北师大版七年级数学下册举一反三 专题27 相交线与平行线章末重难点突破（举一反三）（原卷版+解析）

专题2.7相交线与平行线章末重难点突破

【北师大版】

储次洋一笈三

【考点1相交线中运用方程思想求角】

【例1】（2023春•武昌区期中）如图，直线M。、CN相交于点O,是NMOC内的一条射线，OB是N

NO。内的一条射线，/MON=70：

（备用图）

（1）若NBOD=^NCOD,求N8ON的度数：

（2）若NAOD=2NBOD,ZBOC=3ZAOC,求N8ON的度数.

【变式1-1］（2023春•饶平县校级期末）如图，A3、C。交于点。，ZAOE=4ZDOE,/AOE的余角比N

DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）.

（1）求NAOE的度数；

（2）请写出NAOC在图中的所有补角；

（3）从点O向直线A8的右侧引出一条射线。P,当NCOP=NAOE+NQOP时，求N80P的度数.

【变式1-2］（2023春•石城县期中）平面内两条直线C。相交于点O,QA_LO8,OC恰好平分NAOF.

（1）如图I,若NAOE=40°,求NBOD的度数；

（2）在图1中，若N4OE=x°,请求出N8O。的度数（用含有X的式子表示），并写出N40E和NBO。

的数量关系；

（3）如图2,当CM,OB在直线E厂的同侧时，NAOE和NBO。的数显关系是否会发生改变？若不变，

请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由.

【变式1-3］（2023秋•南岗区期中）如图，直线人从8相交于点O,过点O作Of_LCn

(1)如图1,求证：ZBOE-ZAOC=9O0；

（2）如图2,将射线08沿着直线C。翻折得到射线OP,即求证：OE平分NAOR

（3）如图3,在（2）的条件下，过点。作OG_LA3,当NFOG：ZAOE=2：3时，求NCOG的度数.

【考点2相交线中运用分类讨论思想求角】

【例2】（2023秋•永嘉县校级期末）直线A8与直线CD相交于点O,OE平分NB0D

（1）如图①，若N8OC=130°,求NAOE的度数;

（2）如图②，射线OF在NAOQ内部.

①若O凡LOE,判断是否为的平分线，并说明理由;

②若"平分NAOE,ZAOF=\ADOF,求N8。。的度数.

【变式2-1］（2023秋•南岗区校级月考）如图，点O在直线Ef上，点4、B与点C、。分别在直线E尸两

恻，且NAOA=12U°，.

（1）如图1,若。C平分N80Q,求NA。。的度数；

（2）如图2,在（1）的条件下，OE平分乙4。。，过点。作射线OGJLOB,求NEOG的度数；

（3）如图3,若在/BOC内部作一条射线0〃，若NCOH：/BOH=2：3,NDOE=5NFOH,试判断

ZAOE与NDOE的数量关系.

【变式2-2］（2023秋•门头沟区期末）已知，点O在直线A8上,在直线A8外取一点C,画射线OC,OD

平分NAOC射线OK在直线AA上方，且。?_LO£）于O.

（1）如图1，如果点C在直线A8上方，且N80c=30"，

①依题意补全图1；

②求NAOE的度数（0°VNAOEV18（T）；

（2）如果点C在直线A8外，且NBOC=a,请直接写出NAOE的度数.（用含a的代数式表示，且0°

<NAOEV1800)

OB

图1备用图

【变式2-3］（2023秋•金湖县期末）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页第13题有这样

的一个问题：”如图1,0c是乙408内一条射线，O。、OE分别平分NAO8、ZAOC.若/AOC=30°,

NBOC=90°,求NOOE的度数”，小明在做题中发现：解决这个问题时NAOC的度数不知道也可以求

求证：Q）BF〃EC；

(2)ZA=ZD.

【变式3-2］（2023秋•九龙县期末）如图，已知点A在石尸上，点尸，Q在8c上，ZE=ZEMA,NBQM

=NBMQ.

