北师大版数学九年级下册解答题专题训练50题含答案

北师大版数学九年级下册解答题专题训练50题含答案

1.如图，在AABC中，AB=AC=10cm,BDJ_AC于点D,且BD=8cm.点M从点A

出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/秒；同时直线PQrfa点B出发，沿BA的方

向匀速运动，速度为1cm/秒，运动过程中始终保持PQ〃AC,直线PQ交AB于点P、

交BC于点Q、交BD于点F.连接PM,设运动时间为t秒（OVl<5）.

（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？

（2）设四边形PQCM的面积为y（cm2）,求y与t之间的函数关系式.

102

【答案】（1）当t=§s时，四边形PQCM是平行四边形；（2）y=-t2-8t+40.

【详解】试题分析：（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边

平行，进而得到AP-4M,列出关于，的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；

（2）根据PQ//AC,可得根据相似三角形的形状必然相同可知V3PQ

也为等腰三角形，即BP=PQ=f，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含，的

代数式就可以表示出即，进而得到梯形的高正/=8-右又点M的运动速度和时间

可知点M走过的路程AM=2，，所以梯形的下底CM=10-2，.最后根据梯形的面积公

式即可得到y与f的关系式；

试题解析：（1）假设四边形PQC历是平行四边形，则

AP:AB=AM:ACf

*：AB=ACf

：.AP=AM,即10-/=2f,

解得：f=¥，

，当，二g时，四边形PQCM是平行四边形;

(2)VPQ//AC,

:.APBQSAABC,

.•.△P4Q为等腰三角形，PQ=PB=t,

.BFBPH.BFt

BDBA810

4

解得：BF=-t,

4

:.FD=BD—BF=8—J,

5

XVMC=AC-AM=10-2/,

2

.•.y=l（pe+A/C）FD=1（z+10-2r）（8-^r）=|r-8r+40.

52.某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入

口的设计示意图.其中，AB±BD.NBAD=18。，C在BD上，BC=0.5m.车库坡道

入口上方要张贴限高标志.以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.为标明限高，请你

根据该图计算CE的长度（即点C到AD的距离）.（参考数据:sinl830.31,cosl8%0.95,

tanl8%0.33）（结果精确到0.1m）

【答案】2.3米

【分析】在RtAABD中，根据直角三角形的边角关系求出BD,进而求出CD,再在

RtACDE中求出CE即可.

【详解】解：在RSABD中，ZABD=90°,ZBAD=18°,AB=9,

/.BD=tan18°xAB^O.33x9=2.97米，

VZDCE+ZADB=90°,ZBAD+ZADB=90°,

.*.ZDCE=ZBAD=I8°,

在RSCDE中，ZCED=90°,ZDCE=18°,CD=BD-BC=2.97-0.5=2.47（*）,

.•.CE=cosl8°xCDM）.95x2.47^2.3（米）.

【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正画计算的前提，构造

直角三角形是解决问题的关键.

53.计算:

（1）2sin300+tan30°-cos30°

（2）7（l-tan6O0）2+（2-cos45°）°--

【答案】⑴;3

⑵痒应

【分析】⑴将疝30。=：,cos30°=立，tan3(r=且代入，再计算乘法与加法；

223

(2)将tan60o=Gsin45=1,cos45=争弋入，然后根据二次根式的性质存=时，

非。数的0指数累等于1,乘积等于1的两个数互为倒数化简，最后有理数无理数分别

合并.

【详解】(1)2sin30°+tan30°cos30°

=2」+旦立

232

=1+-

2

—_3—•

2，

sin45°

T

=^-1+1-72

=V5-V2.

【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数，实数的运算.解决问题的关键是熟练

掌握特殊角的锐角三角函数值，实数混合运算的顺序，二次根式的性质，0指数辕定义，

倒数的定义.

54.如图①，将“欢迎光临”门挂便斜放置时，测得挂绳的一段AC=30C7〃.另一段8C=20

cm.已知两个固定扣之间的距离A8=30cm

(1)求点。到A8的距离；

(2)如图②，将该门挂扶“正名即AC=8C),求ZCAB的度数.(参考数据：sin49°«0.75,

4

cos41°«0.75,tan37°»0.75,cos53°«0.6,tan53°«-)

3

【分析】（1）过点C作Ca_LAB于点H,设B〃=x,则AH=30・x.根据勾股定理列式计

算可得x的值，进而可得C”的值;

（2）根据等腰三角形的性质可得4"的值，再根据锐角三角函数即可求出NCAB的度

数.

