题意,可设点,则,由于∥轴,故,代入,可得,即,由于在线段上,故,即,解得.15、【解析】

先确定球心的位置,结合勾股定理可求球的半径,进而可得球的面积.【详解】取的外心为,设为球心,连接,则平面,取的中点,连接,,过做于点,易知四边形为矩形,连接,,设,.连接,则,,三点共线,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题,外接球的半径的求解一般有两个思路:一是确定球心位置,利用勾股定理求解半径;二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.16、36010【解析】

列出所有租船的情况,分别计算出租金,由此能求出结果.【详解】当租两人船时,租金为:元,当租四人船时,租金为:元,当租1条四人船6条两人船时,租金为:元,当租2条四人船4条两人船时,租金为:元,当租3条四人船2条两人船时,租金为:元,当租1条六人船5条2人船时,租金为:元,当租2条六人船2条2人船时,租金为:元,当租1条六人船1条四人船3条2人船时,租金为:元,当租1条六人船2条四人船1条2人船时,租金为:元,当租2条六人船1条四人船时,租金为:元,综上,租船最低总费用为360元,租船的总费用共有10种可能.故答案为:360,10.【点睛】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法,考查实际应用问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)当时,,原不等式可化为,分类讨论即可求得不等式的解集;(2)由题意得,的最小值为,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值.【详解】(1)当时,,原不等式可化为,①当时,不等式①可化为,解得,此时;当时,不等式①可化为,解得,此时;当时,不等式①可化为,解得,此时,综上,原不等式的解集为.(2)由题意得,,因为的最小值为,所以,由,得,所以,当且仅当,即,时,的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题,对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.18、(1)极坐标方程为,点的极坐标为(2)【解析】

(1)利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可;(2)只需算出A、B两点的极坐标,利用计算即可.【详解】(1)曲线C:(为参数,),将代入,解得,即曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(2)由(1),得点的极坐标为,由直线过原点且倾斜角为,知点的极坐标为,.【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积,考查学生的运算能力,是一道基础题.19、(1)乙的技术更好,见解析(2)①,;②【解析】

(1)列出分布列,求出期望,比较大小即可;(2)①直接根据概率的意义可得P0,P8;②设每轮比赛甲得分为,求出每轮比赛甲得1分的概率,甲得0分的概率,甲得分的概率,可的,可推出是等差数列,根据可得答案.【详解】(1)记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元,随机变量,的分布列分别为10521052所以,,所以,即乙的技术更好(2)①表示的是甲得分时,甲最终获胜的概率,所以,表示的是甲得4分时,甲最终获胜的概率,所以;②设每轮比赛甲得分为,则每轮比赛甲得1分的概率,甲得0分的概率,甲得分的概率,所以甲得时,最终获胜有以下三种情况:(1)下一轮得1分并最终获胜,概率为;(2)下一轮得0分并最终获胜,概率为;(3)下一轮得分并最终获胜,概率为;所以,所以是等差数列,则,即决赛甲获胜的概率是.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数列递推关系的应用,是一道难度较大的题目.20、(1);(2).【解析】

(1)通过分类讨论去掉绝对值符号,进而解不等式组求得结果;(2)将不等式整理为,根据能成立思想可知,由此构造不等式求得结果.【详

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