(1)求证：EF//BC；

(2)若FP_LAC,Z2+ZC=90°,求证：Z1=ZB；

(3)若N3+N4=18(T,ZB.4F=3ZF-20°,求N8的度数.

【变式3-3］（2023秋•安居区期末）如图，N4DE+/BC/=180,，A/平分NBA。，ZBAD=2/F.

（1）AO与8。平行吗？请说明理由.

（2）4B与E/的位置关系如何？为什么？

（3）若BE平分NA8C.试说明：①NABC=2NE；②NE+N产=90°.

【考点4平移中几何综合问题】

【例4】（2023春•和平区校级月考）已知：AB//CD,。在。的右侧，平分NA3C,。£平分N4OC,BE,

DE所在直线交于点E,ZADC=70°.

（1）则NEOC=（度）；

（2）若NABC=〃°,求/BED的度数（用含〃的式子表示）.

（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A右侧，其他条件不变，若N48C=〃°,

则（度）（用含〃的式子表示）.

【变式4-1］（2023春•曲周县期末）【探究】如图1,已知直线MN〃PQ,点A在MN上，点。在PQ上,

点、E在MN,PQ两平行线之间，则N4EC=/+Z；

【应用】如图2,已知直线八〃/2,点A,B在八上，点C,D在也上,连接4。，BC.AE,CE分别是

ZBAD,/BCD的平分线，Za=70°,Zp=30a.

（1）求NAEC的度数；

（2）将线段AO沿CO方向平移，如图3所示，其他条件不变，求NAEC的度数.

【变式4-2］（2023春•奉化区校级期末）如图1,AB,8c被直线AC所截，点。是线段AC上的点，过点。

DE//AB,连接AE,/B=/E=70°.

（1）请说明的理由.

（2）将线段4E沿着直线4c平移得到线段PQ,连接。Q.

①如图2,当。E_LOQ时，求/Q的度数;

（2）如图②，若点、E,尸在4c上，且满足/产OC=NAOC,并且O石平分N8OF.则NEOC的度数等

于（在横线上填上答案即可）；

（3）在（2）的条件下，若平行移动AC,如图③，那么N0C8：ZOFB的值是否随之发生变化？若变

化，试说明理由；若不变，求出这个比值;

（4）在（3）的条件下，在平行移动AC的过程中，若使此时/OCA的度数等于（在

横线上填上答案即可）.

【考点5平行线中的辅助线构造】

【例5】（2023秋•西乡县期末）（1）【问题】

如图1,若NBEP=25°,ZPFC=150°.求NE/乎的度数；

（2）【问题迁移】

如图2,点P在48的上方，问NPE4,NPFC,/EP尸之间有何数量关系？请说明理由；

（3）【联想拓展】

如图3所示，在（2）的条件下，已知NEP〃=a,NPE4的平分线和NPFC的平分线交于点G,用含有

a的式子表示NG的度数.

【变式5-1］（2023秋•济阳区期末）如图，AB//CD,定点E,产分别在直线48,CD±,在平行线48,CD

之间有一个动点P,满足0。CNEPFC180。.

（1）试问：NAEP,NCFP,/EP/满足怎样的数量关系？

解：由于点夕是平行线4从之间一动点，因此需对点。的位置进行分类讨论.

①如图1,当点P在£尸的左恻时，猜想NAEP,ZCFP,NEPr满足的数量关系，并说明理由：

②如图2,当点P在£尸的右侧时，直接写出NA£P,ZCFP,/EP/满足的数量关系为.

（2）如图3,QE,。尸分别平分NPE8,ZPFD,且点尸在左侧.

①若NE/P=100°,则/EQF的度数为；

②猜想NEP尸与NEQ尸的数量关系，并说明理由.

图1图2

【变式5-2］（2023秋•农安县期末）已知直线A8〃CO,P为平面内一点，连接力、PD.

（1）如图1,已知N4=50°,ZD=150°,求NAP。的度数；

（2）如图2,判断/以B、NCDP、NAP。之间的数量关系为.

（3）如图3,在⑵的条件下，APLPD,ON平分NPDC,若NAPQ,求乙4M）的

度数.