【详解】解：（1）过点C作CH_LAB于点”，如图.

设=则A"=30—x.

,：CHA.AB,AC=30,BC=20,

CH2=AC2-AH2=BC2-BH1，

即302-(30-X)2=202-X2,

2()

解得x

-'-CH=yJBC2-BH2==竺&.

3

(2)由已知，得AC=BC=25.

cosNBAC=------=0.6,

AC

:./mea530.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握

解直角三角形的方法.

55.如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点A的坐标点3

的坐标为(0,-4),点C的坐标为(1,-1).

-I-

-5

⑴请画出关于原点O成中心对称的△耳始G；

(2)请画出绕原点O逆时针旋转90。后得到的△&gG；

(3)试求问题(2)中A在运动过程中经过的路径的长度.

【答案】(1)图形见解析；

(2)图形见解析：

(3)石乃.

【分析】(1)根据中心对称的性质分别作出A、四、C,,依次连接即可：

(2)根据旋转变换的性质分别作出4、B?、依次连接即可；

(3)根据旋转的性质可知旋转角为90。，再利用勾股定理求出。4=26，最后利用弧

长公式即可得到答案.

【详解】(1)解：A(-2,T)、6(0,T)、C(L-l)关于原点O对称点分别为A、4、

G，

•.A(2,4)、4(0,4)、

依次连接4、用、G，得到局G即为所求，如下图；

(2)解：A(-2,-4)、8(0,T)、绕原点。逆时针旋转90。后对应点分别为4、

当、。2,

二4（-4,2）、鸟（-4,0）、G（T，T），

依次连接A、用、C2t得到M&G即为所求，如下图:

（3）解：：々ABC绕原点。逆时针旋转90。后得到的△A与G,

.ZAOA=90°

A（—2T）、8（01）,

.\AB=2,08=4,

:.OA=jAB2+OB2=V22+42=2>/5>

二•点A在运动过程中经过的路径A42的长度=90”-2石二后

c180

【点睛】本题考查了作图一旋转变换，中心对称变换，弧长公式，勾股定理等知识，熟

练掌握旋转变换的性质是解题关键，属于中考常考题型.

56,尺规作图，不需要写作图方法，保留作图痕迹，如图，若线段CZ）=acm,AB=bcm.

AI----------------------------------------1BC।-----------------------------1D

⑴根据下列要求画图，到点4点B的距离都不大于“cm的所有点组成的图形（用阴

影表示）.

（2）若线段CO=3cm,AB=3V5cm,求出满足（1）条件所得图形的面积.

【答案】（1）见解析；

（2）S阴影=（3乃——）cm-

【分析】（1）分别以点4、8为圆心，C。为半径画圆，两圆的公共部分满足条件：

（2）在接人M、AN,BM、BN,MN,A△与MN相交于点E,如图，先证明四边形AW8N

为菱形，则根据菱形的性质得到MN_LA8,AE=BE=^~,再计算出MN=3得AAMN

2

为等边三角形，所以NMAN=60。，根据扇形的面积公式和菱形的面积公式，利用S阴.

部分=2S用的MAN-S珈AMBN进行］十算・

（1）

解：如图，阴影部分为所作；

（2）

解：连接AM、AN,BM、BN,MN,AB与MN相交于点E,如图，

则AM=BM=BN=AN=3cm,

・•・四边形AMBN为菱形，

:.MN1.AB,AE=BE=^rAB=—,

22

在RtAAME中，ME=^AM2-AE2=卜?_（2^）2=|,

:,MN=2ME=3,

：.AM=AN=MNf

•••△AMN为等边三角形，

・•・NM4N=60。，

:・S阴影邰分=2S扇彩MAN-S菱形AMBN=2又驾袅-^3x343=（3〃■竺）cm2.

【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线）是解决问题的关键.也考查了菱形的判定与性质和扇形的面积公式.

57.如图，A8是OO的弦，O£_LAB交。。于点E,点C是弦A5下方OO上一点，连

接CE与A5交于点尸，点尸是A8延长线上一点，且PC=PF,连接。8、BC.

E

B

\0\/

V_%

(1)求证：PC是oo的切线；

(2)若NOBC=45°,BC=3&，BP=5,求既的长.

