初中数学基础知识及经典题型

例题讲解

【例1】如图10,平行四边形侬刀中，四=5,比=10,比边上的高4佐4,

E为比边上的一个动点(不与B、。重合).过£作直线形的垂线,垂足为F.FE

与优的延长线相交于点G,连结龙，DFO

(1)求证：卜BEFs\CEG.

(2)当点£在线段宽上运动时，△颇和AC砧的周长之间有什么关系？

并说明你的理由.

(3)设防=居△晰的面积为必请你求出y和x之间的函数关系式，并

求出当才为何值时，y有最大值，最大值是多少？

4D

二次函数+6x+c(a>0)与坐标轴交于点ABC且

0A=l/0B.(1)/求此工次函数的解析式.(2)写田顶点坐标和对称轴

方程:

B

(3才点MN在+6x+c的图像上(点N在点M的右边)且MN〃x

轴求以MN为直径且与成轴用切的圆的半径.

图10

【例3】已知两个关于X的二次函数弘与当x=Z时，%T7；且二次函数必

的图象的对祢轴是宜必，乂=。(人一心2+2状>0),%+%=/+6x+12线”=-1.

(1)求％的值；

(2)求函数9%的表达式；

日理由(3)在同一直角坐标系内’间函数'的图象与巧的图象是否有交点？请说

【例4】如图,抛物线y=9+4x与X轴分别相交于点B、0,它的顶点为A,连接AB,

把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点0,得到直线1,设P是直线1上一动点.

(1)求点A的坐标；

(2)以点A、B、0、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接

写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；

(3)设以点A、B、0、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当

4+6近WSV6+80时，求x的取值范围.

【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提

高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的

利润必与投资量工成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润力与投资量x成

二次向数关系，如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)一

(1)分别求出利润以与当关于投资量x的函数关系式；

(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少

利润？他能获取的最大利润是多少？

【例5】如图，己知4-4,0),8(0,4),现以A点为位似中心，相似比为9:4,

将0B向右侧放大，B点的对应点为C.

(1)求C点坐标及直线BC的解析式；

(2)一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的

解析式并画出函数图象；

(3)现将直线BC绕单点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所

有满足到直线AB距离为3g的点P.

【例6】如图，抛物线:y二一/一2X+3交工轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物

线右向右平移2个单位后得到抛物线右，4交工轴于C、1)两点.

(1)求抛物线右对应的函数表达式；

(2)抛物线4或乙在X轴上方的部分是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边

形是平行四边形.若卷在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点P是抛物线。上的一个动点(P不与点A、B重合)，则点P关于原点的对

称点Q是否在抛物线右上，请说明理由.

解析过程及每步分值

【例7】如图，在矩形ABC。中，A8=9,40=36，点尸是边8c上的

动点(点P不与点B,点。重合)，过点尸作直线交CO边于。点，

再把△PQC沿着动直线P。对折，点C的对应点是R~点，设CP的长度为

x,△PQR与矩形A3CO重叠部分的面积为y.1_

27

(1)求NCQ尸的度数；

(2)当x取何值时，点R落在矩形ABC。的48边上？

(3)①求y与x之间的函数关系式；

②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？

(备用图2)

解析过程及每步分值

解：（1）如图，四边形A8C。是矩形,:.AB=CDfAD=BC.

又A3=9,AD=3y/3,ZC=90,

:.CD=9,BC=36.

，:.NCDB=3().

vPQ//BDt/.ZCQP=ZCDB=30.

(2)如图1,由轴对称的性质可

.0辆=/"=典18川8不知‘4RPQ必CPQ,

cStKrcc

22:./RPQ=4CPQ,RP=CP.

由(1)知NCQ尸=30,ZRPQ=ZCPQ=60,

二.NRPB=60,:.RP=2BP.

,/CP=x,PR=x,PB=3>/3-x.

在ARPB中,根据题意得：2(3yf3-x)=x,

解这个方程得：x=2^3.