【变式5-3］（2023秋•南岗区校级期中）已知，点C在48上方，连接BC、CD.

(1)如图1,求证：ZBCD+^CDE=ZABC；

（2）如图2,过点C作CRLBC交石。的延长线于点F,探究N48C和//之间的数量关系；

（3）如图3,在（2）的条件下，NCFO的平分线交CD于点G,连接GB并延长至点，，若877平分N

ABC,求N8G。-NCG/7的值.

【考点6与平行线有关的实际问题】

【例6】（2023秋•罗湖区期末）请解答下列各题：

（1）阅读并回答：

科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相

等.如图1,一束平行光线人8与。E射向一个水平镜面后被反射.此时N1=N2,Z3=Z4.

①由条件可知：Z1=Z3,依据是,Z2=Z4,依据是.

②反射光线8c与所平行，依据是.

（2）解决问题：

如图2,一束光线机射到平面傥。上，被。反射到平面镜山上，又被〃镜反射，若〃射出的光线〃平行

于〃?，且Nl=42°,则N2=：N3=.

图1图2

【变式6-1］（2023秋•嵩县期末）图1展示了光线反射定律：EF是镜面A8的垂线，一束光线，〃射到平面

镜A8上，被人8反射后的光线为〃，则入射光线〃?，反射光线〃与垂线石厂所夹的锐角b=例.

（1）在图1中，证明：Z1=Z2.

（2）图2中，AB,是平面镜，入射光线机经过两次反射后得到反射光线〃，已知Nl=30°,N4=

60°,判断直线〃?与直线〃的位置关系，并说明理由.

（3）图3是潜望镜工作原理示意图，48,CD是平行放置的两面平面镜.请解释进入潜望镜的光线〃，为

什么和离开潜望镜的光线〃是平行的？

m

n

图1

【变式6-21（2023秋•开江县期末）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例

如：在图①、图②中都有NI=N2,N3=N4.设镜子AB与8C的夹角/48C=a.

（1）如图①，若a=90°,判断入射光线E尸与反射光线GH的位置关系，并说明理由.

（2）如图②，若90°<«<180°,入射光线EF与反射光线G"的夹角探索a与0的数量

关系，并说明理由.

（3）如图卷，若a=130。，设镜子8与3。的夹角N3CQ为钝角，入射光线与镜面/W的夹角N

l=x（00<A<90°）.已知入射光线E尸从镜面AB开始反射，经过〃（〃为正整数，且〃W3）次反射,

当笫〃次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出NBCZ）的度数（可用含x的代数式表示）.

【变式6-3］（2023春♦广宁县期末）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段

铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，

灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯人转动的速度是每秒2

度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即PQ〃MM且NBAM：NBAN=2：L

（1）填空：/BAN=；

（2）如图2,

①若灯B射线先转动30s,灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒（0V/V90）,

则NM4Af=,NPBP=；（用含/的式子表示）

②在①的条件下，若AM'//BP,则/=秒.

（3）如图3,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过。作NACQ交

PQ于点。，且NACQ=120°,则在转动过程中，请探究N8AC与N3CO的数量关系是否发生变化？若

不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

图1图2图3

【考点7平行线中的旋转问题】

【例7】（2023秋•三水区期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中NAC8=N

DC£=90°,NA=30°,NB=60°,ZD=ZE=45°,设NACE=x.

（1）填空：ZBCE=,ZACD=：（用含x的代数式表示）

（2）若NBCD=5NACE,求/ACE的度数：

（3）若三角板4BC不动，三角板。CE绕顶点C转动一周，当N8CE等于多少度时C。〃人及？

【变式7-1］（2023秋•太仓市期末）如图所示，已知直线48〃直线CQ,直线石厂分别交直线八艮C。于点

A,C.且NMC=60°,现将射线42绕点人以每秒2。的转速逆时计旋转得到射线人同时射线CE

绕点C以每秒3。的转速顺时针旋转得到射线CM当射线CN旋转至与射线。重合时，则射线CN、

射线4M均停止转动，设旋转时间为1（秒）.

