成都高三会考数学试卷

成都高三会考数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4$在$x=1$处取得极值，则该极值为：（）

A.0B.1C.-2D.2

2.若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=11$，则该数列的公差为：（）

A.2B.3C.4D.5

3.设复数$z=a+bi$，其中$a$，$b$为实数，且$\overline{z}=-a-bi$，则$z$在复平面上的几何位置是：（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知三角形的三边长分别为$3$，$4$，$5$，则该三角形是：（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

5.若$a$，$b$，$c$为等差数列，且$a+b+c=12$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$的值为：（）

A.3B.6C.9D.12

6.若函数$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$在$x=1$处取得最小值，则该最小值为：（）

A.0B.1C.-1D.-2

7.设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^n-1$，则该数列的前$n$项和$S_n$为：（）

A.$2^n-n-1$B.$2^n-n$C.$2^n-n+1$D.$2^n+n-1$

8.若$A$，$B$，$C$为等比数列，且$A+B+C=27$，$AB+BC+CA=72$，则$A^2+B^2+C^2$的值为：（）

A.81B.108C.144D.216

9.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得极值，则该极值为：（）

A.$a+b+c$B.$a+b-c$C.$a-b+c$D.$a-b-c$

10.若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，$a_5=19$，则该数列的前$n$项和$S_n$为：（）

A.$3n^2+2n$B.$3n^2+2n+1$C.$3n^2-2n$D.$3n^2-2n-1$

二、判断题

1.对于任意实数$x$，有$\sin^2x+\cos^2x=1$恒成立。（）

2.二项式定理可以用来计算有限个数的和或积。（）

3.在平面直角坐标系中，点到直线的距离等于点到直线的垂线段长度。（）

4.对于任意实数$a$，若$a^2>0$，则$a$必定是正数。（）

5.在数列$\{a_n\}$中，若$a_{n+1}=a_n+d$（$d$为常数），则数列$\{a_n\}$是等差数列。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$在$x=0$处的导数为$f'(0)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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四、简答题

1.简述函数$y=e^x$和$y=\lnx$的图像特征，并说明它们之间的关系。

2.设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2+1$，求该数列的前$n$项和$S_n$。

3.已知三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，且满足$a^2+b^2=c^2$，证明该三角形是直角三角形。

4.给定函数$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$，求该函数的极值点。

5.若数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-2^n$，求该数列的前$n$项和$S_n$，并证明该数列是递增数列。

五、计算题

1.计算定积分$\int_0^{\pi}\sinx\,dx$的值。

2.求函数$f(x)=x^3-9x^2+24x-12$的导数$f'(x)$。

3.解下列方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

4x-y=5

\end{cases}

\]

4.求函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定义域，并求出其反函数。

5.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=2$，公差$d=3$，求前10项和$S_{10}$。

六、案例分析题

1.案例背景：某工厂生产一种产品，每生产一件产品需要原材料成本10元，固定成本为5000元。根据市场调研，该产品的需求函数为$Q=50-0.5P$，其中$Q$为需求量，$P$为产品价格。

案例分析：

（1）求该产品的边际成本函数和边际收益函数。

（2）求该产品的总成本函数和总收益函数。

（3）根据边际分析，确定工厂的最佳生产数量。

2.案例背景：某班级有学生50人，其中有30人参加数学竞赛，25人参加物理竞赛，10人同时参加数学和物理竞赛。

案例分析：

（1）求该班级参加数学竞赛的学生中未参加物理竞赛的人数。

（2）求该班级参加物理竞赛的学生中未参加数学竞赛的人数。

（3）求该班级至少参加一项竞赛的学生人数。

七、应用题

1.应用题：某公司计划在直线$y=-2x+10$上找一点$P$，使得从点$P$到点$A(3,4)$和点$B(7,2)$的距离之和最小。求点$P$的坐标。

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$a$，$b$，$c$，其表面积为$2(ab+bc+ac)=72$，体积为$abc=27$。求长方体的对角线长度。

3.应用题：某商品的原价为$P$元，经过两次打折，每次折扣率为$r$（$0<r<1$），最终售价为$P(1-r)^2$元。若最终售价为原价的$75\%$，求折扣率$r$。

4.应用题：某班级有学生60人，其中男生人数为$2x$，女生人数为$3x$。已知班级总人数增加了$20\%$，而男生人数减少了$10\%$，女生人数减少了$15\%$。求原班级男生和女生的人数。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.A

3.C

4.A

5.A

6.B

7.A

8.C

9.B

10.A

二、判断题

1.√

2.×

3.√

4.×

5.√

三、填空题

1.$f'(0)=1$

2.$d=4$

3.$z$在复平面上位于第二象限

4.直角三角形

5.6

四、简答题

1.$y=e^x$的图像是经过点$(0,1)$，且随着$x$增大而增大的指数函数；$y=\lnx$的图像是经过点$(1,0)$，且随着$x$增大而增大的对数函数。两者互为反函数。

2.$S_n=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}$

3.根据勾股定理，若$a^2+b^2=c^2$，则该三角形是直角三角形。

4.$f'(x)=3x^2-12x+9$，极值点为$x=1$和$x=3$。

5.$S_n=\frac{3(3^n-1)}{2}$，数列$\{a_n\}$是递增数列。

五、计算题

1.$\int_0^{\pi}\sinx\,dx=-\cosx\bigg|_0^{\pi}=-(-1)-(-1)=2$

2.$f'(x)=3x^2-12x+9$

3.解得$x=2$，$y=2$

4.定义域为$x\neq2$，反函数为$f^{-1}(y)=\frac{y+4}{y}$

5.$S_{10}=10\times2+\frac{10\times9\times3}{2}=570$

六、案例分析题

1.（1）边际成本函数为$MC(x)=10$，边际收益函数为$MR(x)=-x+50$。

（2）总成本函数为$TC(x)=