(3)①当点R在矩形ABC。的内部或A8边上时，

0VXW26,

•△RPQ94CPQ,.•.当0vxW2百时，

当R在矩形A8CO的外部时(如图2),2百<x<3百,

在RtZXP/中中，•・NRPB=6O,

:.PF=2BP=2(3y/3-x)f

又YRP=CP=X,：.RF=RP-PF=3x-6y/3,

在RtZ\ER/中，

-ZEFR=ZPFB=30,:.ER=43X-6.

,•*y=S8RPQ-S^ERF，

.♦.当26<不<3百时，y—>]3x~+18x-185/3.

一7xJ(o<x<2扬

综上所述，y与4之间的函数解析式是：y2

然瞬面积廿竭善1827M5四出份亮篷&狗箝,

tan/CDB=—=—®1

~CD~3函数片==X工-/V随随自自变变最即j的增增大大而而堞堞大大，产所以日y的,簿也大值

是6。，,南矩形面积的一的值=—x2277石=7石，

厂厂r27277

而7G>6石，所以，当0cx<26时，y的值不可能是矩形面积的方；

当2百vx<3后时，根据题意，得：一

-6/+18工一186=76,解这个方程,得］=3百±四，因为3百+夜>36,

所以％=36+后不合题意，舍去.

所以x=3百一夜.

L笔上再述，当

SACPQ=；*CPXCQ=；X*>X=^X2_V3、x=3。一及时，△尸QR

与y=~2^x矩形ABCZ）重登部分的面积

等于矩形面积的.

2.已知，如图1,过点E(O,—1)作平行于“轴的直线/,抛物线y=-f上的两点

A、8的横坐标分别为一1和4,直线A8交y轴于点尸，过点A、8分别作直线/的垂线,

垂足分别为点。、D,连接C尸、DF.

(1)求点A、B、尸的坐标；

(2)求证：CF.LDF；

(3)点P是抛物线y对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQJ_P。交x轴

4

于点。，是否存在点P使得△0P。与△COF相似？若存在，请求出所有符合条件的点尸

的坐标；若不存在，请说明理由.

（图1）备用图

3.已知矩形纸片。钻C的长为4,宽为3,以长04所在的直线为了轴，。为坐标原

立平面直角坐标系：点P是。4边上的动点（与点O、A不重合），现将△尸OC沿PC

得到△PEC,再在43边上选取适当的点D将△R4O沿PO翻折，得到△「7%）,

直线尸区尸尸重合.

（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、。的坐标，并求过此三点的抛物

线的函数关系式；

（2）若点E落在矩形纸片Q48C的内部，如图②，设。尸=x,AO=y，当x为何值

时，y取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点尸、C、£＞三点的抛物线上是否存在点。，使△PDQ是

以尸。为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点。的坐标.

PAx

图①图②

4.如图，已知抛物线y=f+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的

对称轴交x轴于点5点8的坐标为（-1,0）.

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）在平面直角坐标系M），中是否存在点P,与4、庆C三点枸成一个平行四边形？

若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由：

（3）连结。与抛物线的对称轴交于点。，在抛物线上是否存在点M,使得直线CM

把四边形。EOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，

请说明理由.

5.如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3(aWO)与x轴交于点4(1,0)和点8(一

3,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的对称轴与工轴交于点例，问在对称轴上是否存在点P,使ACMP为

等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE

面积的最大值，并求此时三点的坐标.

，44y

二、动态几何

CC

6.如图，在梯形\DC//AB,D=6厘米，OC=4厘米,

BC的坡度i=3：4,双点砌出一1平％2厘米/他的速度沿坳加期句点B运动，动点。从

点B出发以3厘米/秒的速或沿

B7C一。方向向点。运初，两个动点同时出发，当其中

一个动点到达终点时，另图⑦动点也随之停止.设动点逼动的时间为f秒.