（1）在旋转过程中，若射线4W与射线CN相交，设交点为P.

①当f=20（秒）时，则NC%=°；

②若NC%=70°,求此时，的值；

（2）在旋转过程中，是否存在AM〃CN?若存在，求出此时/的值；若不存在，请说明理由.

备用图

【变式7-2］（2023春•醴陵市期末）钱塘江汛期来临前，防汛指挥部准备在一危险地带两岸各安置了一探照

灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自4M顺时针旋转至AN便立即回转，灯B

射线自BP顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯人转动的速度是3度/秒，灯8

转动的速度是1度/秒.假定这一带长江两岸河堤是平行的，PQ//MN.

（1）当A灯转动，秒时（0</<60）,用/的代数式表示灯A射线转动的角度大小；

（2）若灯3射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯3射线到达3。之前，A灯转动几秒，两灯

的光束互相平行？

QBP

MAN

【变式7-3］（2023春•莱山区期末）我区正在打造某河流夜间景观带，计划在河两岸设置两座可以旋转的射

灯.如图1,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ

便立即回转，两灯不停交叉照射.若灯A转动的速度是2度/秒，灯3转动的速度是1度/秒，假定河两

（2）灯A射线从4例开始顺时针旋转至AN需要秒；

（3）若灯8射线8。（交MN于点。）先转动30秒，灯A射线AC（交PQ于点C）才开始转动.设AC

转动时间为，秒，当AC到达AN之前时，如图2所示.

①NPBD=度，ZMAC=度（用含有/的代数式表示）；

②求当AC转动几秒时，两灯的光束射线AC//BD?

（4）在3。到达8Q之前，是否还存在某一时刻，使两灯的光束射线AC〃8。？若存在，直接写出转动

时间，若不存在，请说明理由.

【考点8与平行线有关的综合题】

【例8】（2023秋•丰泽区期末）已知点M在直线48上，点N、。在直线CD上，点?在直线

AB、C。之间，连接PM、PN、PQ,PQ平分NMPN,如图①.

（1）若/PMA=a、NPQC=B，求/NPQ的度数（用含a,0的式子表示）；

（2）过点。作QE〃PN交的延长线于点E,过石作Eb平分NPEQ交PQ于点F,如图②，请你判

新EF与PQ的位置关系，并说明理由；

【变式8-1］（2023秋•仁寿县期末）如图①.已知AM〃CM点4为平面内一点，ABLBC于点、B,过点B

作于点。，设/BCN=a.

（1）若a=30",求NA3Q的度数；

（2）如图②，若点E、F在DM上,连接8E、BF、CF,使得BE平分NA8。、BF平分/DBC,求NEBF

的度数；

（3）如图③，在（2）问的条件下，若C尸平分N8C”，且/BFC=3NBCN,求NEBC的度数.

图①图②图③

【变式8-2］（2023秋•香坊区校级期中〉点石在射线D4上，点尸、G为射线8C上两个动点，满足NO8产

=NDEF,NBDG=NBGD,DG平分NBDE.

(1)如图1，当点G在点尸右侧时，求证：BD//EF；

(2)如图2,当点G在点/左侧时，求证：NDGE=NBDG+NFEG；

(3)如图3,在(2)的条件下，尸为8。延长线上一点，DM平分N8QG,交BC于点M,ON平分N

【变式8-3](2023秋•南岗区校级期末)已知：直线A8〃C。，一块三角板EFH,其中NE/77=90°,ZEHF

=60°.

(1)如图I,三角板EF”的顶点，落在直线C。上，并使与直线相交于点G,若N2=2N1,

求N1的度数；

(2)如图2,当三角板EF”的顶点厂落在直线人8上，且顶点，仍在直线CD上时，E尸与直线。。相

交于点M，试确定NE、NAFE、NM”石的数显关系；

(3)如图3,当三角板的顶点尸落在直线44上，顶点〃在46、8之间，而顶点£恰好落在直

线C。上时得在线段E"上取点P,连接“并延长交直线C。于点丁，在线段EF上取点K,连

接PK并延长交NCE”的角平分线于点Q,若NQ-/HFT=15°,且NEFT=NETF,求证：PQ//FH.

