数学-浙江省南太湖联盟2024-2025学年高一上学期第二次联考试题和答案

第1页/共5页2024学年第一学期“南太湖”联盟第二次联考高一数学学科试题卷1若全集U={2,3,4,5,6},A={2,4.2若fA.1B.5C.8DA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法中正确的是()5.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是()第2页/共5页6.向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形7.已知定义在R的奇函数f(x)满足①f(1)=0；②x1,x2∈(0,+∞)，且x1C.9.下列命题是真命题的是()第3页/共5页10.下列四个函数中，定义域与值域相同的是()A.y=lgB.y=2x-1C.y-器D.y=x2-2x,x∈[0,3]11.关于函数f(x)=3x-1，实数x1，x2满足x1<x2，且f(x1)=f(x2)=m，则下列结论正确的是()B.x2x12.已知某扇形的半径为4，弧长为π,则该扇形的圆心角为rad.+6m恒成立，则实数m的取值范围是.14.已知f(x)=log3对正整数k，如果f(k)满足：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+1)为整数，则称k为“好数”，由区间[2,81]内所有“好数”组成的集合记为A，则集合A=.15.化简求值：（1）当m=2时，求A∩B；（2）已知AUB=A，求实数m的取值范围.17.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐第4页/共5页标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数y=kx-关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.的图像上，其中k与发射的方向有（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小其飞行高度为2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.（1）判断函数f(x)的奇偶性并证明；（2）判断函数g(x)的单调性并证明；（3）若实数a，b满足f(a)+f(b)=0，求g(a)+g(b)的取值范围.19.我们知道函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.（1）由上述信息，若y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形，证明：f(x)+f(2a-x)=2b；（2）已知函数f(x)=x3-3x2，写出f(x)图象的对称中心，并求f(-2022)+f(-2021)+…+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)+f(2024)的值.（3）若函数f(x)具有以下性质：①定义域为D=[-2,2]，②f(x)在其定义域内单调递增，③丫x∈D，都有f(x)+f(-x)=4.函数g(x)=f(x)+x3，求使不等式g(k)+g(k+2)≥4成立的实数k的取值范围.第5页/共5页第1页/共17页2024学年第一学期“南太湖”联盟第二次联考高一数学学科试题卷【答案】B【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为U={2,3,4,5,6},A={2,4,5}，所故选：B.2.若f，则fA.1B.5C.8D【答案】C【解析】【分析】由内到外依次将自变量代入分段函数求值即可.【详解】因为f(-8)=log39=2，f(2)=8，所以f(f(-8))=8.故选：C.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先根据a2+b2≥2ab≥即可判断满足充分性，再利用特值法，得到不满足必要性，即可得第2页/共17页到答案.【详解】因为ab≥,所以a2+b2≥2ab≥满足充分性.当a=1,b=-1时，满足a2+b2≥不满足所以不满足必要性.所以“ab≥”是“a2+b2≥”的充分不必要条件.故选：A4.下列说法中正确的是()【答案】D【解析】【分析】对于A，B，C，取特值即可判断；对于D，利用作差法即可判断.对于故选：D.5.如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是()第3页/共17页【答案】C【解析】【分析】先写出在—180o~180o间阴影部分区域表示的角的范围，再写出终边落在阴影部分的区域内的任意角的集合.【详解】在—180o~180o间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为—60o和135o，所以终边在阴影部分区域的角的集合为{α—60o+k.360o≤α≤135o+k.360o,k∈Z}.