(1)求边BC的长;

(2)当，为何值时，PC与8。相互平分;

(3)连结PQ,设△PBQ的面积为y,探求y与f的函数关系式，求［为何值时，y有

最大值？最大值是多少？

DC

7.已知：直线y=』x+l与y轴交于,抛物线丁=』％2+反+。与

A,与x轴交于

直线交于4、£两点，与x轴交于8、C两电,且8点坐标为(I,

(1)求抛物线的解析式;

nB

(2)动点P在x轴上移动，当△两金融百g角形时，求点尸的坐标.

(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|A例-WC|的值最大，求出点M的坐标.

8.已知：抛物线y=o?+bx+c（awO）的对称轴为％=-1,与x轴交于A8两点,

与y轴交于点C,其中4（一3,0）、C（0,-2）.

（I）求这条抛物线的函数表达式.

（2）已知在对称轴上存在一点P,使得△P8C的周长最小.请求出点夕的坐标.

（3）若点O是线段。。上的一个动点（不与点。、点。重合）.过点。作OE〃尸。

交x轴于点E连接尸。、PE.设。。的长为〃2,△正£应的面积为S.求S与加之间的

函数关系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.

,1

9.如图1,已知抛物线经过坐标原点。和x轴上另一点顶点”加些标为,2,4）；

矩形A3CO的顶点A与点。重合，AD.分别在x轴、y辅»且荷，2,声=；

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；\1/

（2）将矩形A8CO以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位生*41的正方向匀

速平行移动，同时一动点尸也以相同的速度从点A出发向8匀速移动.凌它4运动的时间

为，秒（0W/W3）,直线A8与该抛物线的交点为N（如图2所示）.

①当，=3时，判断点尸是否在直线ME上，并说明理由；

2

②设以p、N、a。为顶点的多边形面积为s,试问s是否存在最大值？若存在，

求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

线力的解析式.图1图2

（3）如下图，抛物线内的顶点为尸，x轴上有一动点M,在凹、为这两条抛物线上

是否存在点M使0（原点）、P、M、N四点构成以0P为一边的平行四边形，若存在，求

出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

【提示：抛物线y+8x+c（。声0）的对称轴是x=-■顶点坐标是

2a

（b4ac-b2}.、，

I2。4a）§

4

3

2

II.如图，已知抛物线G：y=〃(x+2)2-5的顶点为尸，与x轴相交于4、8两点

(点A在点5的左边)，点3的横坐标是1.

(1)求尸点坐标及。的值；(4分)

(2)如图(1),抛物线C2与抛物线G关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移

后的抛物线记为C3，。3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时，求。3的解析式;

(4分)

(3)如图(2),点。是x轴正半轴上一点，将抛物线G绕点。旋转180。后得到抛

物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于£、尸两点(点E在点F的左边)，当以点P、

N、尸为顶点的三角形是直角三角形时，求点。的坐标.(5分)

图1图2

12.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形A3CO的三个顶点8(4,0)、C(8,0)、

£)(8,8).抛物线/=0^+打过A、。两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点尸从点A出发，沿线段AB向终点8运动，同时点。从点。出发，沿线段

CD向终点O运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为，秒.过点P作庄_LA8交

AC于点E.

①过点£作律，4)于点尸，交抛物线于点G.当f为何值时，线段EG最长？

②连接E0.在点P、。运动的过程中，判断有几个时刻使得△CE。是等腰三角形？

请直接写出相应的/值.

13.如图1,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(—2,-1)，且尸(-1,

-2)为双曲线上的一点，。为坐标平面上一动点，以垂直于x轴，垂直于)，轴，垂足

分别是A、B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点。在直线M0上运动时，直线M。上是否存在这样的点Q,使得AOB。与

△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)如图2,当点。在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、0Q为邻边的平行

四边形OPC。，求平行四边形OPC。周长的最小值.