专题2.7相交线与平行线章末重难点突破

【北师大版】

〒善百丁相豆塞市运席云蓟就最浦i

【例1】(2023春•武昌区期中)如图，直线M。、CN相交于点。，0A是NMOC内的一条

射线，。5是NN。。内的一条射线，ZMON=70；

(备用图)

(1)若/BOD=3/COD,求NBON的度数；

(2)若NAOO=2N8。。，NBOC=3NAOC,求NBON的度数.

分析：(I)根据对顶角的定义可得/COD的度数，再根据/5。。一方NCOD可得

的度数，然后根据邻补角互补可得答案；

(2)设NAOC=x°,则NBOC=3x°,利用角的和差运算即可解得x,进而可得NBON

的度数.

【解答】解：(I)・・・/MON=70°,

:.NCOD=/MON=10°,

・•・ZBOD=^ZCOD=1x70°=35°,

・・・NBON=180°・NMON-/8。。=180°-70°・35°=75°；

(2)设NAOC=x°,则N5OC=3x°,

'：4C0D=NMON=W0,

：,ZBOD=ZBOC-ZCOD=3x°-70°,

AZAOD=ZAOC+ZCOD=x°+70°,

：NAOD=2NBOD,

Ax+70=2(3x-70),

解得x=42,

AZBOD=3x0-70°=3X420-70°=56°,

・・・NBON=1800-NMON-NDOB=180°-70°-56°=54°.

【变式1-1](2023春•饶平县校级期末)如图，A3、CD交于点O,ZAOE=4ZDOE,Z

AOE的余角比NQOE小10°(题中所说的角均是小于平角的角).

(1)求/人OE的度数；

(2)请写山NAOC在图中的所有补角；

(3)从点O向直线AB的右侧引出一•条射线OP,当NCOP=/AOE+NDOP时，求/

BOP的度数.

分析：(1)设NQOE=x,则NAOE=4x,列方程即可得到结论；

(2)根据补角的定义即可得到结论；

(3)如图，当。尸在C。的上方时，当OP在CO的下方时，列方程即可得到结论.

【解答】解：(1)设/。OE=x,贝iJ/A0E=4x,

•・・/4OE的余角比/QOE小10。，

/.900-4x=x-10°,

/.x=20°,

・・・NAOE=80°；

(2)NAOC在图中的所有补角是NAOO,ZBOC,/BOE；

(3)VZAOE=80°,NQOE=20°,

/.ZAOD=\00C,

・・・N4OC=80°,

如图，当。尸在C。的上方时,

设N40P=JG

，NOOP=100°-A,

4cop=/AOE+/DOP,

・・・80°+x=80°+100°-x,

/.x=50°,

・・・NAOP=NQOP=5Q°,

*：ABOD=ZAOC=W,

・・.N3OP=800+50°=130°:

当。尸在CD的下方时，

设NOOP=x,

・・・N3OP=80°-x,

ZCOP=NAOE+NDOP,

A100°ix=80°-x,

Ax=50°,

••・NBOP=30°,

综上所述，N8OP的度数为130°或30°.

【变式1-2]（2023春•石城县期中）平面内两条直线EF、CD相交于点O,OA1OB.OC

恰好平分NAOF.

（1）如图1,若NAOE=40°,求N8O。的度数；

（2）在图1中，若40七=工。，请求出N8。。的度数（用含有x的式子表示），并写

出NAOE和/BO。的数量关系；

（3）如图2,当OA,。8在直线E尸的同侧时，NAOE和N8。。的数量关系是否会发生

改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由.

分析：(1)根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；

(2)根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；

(3)根据(1)(2)解答即可.