【答案】(1)见解析；(2)BF=2

【分析】(1)要证PC是(。的切线，连接OC,即证OC_LCP,即证NOCE+4FCP=90°,

通过OE±AB可得NE+ZAFE=90°,通过PC=PF结合等边对等角即可得证；

(2)要求所的长，8P的长己知，即求P尸的长，进而需求CP的长，过点8作6G_LPC

于点G,由CP=CG+PG且PG、社在同一直角三角形中，可知需求BG的长，易证

四边形0CG8是正方形，即可得解.

【详解】(1)证明：如图，连接OC

\'OE±AB

：.ZE+ZEFA=90°

•：OE=OC

：.NE=/OCE

•・•PC=PF

JZCFP=ZFCP

又「ZCFP=ZEFA

/.ZFCP=ZEFA

/.ZOCE+ZFCP=ZE+ZEE4=90°,即NOCP=90°

〈OC是Q的半径

・•・PC是OO的切线；

(2)如图，过点B作BG上PC于点G

VZOTC=45°,OC=OB

ZOC8=ZOBC=45°,ZCOB=90°

・•・AOBC是等腰直角三角形

•：OB=OC,BC=3五,OBZ^OC2=BC2

：.OB=3

VBGJ-PC,NOCP=90。

，四边形OBGC是正方形

：・OB=CG=BG=3

在用ABPG中，由勾股定理得人;二痴。5r二序予=4

【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质等

知识点，较难的是题(2),通过作辅助线，构造一个正方形是解题关键.

58.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时，y有最小值-4,且图象经过点(-1,12).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)该抛物线交x轴于点A,B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C,在抛物线对称轴上

有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标.

【答案】(Dy=x2-6x+5；(2)当点P的坐标为(3,2)时，PA+PC取最小值，最小

值为5夜.

【分析】(1)由顶点坐标将二次函数的解析式设成产a(x-3)2-4,由该函数图象上一

点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的

对称性可得出连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值，最小值为BC,

根据点B、C的坐标可求出直线BC的解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象

上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解.

【详解】(1)•・•当x=3时,y有最小值4,

・•・设二次函数解析式为y=a(x-3)2-4.

•・•二次函数图象经过点(-L12),

.\12=I6a-4,

a=1,

・•・二次函数的解析式为y=(x-3)2-4=X2-6X+5.

(2)当y=0时,有X2-6X+5=0,

解得：X1=1,X2=5,

・••点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(5,0)；

当x=0时，y=x2-6x+5=5,

.•.点C的坐标为（0,5）.

连接BC交抛物线对称轴于点P,此时PA+PC取最小值，最小值为BC,如图所示.

设直线BC的解析式为y=mx+n(m#)),

将B(5,0)、C(0,5)代入产mx+n,得:

5/n+/:=0/n=-1

解得:

ti=5n=5

,直线BC的解析式为y=-x+5.

VB(5,0)、C(0,5),

・・・BC=5&.

•.•当x=3时，y=-x+5=2,

・•・当点P的坐标为(3,2)时，PA+PC取最小值，最小值为5&.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标

特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式以及轴对称中最短路线问题，解

题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)利用两点

之间线段最短结合二次函数的对称性找出点P的位置.

59.如图，在AABC的边8c上取一点。，以0为圆心，OC为半径画8,与边AC

相切于点C,连接04,04平分NC43.

⑴求证：AB是OO的切线；

4

⑵若AB=10,tanB=-,求00的半径.

【答案】(1)见解析

(2)1

【分析】（1）连接0。，由切线的性质可得NADO=90°,由“A4S”可证AACO三AADO,

可得OC=OD,由切线的判定可得结论；

（2）由锐角三角函数可设AC=4x,BC=3x,由勾股定理可求8C=6,再由勾股定

理可求解.

（1）

过点。作于点O,

ADB

则ZADO=90。，

。与边4C相切于点C,

..OC±AC,即/48=90°,

04平分NC4B,

:.ZCAO=ZDAOf

ZCAO=ZDAO,ZACO=ZADO=90°,OA=OA,

.­.MCO=MDO(AAS),

:.OC=OD,

oc是半径，

・•.OD是半径，

又O£>_LAZ?,

.•.A3是30的切线；

(2)

在RtAACB中，Z^4C=90°,

„4AC

tan8=-=——，

3BC

・•・设AC=4x,BC=3x,

222

.AC+BC=ABf

.,.16在+9江=100,

解得％=2,X2=-2(舍去)，

..BC=6,AC=8,

由(1)

:.AC=AD=S,

,AB=1(),

:.BD=AB-AD=2,

设OO的半径为「，则OC=OQ=r,

在RSODB中，ZODB=90°,

OB2=OD2+BD\

(6-r)2=r2+4,

解得「=[.