图1

图2

14.如图，矩形ABC。中，Afi=6cm,AD=3cm,点E在边OC上，RDE=4cm.动

点P从点A开始沿着ATBTCTE的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE

以lcm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动.若点P、Q从点A同时出发，

设点。移动时间为f(s),P、Q两点运动路线与线段尸。围成的图形面积为S(cm?),求$

与，的函数关系式.

15.如图，已知二次函数)=()+啰/'〃/的图象”X轴相交于两个不同的点

4与0)、5(匹,0),与)，疏££；为C.设△ABC的卜接圆的圆心为点尸.

ApB

(1)求。尸与y轴的另一个交点D的坐标;

(2)如果A3恰好为OP的直径，且△A8C的面积等于石，求相和％的值.

16.如图，点A、8坐标分别为(4,0)、(0,8),点C是线段。8上一动点，点£在

x轴正半轴上，四边形QEOC是矩形，且OE=2OC.设。七=«，＞0),矩形OEOC与

重合部分的面积为S.根据上述条件，回答下列问题：

(1)当矩形OEOC的顶点。在直线AB上时，求，的值：

(2)当，=4时，求S的值；

(3)直接写出S与，的函数关系式；(不必写出解题过程)、弋

(4)若S=12,则1=.\

17.宜线y=—3x+6与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q@时病点出发，

OEMx

同时到达4点，运动停止.点。沿线段04运动，速度为每秒1个单位长13点尸?曜线。

fBfA运动.

(1)直接写出A、3两点的坐标；

(2)设点。的运动时间为，秒，△OPQ的面积为S,求出S与，之间的函数关系式;

48

(3)当5二手时，求出点尸的坐标，并直接写出以点O、P、。为顶点的平行四边

形的第四个顶点〃的坐标.、Av

18w的三个顶点分别作出公5三条直―线

之间的距离叫△?!勿的“水平宽”(a),中间的这条直线在△/溢洪部的线段的长度叫△力8。

的“铅垂高”(力.我们可得出一种计算三角形面积的菊笆法：,即三角形

面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

OQf

解答下列问题:

如图2,抛物线顶点坐标为点。(1,4),交x轴于点力(3,

0),交y轴于点反

(1)求抛物线和直线月8的解析式;

(2)求AOS的铅垂高切及S^CAB；

9

(3)设点尸是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点只使8网产NS

若存在,

求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

19.如图，在平面直角坐标系中，点A、。的坐标分别为(一1。)、(0,—6),点8在K轴

上.己知某二次函数的图象经过A、5、C三点，且它的对称轴为直线x=l,点P为直线6c

下方的二次函数图象上的一个动点(点尸与3、C不重合)，过点尸作y轴的平行线交8C

于点E

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若设点P的横坐标为加,用含机的代数式表示线段PF的长.

(3)求△PAC面枳的最大值，并求此时点尸的坐标.

20.如图所示，费形的边长为6厘米，ZB=60°.从初始时刻开始，点、P、

。同时从A点;木器■点「加1届羽4的速度沿A8的方向运动,点。以2厘米/

A\0!F/yx

秒的速度沿AfZ纤勿务向运动，当点。运动到。点时，P、。两点同时停止运

动，设尸、0运动胡山仁/秒时，AAQQ与△4BC事孽那分的面积为y平方厘米(这

里规定：点和线段是面积为。的三角形)，解答下列问题:

(1)点P、。从出发到相遇所用时间是秒;

(2)点P、。从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是秒;

(3)求y与x之间的函数关系式.

DC

21.定义一种变级：平栈抛物线耳得到抛物线鸟，使尸2经过石的顶点A.设心的对

称轴分别交耳F?—分ZE，谓C是点A关于直线的对称点.

(1)如图1,若《：了二炉，经过变换后，得到鸟：丁=/+/，点。的坐标为(2,0),

则①6的值等于；

②四边形ABCD为()

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

(2)如图2,若6：丫=加+。，经过变换后，点B的坐标为(2,c-1),求△ARD

的面积;

(3)如图3,若耳：y=Ld—2x+N,经过变换后，4。=26,点尸是直线AC

333

上的动点，求点P到点。的距离和到直线AD的距离之和的最小值.

