2023-2024学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l的倾斜角为π4，且过点(1,3)，则它在y轴上的截距为(

)A.2 B.−2 C.4 D.−42.(a+b)8的展开式中，二项式系数最大的是(

)A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项3.从抛物线y2=2x上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若△MPF是正三角形，则|PF|=(

)A.12 B.1 C.32 4.在空间中，“经过点P(x0,y0,z0)，法向量为e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x,y,z)满足的关系式)为：A(x−x0)+B(y−y0A.−23 B.23 5.用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有(    )个．A.18 B.36 C.72 D.866.三棱柱ABC−A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAAA.33

B.66

C.7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点A.5 B.2 C.238.若椭圆C1和C2的方程分别为x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0且λ≠1)，则称C1两点，且PM+PN=0，则△MON的面积最大时，A.13 B.12 C.34二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知双曲线C的方程为x29−yA.双曲线C的实轴长为6 B.双曲线C的渐近线方程为y=±34x

C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为4 D.双曲线10.已知抛物线y=4x2的焦点为F，A，B是抛物线上两点，则下列结论正确的是(

)A.点F的坐标为(0,1)

B.若AF=λFB，则以AB为直径的圆与直线y=−116相切

C.若直线AB过定点(0,14)，则以AB为直径的圆过坐标原点O

D.若|AB|=2，则线段11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，以A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向为A.点B到平面B1CD1的距离为233

B.BB1在A1C上的投影向量是(−13,−13,13)12.已知fn(x)=(x+3)nA.若fn(−1)=an+3bn，an，bn∈Z，则a4+b4=12

B.fn(1)−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：14.如图所示，用一束与平面α成60°角的平行光线照射球O，在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为______．15.将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有______种.(用数字作答)16.已知三棱锥P−ABC顶点均在一个半径为5的球面上，AB⊥BC，AC=8，P到底面ABC的距离为5，则PA2+P四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知圆C的圆心坐标为(2,1)，与直线x−y+1=0交于A，B两点，且|AB|=22．

(Ⅰ)求圆C的标准方程；

(Ⅱ)求过点P(4,4)的圆C18.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，动点M到点(32,0)的距离比点M到直线x+1=0的距离大12．

(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；

(Ⅱ)直线l与轨迹C交于A，B两点，若线段AB的中垂线为x+y−5=0，求线段19.(本小题12分)

三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2A1B1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB=3，BC=2，BB1=1，AE=2EB，A1C20.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4，且过点M(6,1)．

(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；

(Ⅱ)已知点P(m,m2)，m>0，若存在过点P的直线l与椭圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆过点Q(0,2)21.(本小题12分)

在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，平面ABCD外动点P满足：AP=2，点P在平面ABCD内的射影在直线AB上，BC//平面ADP．

(Ⅰ)证明：AD⊥平面ABP；

(Ⅱ)求AP与平面PCD所成角的正弦值的最大值．22.(本小题12分)

已知双曲线C：x24−y2=1，点M(4,0)，经过点M的直线l交双曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E.(二次曲线Ax2+By2=1在曲线上某点(x0,y0)处的切线方程为Ax0x+By0y=1)

(Ⅰ)求证：点E恒在一条定直线L上；

(Ⅱ)若两直线l与L交于点N，AN=λMA，BN=μMB，求λ+μ的值；

(Ⅲ)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.C

6.B

7.A

8.B

9.AC

10.BCD

11.BC

12.ACD

13.214.1215.50

16.186−817.解：(1)由题意圆心为(2,1)，直线x−y+1=0，

所以圆心到直线的距离d=|2−1+1|1+1=22=2，

又因为|AB|=22，设圆的半径为r，

根据勾股定理|AB|=2r2−d2，

所以22=2r2−2，

解得r2=4，

所以原C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=4；

(2)易知点P(4,4)不在圆上，18.解：(Ⅰ)设点M(x,y)，根据题意有|x+1|+12=(x−32)2+(y−0)2，

当x<−1时，−x−1+12<−x+32≤(x−32)2+(y−0)2，不符合题意，

当x≥−1时，化简得y2=6x，

所以点M的轨迹C的方程为y2=6x；

(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点C(x0,y0)，

由AB与直线l可知，直线AB的斜率k=y2−19.(Ⅰ)证明：因为AB=2A1B1，

所以由三棱台的性质知，AC=2A1C1，且AC/​/A1C1，

所以△ACD∽△C1A1D，

所以ADDC1=ACA1C1=2，即AD=2DC1，

因为AE=2EB，

所以DE//C1B，

又DE⊄平面A1BC1，C1B⊂平面A1BC1，

所以DE/​/平面A1BC1．

(Ⅱ)解：因为平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，AB⊥BC，BC⊂平面ABC，

所以BC⊥平面AA1B1B，

因为BB1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥BB1，

又AC⊥BB1，BC∩AC=C，BC、AC⊂平面ABC，

所以BB1⊥平面ABC，

因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB，

故AB，BC，BB1两两垂直，

以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

20.解：(Ⅰ)由题意可得2c=46a2+1b2=1a2−b2=c2，解得a2=8，b2=4，

所以椭圆E的标准方程为：x28+y24=1；

(Ⅱ)证明：(i)由题可知，直线l的斜率存在，

设l：y=kx+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

与椭圆联立得：(2k2+1)x2+4ktx+2t2−8=0，

Δ=8(8k2+4−t21.解：(Ⅰ)证明：因为BC/​/平面ADP，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ADP=AD，

所以BC/​/AD，

因为AB⊥BC，所以AB⊥AD，

过点P作PQ⊥AB于点Q，

因为点P在平面ABCD内的射影在直线AB上，

所以PQ⊥平面ABCD，

因为AD⊂平面ABCD，所以PQ⊥AD，

因为AB∩PQ=Q，AB，PQ⊂平面ABP，

所以AD⊥平面ABP；

(Ⅱ)过点A作AM⊥平面ABCD，

以A为坐标原点，AB，AD，AM的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

设P(x,0,z)，由AP=2，得x2+z2=4，

由题知，x∈(−2,2)，D(0,1,0)，C(1,2,0)，

所以DP=(x,−1,z)，DC=(1,1,0)，

设平面PCD的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，

则有n⋅DP=xx1−y1+zz1=0n⋅DC=x1+y1=0，令x1=−z22.解：(Ⅰ)证明：设E(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由题意得：切线E