Q

所以O的半径为

【点睛】本题是考查了切线的判定和性质，正切，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐

角三角函数是解本题的关键.

60.己知抛物线'="一2如一3+2储(°工0).

(1)求这条抛物线的对称轴；

(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；

(3)设点尸(八乂)，。(3,必)在抛物线上，若))<%，求m的取值范围.

3232

【答案】(1)x=l；(2)y=-x-3x+-^,y=-x+2x-\；(3)当a>0时，-1</M<3；

当aV0时，"?<-1或帆>3.

【分析】(1)将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；

(2)根据(1)中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0,解一元二次方程,

即可得到。的值，进而得到其解析式；

(3)根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性

质，即可得到用的取值范围.

【详解】(1)y=ax2-2ux-3+2a2,

y=a(x-l)2-a-3+2a2,

，其对称轴为：x=l.

(2)由(1)知抛物线的顶点坐标为：(1,2/—〃—3),

•・•抛物线顶点在x轴上，

••2々2—々—3=0,

3

解得：a=-^a=-\,

当a时，其解析式为：y="2_3K+(,

222

当。=-1时，其解析式为：y=-x2+2x-l,

综上，二次函数解析式为：y=^ax2-3x+a^y=-x2+2x-\.

(3)由(1)知，抛物线的对称轴为x=l,

:.。(3,%)关于％=1的对称点为(T，%)，

当a>0时，若)\<必，

则“VmV3；

当aVO时，若,<必，

则m<-l或m>3.

【点睛】本题考查了二次函数充称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求

不等式的取值范围，熟知相关L算是解题的关键.

61.计算：

(1)75cos300+y/2sin45°；

(2)6tan2300-&sin600-2sin450.

【答案】(1)I：(2)《-日

22

【分析】直接代入特殊角度的三角函数值进行运算即可.

【详解】解：(1)原式=反3母*叵=三

222

(2)原式=6xg-yfy-2xyfi.

【点睛】本题考查了含有特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值是解

题关键.

62.如图1,48是。。的直径，A8绕点4顺时针旋转得到线段4C,连接交。。于

点、D,过。作。EL4C于E.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)过。作交。0于点孔直线AC交。0于点G,连接尸G,DG,BF.

①如图2,证明：FG//BD,

②当4。旋转到如图3的位置，在B户上取一点H,使得QH=OE若BF上DG,证明:

D,O,”在同一条直线上.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析②见解析

【分析】(1)如图1,连接0。、AD,根据旋转可证得△A8C是等腰三角形，根据直径

所对的圆周角是直角可得出AZXLBC,根据三角形中位线性质可得。。〃AC,进而推

出0DLDE,再运用切线的判定定理即可；

(2)①如图2,连接BG、AD,根据直径所对的圆周角是直角可得出AO_LBC,再运用

弦、弧、圆周角的关系即可证得结论；

②如图3,连接。。，运用圆周角定理及三角形内角和定理证明N8D”=NBOO,即可

证得结论.

(1)

证明：如图1,连接。。、AD,

绕点A顺时针旋转得到线段AC,

：.AB=ACf

•••△ABC是等腰三角形，

〈AB是。0的直径，

・・・NAO8=90°,即AO_L8C,

・・・BO=CO且A0=8。，

是△人AC的中位线,

：.OD//AC,

VDE±AC,

：.ODLDE,

・・・OE是。O的切线;

图1

(2)

)①证明：如图2,连接5G、AD,

〈AB是。。的直径，

NBG4=NB£%=90。，

：.ADlBCt

•・・AB=AC,

:・BD=DC,

：.BD=GD,

•*-BD=GD，

*：DFA.ABt

•*,BD=BF»

:・GD=BF，

.\Z1=Z2,

/.FG〃BD•、

图2

②证明：如图3,连接0D,

•:DFLAB,AB是。。的直径,

•**AD=AF，

••N3=N4=N5,

•・・AB=AC,

AZ3=ZC,

AZ5=ZC,

JFG//DB,

:、BG=DF，

：.NDBF=NBDG,

VBF±DG,

・•・NDBF=NBOG=45。，BD=BF，

：.Z3=Z4=-ZDBF=22.5°,

2

AZ7=90°-Z4=67.5°,

,:DF=DH,

/.Z6=Z7=67.5°,

:./BDH=/6-NO8/=22.5\

•：OB=OD,

••・N3=N8QO=22.5°,

NBDH=NBDO,

：-D,O,”在同一条直线上.