22.如图，已知直线,=一:工+1交坐标轴于4,5两点，以线段A8为边向上作正方

一

形A8CZ）,过点A,。。的抛物线与直线另个交点为E.

（1）请直接写出点CO的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒右个单位长度的速度沿射线A8下滑，直至顶点。落在入轴上

时停止.设正方形落在x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时间，的函数关系式，并写

出相应自变量/的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C,E两

点间的抛物线弧所扫过的面积.

23.如图，点A、8坐标分别为（4,0）、（0,8）,点C是线段。8上一动点，点£在

x轴正半轴上，四边形QEOC是矩形，fLOE=2OC.设。七=«，＞0）,矩形OEOC与

重合部分的面积为S.根据上述条件，回答下列问题：

（1）当矩形OEOC的顶点。在直线上时，求，的值：

（2）当，=4时，求S的值；

（3）直接写出S与，的函数关系式；（不必写出解题过程）v

（4）若S=12,则1=.\

24.如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进厅（环境改造.已

知△ABC的边BCK120米，高4。长80米.学校计划将它分割成ABHE、

△GFC和矩形EFG”四部分（如图）.其中矩形EFG”的一边七四地簟、匕其号两

个顶点H、G分别在边AB、AC±.现计划在△AHG上种草，与平米食?兀川在

△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFG”上兴建爱心鲍，每平

方米投资4元.

（1）当尸G长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？

（2）当矩形£FGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小？最小值为

多少？

25.已知：％,G是方程”+2，-24=0的两个实数根，且4<，2，抛物线

2

y=+法+。的图象经过点4&,0),5(0,/2).

(I)求这个抛物线的解析式；

(2)设点P(x,y)是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形。PAQ是以04为

对角线的平行四边形，求QO尸AQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取

值范围；

(3)在(2)的条件下，当Q。尸AQ的面积为24时，是否存在这样的点P,使OOPAQ

为正方形？若存在，求出产点坐标；若不存在，说明理由.

三、说理题>|

26.如图，抛物线经过%%3(1,0),C(0,-2)三点.

(I)求出抛物线的解析式」________

0v

(2)P是抛物线上一动点，平尸作轴，垂足为M,是否存在P点，使得以

4,P,M为顶点的三角形与△。4七相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不

存在，请说明理由；

(3)在直线AC上方的抛物线上有一点。，使得△0C4的面积最大，求出点。的坐

27.如图，在平面直角坐标系无0)，中，半径为1的圆的圆心0在坐标原点，且与两坐

标轴分别交于A、B、C、。四点.抛物线》=改2+法+。与y轴交于点。，与直线y=x

交于点M、N,且M4、NC分别与圆。相切于点A和点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴交工轴于点E,连结。E,并延长OE交圆。于尸，求EF的

长.

(3)过点B作圆。的切线交OC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上，说明

理由.

)，A

28.如图1,已知：抛物线丁=一f+原+。与工两点，与y轴交于点C,

2

经过8、C两点的直线是丁=2/一2,连结AC

A

(I)B、。两点坐标分别为B(),抛物线的函

数关系式为；/

(2)判断△ABC的形状，并说明理由;

(3)若△ABC内部能否截出面积最大的矩形。瓦C(顶点。、E、F、G在ZVIBC

各边上)？若能，求出在A3边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由.

/,,_,2\

[抛物线＞=0^+"+c的顶点坐标是-------------]

、2a4。,

图1图2(备用)

29.己知：如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABe的边0A在），轴的正半轴上,

OC在工轴的正半轴上，QA=2,0C=3.过原点O作NAOC的平分线交A8于点。，连接

DC,过点。作OE_LOC,交0A于点E.