故选：C.6.向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形第4页/共17页A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】从所给函数的图象可以看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除D选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除A、C选项，从而可得正确答案.【详解】解：当容器是圆柱时，容积V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小，∴A、C不满足条件，而B满足条件.故选：B.7.已知定义在R的奇函数f(x)满足①f(1)=0；②x1,x2∈(0,+o0),且x1≠x2,A.C.【答案】A【解析】【分析】利用函数单调性与奇偶性的判定分析得F(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减，且为偶函数，从而将问题转化为F(x)<F(1)，利用F(x)的单调性和奇偶性得到关于x的不等式，解之即可得解.【详解】因为vx1,x2∈(0,+oo),且x1≠x2,第5页/共17页所以x2f(x2)—x1f(x1)<0，即x2f(x2)<x1f(x1)，.令F(x)=xf(x)，则F(x2)<F(x1)，故F(x)在(0,+∞)上单调递减，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(—x)=—f(x)，则F(x)=xf(x)为偶函数，因为f(1)=0，所以F(1)=0，所以由<0，得xf(x)<0，即F(x)<0,故选：A【答案】D【解析】【分析】将问题转化为f(x)、g(x)与h(x)的图象的交点问题，从而数形结合即可得解.则a是f(x)与h(x)的图象交点的横坐标，b是g(x)与h(x)的图象交点的横坐标，在同一坐标系中，作出f(x)、g(x)与h(x)的大致图象，如图，第6页/共17页故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.9.下列命题是真命题的是()【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式，求出x+的取值范围，可判断A；根据x=2时，有x2=2x，可判断B；利用配方法，可判断C；利用对数函数的性质，可判断D.【详解】对于A，当x>0时，x+当且仅当x=1时，等号成立；当且仅当x=-1时，等号成立，所以x+的取值范围为(-∞,-2]U[2,+∞)，所以不存在x∈R使得x+=0，故A错误；对于B，当x=2时，可得x2=2x，所以3x>0，x2对于C，因为x2-x+1=所以命题x∈R，x2-x≥-1为真命题，故C正确；故选：BC.10.下列四个函数中，定义域与值域相同的是()A.y=lgB.y=2x-1.C.y=器D.y=x2-2x,x∈[0,3]【答案】AC【解析】【分析】利用基本初等函数的性质，逐一分析各选项中对应函数的定义域与值域即可得解.【详解】对于A，易得y=lg(、ix+1)的定义域为{xx≥0}，对于B，y=2x-1的定义域为R，且y=2x-1>-1，即值域为{yy>-1}，故B错误；对于C，易得y=的定义域为{xx≠2}，-显然当x=1时，y=-1，则y=x2-2x的值域必与[0,3]不相同，故D错误；故选：AC.11.关于函数f(x)=3x-1，实数x1，x2满足x1<x2，且f(x1)=f(x2)=m，则下列结论正确的是()x【答案】ABD【解析】【分析】首先将函数f(x)写成分段函数的形式，画出函数f(x)图象，数形结合可判断A；结合x1<0<x2及基本不等式判断B；再结合m的范围确定x1+x2的范围，可判断C和D.【详解】因为f(x)=3x-1={〔3x-1,x≥0，第7页/共17页第8页/共17页所以f(x)的图象如下所示：对于A，因为实数x1，x2满足x1<x2，且f(x1)=f(x2)=m，即y=m与y=f(x)的图象有两个交点，由图可知0<m<1，故A正确；对于B，因为x1<x2，所以x1<0<x2，所以1-3x1=3x2-1，所以3x+3x=2≥2·3x.3x=2·J3x+x，当且仅当3x2=3x1，即x2=x1时等号成立， 因为x1<x2，所以等号不成立，即·3x22所以3x1.3x2=3x1+x2=(1+m222对于D，由C选项知x1+x2=log3(1-m2)， 第9页/共17页故选：ABD.12.已知某扇形的半径为4，弧长为π,则该扇形的圆心角为rad.【答案】【解析】【分析】利用扇形的弧长公式即可得解.【详解】因为扇形的半径为4，弧长为π,所以该扇形的圆心角为rad..故答案为：.+6m恒成立，则实数m的取值范围是.【解析】-求解即可.min当且仅当x-3=，即x=5时，等号成立，min所以实数m的取值范围是(-7,1).14.