图3

【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用.熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，以

及三角形的中位线定理和三角形的内角和定理是解题的关键.

63.已知：如图，。。内切于aABC,ZBOC=105°,ZACB=90°,AB=20cm.求BC、

AC的长.

B

【答案】BC、AC的长分别是。cm、106cm.

【分析】先根据O内切于△ABC,得出NABO=NCBO,ZBCO=ZACO,再根据

ZACB=90°,得出NBCO=45。，再根据三角形内角和定理得出NOBC的度数，从而求

出NABC和NA的度数，即可求出BC的长，再根据勾股定理即可求出AC.

【详解】解：团圆O内切于回ABC,

00ABO=0CBO,0BCO=0ACO,

00ACB=9O0,

Pll?lBCO=-x90o=4So,

2

00BOC=1O5°,

00CBO=18OO-45O-1O5°=3O°,

00ABC=20CBO=6O°,

00A=3O°,

0BC=-AB=—x20=10cm,

22

0AC==^(f-lO2=10x/3

团BC、AC的长分别是10cm、10后cm.

【点睛】本题考查的知识点是三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练的掌握三角形

的内切圆与内心.

64.如图，在R34BC中，ZC=90°,AB=Scm,cos/A8Gl，点。在边AC上，且CQ二

7

-cm,动点P从点A开始沿边A8向点B以lcm/s的速度移动，当点P到达B点即停

止运动.设运动时间为I(s).解答下列问题：

(1)M、N分别是OP、8尸的中点，连接MN.

①分别求8C、MN的值；

②求在点尸从点A匀速运动到点B的过程中线段所扫过区域的面积；

⑵在点P运动过程中，是否存在某一时刻t,使5。平分N8P?若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由.

cc

?45

【答案】（1）①3C=Mcm,MN=5cm；②6cm?

⑵出

39

7

【分析】(1)①根据A8=8和8sZABC=m可求出8c的长，根据勾股定理求出8。的

长，然后根据三角形中位线定理即可求解；

②由于。点不动，所以8。的长不变，从而可得MN的长不变，由此可知扫过的区域为

平行四边形，再利用平行四边形的性质求面积即可得；

(2)过。作于，，过点R作BE上PD于E,根据角平分线的性质和勾股定理

求出BE,的长，再根据三角形的面积的不变性可得。P的长，从而可得叱的长，

然后在RL.3律中，利用勾股定理即可得.

(1)

解：①在RtZ\A8C中，NC=90。,A8=8cm,cosNA8C=1,

BC=ycm,AC=y/AB2-BC2=ycm,

CfD=—7cm,

:.BD=ylBC2+CD2=5cm»

.M,N分别为£>P,8尸的中点，

:.MN=-BD=-cm；

22

②因为。点不动，

所以8。的长不变，

所以MN的长不变，

所以如图，线段MN扫过的区域为平行四边形BMMNO,其中，点分别为

BZXAD4B的中点，则MoM=gE)=|cm,

过点M。作于点尸,

c

D

BN。F

BN«=AN。=gAB=4cm,

.AD=AC-CD=5cm,

AM。=gAO=gem,

AMi>=MaN0,

/.4F=；ANo=2cm,

:.M0F=j产二|cm,

2

则平行四边形BM1M°N°的面积为B7V0A/0F=4x|=6（cm）,

即线段MN所扫过的区域的面积为6cm2.

(2)

解：如图，过。作OH_LAB于”，过点8作8E_LPD于E,

AD=BD=5cm,DH1AB,

AH=—AB=4cm,

2

DH=yjAD2-AH2=3cm，

由题意得：AP=tcm,0</<8,

:.BP=AB-AP=(8-t)cmt

StBtUDrP=2-BEDP2=-DHBP,

2DHBP5/z、

•加=-^=53(cm),

iv5,

:.EP=DP-DE=--—(cn\)

58v7t

2fZHH/o\2fl85/V<24?