（1）求过点E、D、。的抛物线的解析式；

（2）将/EDC绕点。按顺时针方向旋转后，角的一边与），轴的正半轴交于点凡另

一边与线段。。交于点G.如果。产与（1）中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为《，

则EF=2G0是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点。，使得直线

GQ与48的交点尸与点C、G构成的APCG是等腰三角形？若存在，请求出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

30.如图所示，将矩形Q4BC沿AE折叠，使点。恰好落在8C上尸处，以C五为边

作正方形CFG",延长至M,使CM=|CE—田，再以CM、CO为边作矩形

CMNO.

(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由.

(2)令四边形c,请问团是否为定值？若是，请求出机的值；若不是，请说

S四边形CWNO

明理由.

(3)在(2)的条件下，若。。=1,CE=;，。为AE上一点且。尸=：,抛物线

丁=〃优2+次+。经过。、。两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线丁=5/+尿+。与线段43交于点尸，试问在直

线5c上是否存在点K,使得以P、B、K为顶点的三角形与AAEF相似？若存在，请

经典难题（二）

1、已知：ZXABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM_LBC于M.

（1）求证：AH=20M：

(2)若NBAC=600,求证：AH=AO.(初二)

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA_LMN于A,自A引圆的两条口线

B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.E

L

B

求证：AP=AQ.（初二）M

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下龟嗯：

设MN是圆0的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD

P、Q.

求证：AP=AQ.（初二）

N

4、如图，分别以AABC的AC和BC为一边，在AABC的外狈g耳方形

方形CBFG,点P是EF的中点.0B

D

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.（初二）

经典难题£乏）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,AE=AC,E与

求证：CE=CF.（初二）AB

AD

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE〃AC,且CE=CA,

F.F

求证：AE=AF.（初二）

AD\

F

3、设P是正方形ABCD一由BC一点，PF_LAP,

B

求证：PA=PF.（初二）

A

4、如图，PC切圆0于C,AC为圆的直径，PEF为圆的害IB

交于B、D.求证：AB=DC,BC=AD.（初三）

经典难题（四）

1、已知：AABC是正三角形，P是三角形|Pf

求：NAPB的度数.（初二）

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且NPBA=NPDA.

BC

求证：ZPAB=ZPCB.（初二）A__________________D

?\D

设ABCD为圆内接凸四边形，求证彳

3、Ptolemy（托勒密）定理:

=AC-BD./

B

（初三）

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE

且（B

经典难题（五）]

D/求证:飞£

1、设P是边长为1的正4ABC内任一点，1=PA+PB+PC,

2.

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值.

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.

IA

4、如图，AABC中，ZABC=ZACB=80°,D、E分别是AB、AC上的点,

=300,NEBA=20°,求NBED的度数.

第五章复习提纲

初中数学总复习提纲

第一章实数

★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算

☆内容提要☆

重要概念

1.数的分类及概念

数系表:

「正整数

说整数30明：“分类”的原则:

〃有（有限或无限循环性数）I负整数

（不重、不漏）

1）相称分数了正分数

工负分数

实数<

2）有标准

〔无理数（无限不循型瞰｛旌髓

2.非负数：正

理数

实数与零

分数的统称。（表为：x

20）「正数

无理数

实数《

0整数常见的非负数有：

性质：若干个非负数的和为

、负数0,

则每个非负担数均为0。

无理

>V^(a>0)

3.倒数：①定义及表示法

②性质：A.aWl/a(aW±l);B.1/a中，aW0;C.OVaVl时l/a>l;a>l时，1/aV

1；D.积为U

4.相反数：①定义及表示法

②性质：A.aWO时，a#-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为C,商为

5.数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对

应关系。

6.奇数、偶数、质数、合数（正整数一自然数）

定义及表示:

奇数：2n-l

偶数：2n（n为自然数）

7.绝对值：①定义（两种）：

代数定义：।a।=ra（a>0）

L-a（a<0）

几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上

所对应的点到原点的距离。