已知f(x)=log3对正整数k，如果f(k)满足：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+1)为整数，则称k为“好数”，由区间[2,81]内所有“好数”组成的集合记为A，则集合A=.【答案】{7,25,79}第10页/共17页【解析】【分析】由题意得到f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+1)=log3(k+2)即可求解.【详解】因为f(x)=log=log3所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(k+1)=log3+log3因为log3(k+2)为整数，所以区间[2,81]内的“好数”为7,25,79.15.化简求值：【答案】（1）4（2）2【解析】【分析】（1）由指数运算性质化简求值；（2）由对数运算性质及指对互化化简求值.【小问1详解】【小问2详解】第11页/共17页-2--2.（1）当m=2时，求A∩B；（2）已知AUB=A，求实数m的取值范围.【解析】【分析】（1）分别求出集合A和B，再根据交集的定义求解即可.（2）由条件可知B≤A，再分B=⑦和B≠⑦两种情况求解即可.【小问1详解】}，}，【小问2详解】因为AUB=A，所以B≤A，综上实数m的取值范围为m≤或m≥6.17.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数y=kx-1+k2)x2(k>0)的图像上，其中k与发射的方向有第12页/共17页关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小其飞行高度为2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.【答案】（1）5千米（2）飞行物的横坐标a不超过·千米时，炮弹可以击中它【解析】【分析】（1）求炮的最大射程即求y=kx-与横轴的交点，求出后利用基本不等式求解；（2）由一元二次方程根的判别式求解即可.【小问1详解】因为y=kx-，令y=0，得x1=0，不合题意舍去，另一个根为当且仅当k=1时，等号成立，所以炮的最大射程为5千米；【小问2详解】飞行物的横坐标a不超过·J5千米时，炮弹可以击中它，理由如下：因为飞行物的横坐标a，即a>0，因为炮弹可以击中，所以关于k的方程a2k2-10ak+a2+20=0有正根，22第13页/共17页所以飞行物的横坐标a不超过千米，炮弹可以击中它.18.已知函数f(x)=ln，g(x)=4x+2x.（1）判断函数f(x)的奇偶性并证明；（2）判断函数g(x)的单调性并证明；（3）若实数a，b满足f(a)+f(b)=0，求g(a)+g(b)的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在R上单调递增，证明见解析；【解析】【分析】（1）先求出函数f(x)的定义域，再根据奇偶性的定义判断即可；（2）利用定义证明单调性即可；（3）根据f(a)+f(b)=0求出a，b的关系，代入g(a)+g(b)转化为关于a的表达式，利用换元法求值域即可.【小问1详解】所以函数f(x)的定义域为−1,1)，又=-ln，所以f(x)为奇函数；【小问2详解】g(x)的定义域为R，对任意的x1,x2∈R，且x1<x2，2x2x2-2x22x-2x22x1x2第14页/共17页所以函数g(x)在R上单调递增；【小问3详解】所以g(a)+g(b)=g(a)+g(-a)222a+2-aa+2-a-2，a，则又t=u+在(,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，),,),,,,19.我们知道函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.（1）由上述信息，若y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形，证明：f(x)+f(2a-x)=2b；（2）已知函数f(x)=x3-3x2，写出f(x)图象的对称中心，并求第15页/共17页f(-2022)+f(-2021)+…+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)+f(2024)的值.（3）若函数f(x)具有以下性质：①定义域为D=[-2,2]，②f(x)在其定义域内单调递增，③vx∈D，都有f(x)+f(-x)=4.函数g(x)=f(x)+x3，求使不等式g(k)+g(k+2)≥4成立的实数k的取值范围.【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）设m(x)=f(x+a)-b，根据m(x)+m(-x)=0，然后换元x=a-t，即可证明结论；（2）根据m(x)为奇函数，求出a，b，然后发现规律f(x)+f(2-x)=-4，即可求解；（3）根据g(k)+g(k+2)≥4，得到f(k)+k3+f(k+2)+(k+