在Rt诋中,BP2=PE?+BE^，即(8T)=1y-jI+1yI,

解得f=或f=16、8(舍去)，

11?

故当好万时，8D平分NCDP.

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质、

等腰三角形的三线合一、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握三角形中位线定理和

勾股定理是解题关键.

65.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=；(x+3)(x-a)与x轴交于A,8(4,0)两

点，点C在〉轴上，且OC=OB,D,E分别是线段AC,AB上的动点(点。，E不

与点A,B,C重合).

(1)求此抛物线的表达式;

(2)连接。石并延长交抛物线于点P,当。E_Lx轴，且AE=1时，求OP的长:

(3)连接8。.

①如图2,将△8C£)沿“轴翻价得到当点G在抛物线上时，求点G的坐标;

②如图3,连接CE,当8=AE时，求8O+CE的最小值.

【答案】⑴尸22_%-3

呜

⑶①-引；②质

【分析】(1)把点8代入抛物线关系式，求出。的值，即可得出抛物线的关系式；

(2)根据抛物线y=；(x+3)(x-4)可求出点A的坐标，点。的坐标，根据AE=1,利

用三角函数，求出OE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出

点尸的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点尸的纵坐标，即可得出门的值，最后求

出QP的值即可;

(3)①连接£)G交AB于点/，设OM=a(a>0),贝ijAA/=04-。M=3-々，求出

MG=MO=AM・tanNCAO=g。-。)，得出点G(-〃,米4—3“，将其代入抛物线关系

式，列出关于。的方程，解方程，求出。的值，即可得出G的坐标；

②在A8下方作NE4Q=NOC5且AQ=AC,连接EQ,CQt证明△AEQw^COB,得

出EQ=%>,说明当C,E,。三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小,最小为CQ,过

。作C”_LA。，垂足为“，先证明NC4〃=45。，算出AC长度，即可求出C”、AH,得

出”Q，最后根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果.

⑴解：・・・8(4,0)在抛物线y=#+3)(i)上，・・・：(4+3)(4一〃)=0,解得°=4,

,y=；(x+3)(x—4),即"$2_3_3；

(2)在y="(x+3)(x-4)中，令y=0,得与=-3,x2=4,工A(-3,0),04=3,;

,、0C44

OC=OB=4,C(0,4),*.*AE=1>**•DE=AE-tanZ.CAO=AE--=lx—=—,

v7OA33

OE=OA-AE=3-\=2t：.E(-2,0),・.・OEJ_x轴，xP=xD=xE=-2f:.

i334317

y=-(-2+3)(-2-4)=--,PE=-：.DP=DE+PE=-+-=—.

「p4、八)22t326

(3)①连接OG交AB于点也，如图I所示:V△BCD

图1

与.8尸G关于％轴对称，,\DG1AB,DM=GM,设OM=a(a>0),则

AM=OA-OM=3—a,MG=MD=AMtanZCAO=^(3-a),,V

点6,4,如_3))在抛物线y=；(x+3)(x_4)上，.・.*+3)(-4-4)=*-3),解

得4=3(舍去)，/=］，・・・6卜3，-瓦卜②在A5下方作N"Q=NDC8且AQ=8C,

连接EQ,C。，如图2所示:VAE=CD,J

△AEQ=4CO3（SAS）,二9二皿，，当C,E,。三点共线时，BD+CE=EQ+CE

最小，最小为CQ,过C作C”，AQ,垂足为，，・・・"人0mOC=OB=4,：.

ZCBA=45°,BC=4&,,:

ZCAH=180°-NCAB-NEAQ=180°-ZCAB-Z.DCB=/CBA=45°,

AC=>/OA2+OC2=V32+42=5»A”=CH=AC=~~，

HQ=AH+AQ=AH+BC=手+4五CQ=y/CH2+HQ2

==屈,即BD+CE的最小值为质.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三

角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明EQ=4£）,得

出当C,E,。三点共线时，50+CE=EQ+CE最小，是解题的关键.

66.尺规作图只允许使用直尺和圆规来解决平面几何作图题，下面我们用尺规作图来解

决一些问题.

【回顾复习】下列作图语句表述正确的是.

①延长射线

②已知线段A8,作MN=AB；

③作直线48等于直线C£>；

④以某定点为圆心，以固定的长为半径画圆弧.