【解答】解：(1)・・・乙40石=40°,

・・・/4。/=180°・NAOE=140°,

•・・OC平分/AOP,

1

：.Z.AOC=^AOF=70°,

,：OA1OB,

/.ZAOB=90°,

.,.ZB(?D=1800-ZAOB-ZAOC=20°；

(2)VZAOE=xc,

AZ.AOF=\^°-ZAOE=(180-x)°,

•/0c平分NAO凡

：.Z.AOC=^/-AOF=(90-1x)0,

yOAlOB,

・・・NAO8=90°,

1i

"BOD=180°-AAOB-Z-AOC=180°-90°-(90°-4x)°=ix°;

：.NAOE=2NBOD；

(3)不变，NAOE=2/BOD.

【变式1-3](2023秋•南岗区期中)如图，直线AB、。。相交于点O,过点O作OELCD.

(1)如图I,求证：NBOE-N4OC=90°；

(2)如图2,将射线OB沿着直线C。翻折得到射线。凡即N8OD=/R7O,求证：

OE平分NAOR

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作0G_LA8,当NFOG：ZAOE=2：3时，求

NCOG的度数.

分析：(I)由垂直的定义及角度的和差计算可得；

(2)证明0E平分NAOF,即证明NAOE=NEOR通过题目中角度的和差运算可得；

(3)设出NR9G的度数，表示出/AOE的度数，找到等量关系，列出等式，求出未知

数的值，即可.

【解答】解:⑴如图，・・・AB,。。相交于点0,

・•・ZA0C=4B0D,

*：OELOD.

••・NOOE=90°,

：・ND0E=NB0E-/BOD=90°,

：,ZBOE-ZAOC=9Q°.

(2)如图，・・・0EJ_0£>,

；・NOOE=90°,

•••NEOF+N/。。=90°,

2ZEOF+2ZFOD=1800,

•：NBOD=NFOD,

：,ZFOB=2ZFOD,

・・・2NEOF=1800-ZFOB=ZAOF,

ZAOE=NEOF,

；・OE平分NA。尸.

(3)如图，

VZFOG：ZAOE=2：3.

，设NFOG=2a,则NAOE=3a,

/.NEOG=3a-2a=a,

•••/EOG+NGOQ=90°,ZGOD+ZBOD=90°,

:./EOG=NBOD=a,

：・NF0D=4B0D=a.

•・・A,O,B三点在一条直线上,

.*.3a+a+2a+a=180

解得a=22.5°,

・・・NCOG=112.5°.

【考点2相交线中运用分类讨论思想求角】

【例2】(2023秋•永嘉县校级期末)直线48与直线CO相交于点。，OE平分N80D

(1)如图①，若N8OC=130°,求NAOE的度数；

(2)如图②，射线0r在NAOQ内部.

①若。尸J_OE,判断0尸是否为NAO。的平分线，并说明理由；

②若。/平分NAOE,ZAOF=求N8O。的度数.

分析：(1)根据/8OC=130°,OE平分NBOD即可求/AOE的度数；

(2)①根据O以LOE,OE平分N3OD,即可判断。?是NAO。的平分线；

②根据"平分NAOE,ZAOF=\ADOF,即可求/40。的度数.

【解答】解:(1)VZfiOC=130°,

・・・NAOO=N8OC=150°,

ZBOD=\SO°・N8OC=50°

•••。£：平分/30。，

：.ZDOE=25°

：.ZAOE=ZAOD+ZDOE=155°.

答：NAOE的度数为155°

(2)①。尸是NAOO的平分线，理由如下：

VOF1OE,

JNEO广=90°

・•・N3O£+NAOb=9(r

•・・OE平分NBO。，

：.ZBOE=ZDOE

：,ZDOE+ZAOF=90"

^DOE+^DOF=90°

・•・ZAOF=ZDOF

••.0r是NAO。的平分线：

②2ZAOF=\ADOF.

设NQOF=3x,则NAOF=/5x,

•・•》平分NA。，

・•・ZAOF=ZEOF=5x

・•・ZD0E=2x

•・・0E平分NBO。，

：.ZBOD=4x

5X+3A+4.V=180°

Ax=15°.

••・NBOO=4x=60°.

答：NBO。的度数为60°.