【课本呈现】

已知：NAOB.

求作：NA08的平分线.

作法：（1）以点。为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点、N.

一MNi

(2)分别以点M,N为圆心，大于2的长为半径画弧，两弧在的

内部相交于点C

画射线0C,射线OC即为所求.

【小试牛刀】小明同学发现，在0408上分别截取0M,0N,使0M=0N,并将两

个完全相同的直角三角尺按如图1所示的样子摆放，也可以得到。尸为N4O8的平分线，

你认为这种做法正确吗？请说明理由.

【问题解决】如图2,./3C是边长为2的等边三角形，直线1经过顶点A,且与边BC

平行，仅用尺规在直线1上找出点P,使得NAPC=3NACB,并直接写出8P的长度(保

留作图痕迹，不写作法).

【答案】回顾复习：②④；小试牛刀：这种做法正确，理由见解析；问题解决：2或2⑺

【分析】回顾复:习：根据直线和射线的定义可知，延长射线和直线是没有长度的，可得

①③不正确；作线段等于已知线段，和已知定点和定长作圆都属于基本作图，故②©正

确；

小试牛刀：由题意可知：NONP=/OMP=90。.0P=0P,0N=0M,所以RtZ\QVP

0RtOMP,可得NN0P=NM。尸即可说明OP为NAOB的平分线是正确的；

问题解决：由△ABC为等边三角形，BC〃《可知A8=3C=AC=2,ZBAC=AABC=

/及%=/。£=60。，分点P在<的位置上和点尸在g的位置上两种情况进行讨论.①

当点尸在A的位置上时，易证△力阴是等边三角形，即可求解；②当P在巴的位置

时，过点8作8£_L优于点七，可得/BE4=90。，ZABE=30°,AE=-AB=\

2f

BE=ABgsNAB—，进而知/管C=30。，再求得用=花+能=5,在M△吵中,

根据勾股定理可求86的值.

【详解】解：回顾复习②④，

小试牛刀：这种做法正确.理由如下：

由题意可知：NONP=NOMP=90°.

"：OP=OP,ON=OM,ARtAO/VP^RtOMP.

，ZNOP=ZMOP.

・・・0P为NAO8的平分线.

:△ABC为等边三角形，BC///,

・•・AB=BC=AC=2,ZBAC=NABC=/BAP、=Z.CAP2=60°

①当点尸在R的位置上时，由作图可知管=/=2

:.AB=AP

:ZBP\是等边三角形

ABP=AP=2；

②当P在尸2的位置时，过点8作施_L优于点日如图,

则NBE4=90。，ZA5E=30°

AAE=|AB=l,BE=AB^,osZ.ABE=4i

：.AP=AC

:.4片。=30°

由作图过程可知印=%

・•・/优。=N4gC=30。

:.ZACP2=180°-Z-ZAP2C=90°

AAP2=2AC=4

:.吗"E+优=5

在M△畛中，

BPfjBE?+EP；=2戈

综上所述，BP的长度为2或2H.

【点睛】本题考查了基本作图，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，解直角

三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟悉基本作图，综合运用全等三角形的判定定

理和等边三角形的判定与性质等知识.

67.如图，在平面直角坐标系中，ZACB=90°,0C=20B,tanNABC=2,点B的坐标

为(1,0).抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB

于点E,使PE=《DE.

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M,使4ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所

有点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)®P(-1,6),②存在，M(-1,3+而)或(-1,

13

3-JFT)或(-1,-1)或(・1,—).

【分析】(1)先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式;

(2)①先得AB的解析式为：y=-2x+2,根据PD_Lx轴，设P(x,-x2・3x+4),则E(x,

-2x+2),根据PE=^DE,列方程可得P的坐标；

②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB,AM,BM的长，分三种情况：AABM

为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐

标.

【详解】解：(1)VB(1,0),AOB=1,

VOC=2OB=2,AC(-2,0),

RsABC中，tanNABC=2,

・AC.AC.A

・・-----=29，.•-----=2，..ACR=u,

BC3

AA(-2,6),

J-4-2b+c=6

把A(-2,6)和B(1,0)代入y=-x2+bx+c得:

(—\+b+c=0

b=-3

解得:

c=4

，抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4；

(2)①YA(-2,6),B(1,0),

，AB的解析式为：y=-2x+2,

设P(x,-x2-3x+4),则E(x,-2x+2),

VPE=-DE,

2

:,-x2-3x+4-(-2x+2)=—(-2x+2),

2

Ax=-l或1(舍)，

・・・P(-1,6)；

②在直线PD上，且P(-l,6),

设M(-1,y),

VB(1,0),A(-2,6)

AAM2=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2,

BM2=(1+1)2+y2=4+y2,

AB2=(1+2)2+6J45,

分三种情况：

i)当NAMB=90。时，有AM2+BM2=AB2,

1+(y-6)2+4+y2=45,

解得：y=3±VTT,

/.M(-1,3+y/ll)或(・1,3・\f\l);

ii)当NABM=90。时，有AB2+BM2=AM2,

/.45+4+y2=l+(y-6)2,y=-1,

AM(-1,-1),

iii)当NBAM=90。时，有ANP+AB2=BM2,

/.1+(y-6)~+45=4+y2,

综上所述，点M的坐标为:・・・M（-1,3+而）或（-1,3-而）或（-1,-1）

或（7,y）.

【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度

和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识.此题难度适中，解题的关键是注意方程

思想与分类讨论思想的应用.

68.在中，AB=AC,点P在平面内，连接八户并将线段人。绕点人顺时针方向旋

转与NB4c相等的角度，得到线段AQ,连接8Q.

（1）发现问题

如图1,如果点尸是BC边上任意一点，则线段8Q和线段PC的数量关系是

（2）类比探究

如图2,如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予

证明；若不成立，请说明理由.请仅以图2所示的位置关系加以证明：

(3)迁移应用

如图3,在中，AC=2,48C=90。，NNCB=45。，尸是线段上的任意一点.连

接A尸，将线段AP绕点A顺时针方向旋转45。，得到线段AQ,连接8Q,试求线段8。

长度的最小值.

【答案】(1)BQ=PC；(2)8Q=PC依然成立，证明见解析；(3)线段的长度最

小值是0-1.

【分析】(1)根据SAS证△B&JgaCAP,即可得出8Q=PC；

(2)同(1)根据S4S证且△&!「，即可得出仇2=PC依然成立；

(3)在AC上取一点E,使AE=A8,根据SAS证即可得出8Q=PE,

再根据当PE_LAC时，“最小，求出最小值即可.

【详解】解：(1)由旋转知：AQ=APf

,：ZPAQ=ZBAC,

:.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

：.ZBAQ=ZCAP,

9：AB=AC,

•••△BAQgZXCA尸(SAS),

；・BQ=PC,

故答案为：BQ=PC；

(2)结论：8spe依然成立，

理由：由旋转知，AQ=AP,

■:ZPAQ=ZBACf

：.ZEAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

・・・NB4e=NCAP,

'：AB=AC,

•••△84。0△CAP(SAS),

：・BQ=PC；

(3)如图3,在4c上取一点E,使AE=A8,连接尸E,过点E作ERL8C于F,

o

BPF

图3

由旋转知，AQ=APtN%Q=45。，

VZB4Q=ZBAC,

:.ZPAQ-ZBAP=ZBAC-ZBAP,

：.ZBAQ=ZCAPt

在“80和"EP中，

AB=AE

<ZBAQ=ZCAPt

AQ=AP

•••△A8"Z\AEP（SAS）,

:・BQ=EP,

要使BQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是8C上的动点，

，当E尸_LBC时（点P与点尸重合时），EP最小,

在M"BC中，AG2,NA8O90。，NAC8=45。，

，AB=AC・sinNAC8=2xsin45o=正，

.*.AE=AB=yf2>

：.CE=AC-AE=2-42,

・•・七/三C£・smNAC8=（2-&）x»=&-l,

2

故线段8。的长度最小值是

【点睛】本题主要考查几何变换，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段距离最短

等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

69.如图，抛物线k-V+2X+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D为抛物

线的顶点，请解决下列问题.

(2)设点P的坐标为(a,0),当最大时，求a的值并在图中标出点P的位

置；

(3)在(2)的条件下，将ABCP沿x轴的正方向平移得到ABCP,设点C对应点C

的横坐标为t(其中0VIV6),在运动过程中△89?与4BCD重叠部分的面积为S,

求S与I之间的关系式，并直接写出当I为何值时S最大，最大值为多少？

S3

——r+60?</<)-,

A9