【变式2-1】(2023秋•南岗区校级月考)如图，点。在直线E/上，点A、B与点C、。分

别在直线£尸两侧，且NAO4=12()°,NCOD=70；

(1)如图1,若OC平分NBOD,求NAO。的度数；

(2)如图2,在(1)的条件下，OE平分NAOD,过点O作射线OGLO13,求NEOG

的度数；

(3)如图3,若在NBOC内部作一条射线OH,若NCOH：ZBOH=2：3,ZDOE=5

/FOH,试判断NAOE与NQOE的数最关系.

分析：(I)根据角平分线定义和周角是360°可得NAOC的度数；

(2)分两种情况：当OG在E尸下方时：当OG在E尸上方时，计算即可：

(3)由NCOH：NB()H=2：3,ZDOE=5ZFOH,设NOOE=5a,则N*OH=Q,再

结合角平分线的性质可用a表达出4C0H/B0C的度数，求出N4OE与ZDOE的度数.

【解答】解：(1)TOC平分N8。。，

/.ZBOD=2ZCOD=2X10Q=140°,

VZAOB=I20°,

・•・/40。=360°-NAOB-N8OD=360°-120°-140°=100°.

(2)当OG在EV下方时，

平分NAO。，ZAOD=100°,

：.^AOE=^Z-AOD=50°,

■:OGLOB,

・・・N8OG=90°,

：,ZAOG=ZAOB-ZBOG=\2()a-90“=30°,

：,NEOG=N4OG+NAOE=80°.

当OG在EF上方时，

平分NAO。，ZAOD=100°,

：.AAOE=^AAOD=50°.

•・・0G_L08,

••・N3OG=90°,

•.•NAOE+NAOB+NBOG+NEOG=36()°,NAO8=120°,

；・NEOG=360°-50c-120°-90°=100°；

(3)设NOOE=5a,则/尸O"=a,

图3

NCO”=180°-ZDOE-/CO。-ZFOH=110°-6a,

/.ZBOC=275°-15a,

••・NAOO=360°-/CO。-NBOC-NAO8=360°-70°-（2750-15a）-120°=

15a-105°,

：.ZAOE=\0a-105°,

：.ZAOE=2ZDOE~105°.

【变式2-2］（2023秋•门头沟区期末）已知，点O在直线AB上，在直线外取一点C,

画射线OC,0。平分/30C.射线在直线A8上方，且于O.

（1）如图1,如果点C在直线A6上方，HZZ?OC=30°,

①依题意补全图1；

②求NAOE的度数（O'VN4OEV180。）；

（2）如果点C在直线外，且N40C=a,请直接写出NAOE的度数.（用含。的代

数式表示，旦0°<Z.4OE<180°）

oBAOB

图1备用图

分析：（1）①依据。。平分N80C,射线0E在直线48上方，且。E_LOQ于O,进行

画图即可.

②依据角平分线的定义以及垂线的的定义，即可得出/AOE的度数；

（2）分两种情况讨论：点C在直线4B上方，点C在直线A8下方，分别依据角平分线

的定义以及垂线的的定义，进行计算即可.

【解答】解：（1）①如图所示：

②・・・/80。=30°,0D平分NBOC,

1

：.ZB0D=^B0C=\50，

•••OD1OE,

又•・•点0在直线匕

••・NAOE=180°-90°-15°=75°；

（2）分两种情况：

①当点C在直线A8上方时，如图1,

同理可得，NBOD二a,ZDOE=90°,

/.ZAOE=180°-90°=90°-1a；

②当点C在直线AB下方时，如图2,

E

•・・。。平分N30C,

1

，4B0D=加，

■:OD1OE,

/.ZDOE=90°,

••・N8。E=90°a,

又•..点。在直线人〃上，

・・・NAOE=180°-（90°-1a）=90°+1a.

综上所述，N4OE的度数为90°-*a或900+b.

【变式2・3】（2023秋•金湖县期末）【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七上第178页

第13题有这样的一个问题：“如图1,OC是N/1O8内一条射线，O。、OE分别平分N

AOB.ZAOC.若N4OC=30°,ZBOC=90°,求NOOE的度数”，小明在做题中发

现：解决这个问题时NAOC的度数不知道也可以求出/。。后的度数.

也就是说这个题目可以简化为：如图1,OC是NAO5内一条射线，OD、。上分别平分N

AOB.ZAOC.若NBOC=90°,求/OOE的度数.

（1）请你先完成这个简化后的问题的解答；

【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：

（2）如图1,若NBOC=W,则NOOE=­°：

—2—

【变式拓展】小明继续探究：

（3）已知直线AM、BN相交于点O,若OC是NAOB外一条射线，且不与OM、ON重

合，OD、OE分别平分NAO8、ZAOC,当N80C=〃?°时，求NOOE的度数（自己在

备用图中画出示意图求解）.

D

B

图1

分析：（1）首先假设/AOC=a°,然后用。表示NA08,再根据O。，0E两条角平分

线，推出NQ0E即可；

（2）首先假设,然后用a表示,人。氏再根据OZ）,OE两条角平分线，用

mQ表示NOOE即可；

（3）分三种情况讨论，第一种：0C在AM上，第二种：0C在AM下侧，NM0N之间,

第三种：0C在NAON之间，即可得到NOOE,

【解答】解：（1）设/AOC=a°,

则NA08=N40C+/B0C=a0+90°,

•••0。平分NAOB,OE平分4OC,

.•・ZDOE=ZAOD-ZAOE=^ZAOB-2/AOC

=1Ca0+90。）一方。=1x90°=45°；

（2）设NAOC=a",

则NAO8=NAOC+N8OC=〃°+〃?0,

;。。平分NAO&。£平分4OC,

/.ZDOE=ZAOD-ZAOE=^ZAOB-^ZAOC

m

故答案为：y°；

(3)①当OC在AM上，即OC在N80M之间,

设N4OC=a°,

则NAOB=N4OC+N80c=。°+〃?°,

TO。平分NAOB,。£平分NAOC,

②当0C在直线AM下方，且OC在NMON之间时,

ZBOC=ZAOB+ZAOC=m°,

③当OC在直线/1M下方，且0c在/人ON之间时,

由②得，ZBOC=m0,

111n1°

ZDOE=^ZAOC+^AOB=*80。=号：

综上所述./。。后二啰或应。。一啰.、

【考点3平行线的判定与性质综合证明题】

【例3】（2023春•镇江期中）已知：如图所示，NBAC和NACO的平分线交于E,AE交CD

于点F,Zl+Z2=90°.

（1）求证：AB//CD；

（2）试探究N2与N3的数量关系，并说明理由.

B

1

y3M_________

FD

分析：（1）根据角平分线定义得出N8AC=2N1,NACO=2N2,根据Nl+N2=90°

得出NBAC+N4CD=180°,根据平行线的判定得出即可；

（2）根据平行线的性质和角平分线定义得出/1=/3,即可求出答案.

【解答】（I）证明：和NAC。的平分线交于E,

/.ZBAC=2Z1,ZACD=2Z2,

VZ1+Z2=9O°,

・・・NB4C+NACZ）=180°,

:.AB〃CD、

（2）解；Z24-Z3=90°,理由如下：

•••4尸平分NBAC,

•:AB"CD,

•'•NBA尸=N3,

AZ1=Z3,

VZ1+Z2=9O°,

，N2+N3=90".

【变式3-1］（2023秋•建宁县期末）如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、

直线C尸相交于A,G,H,D,且N1=N2,ZB=ZC.

求证：3）8/〃EC；

（2）NA=N。.

分析：（1）由NI=N2直接可得结论；

（2）根据8尸〃EC,NB=NC,可得NB=NBFD,从而AB〃CD,即得NA=ND

【解答】证明：（1）VZ1=Z2（己知），

・・・B/〃石C（同位角相等，两直线平行）；

（2）-：BF//EC（已证），

:./C=/BFD（两直线平行，同位角相等），

•・・NB=NC（己知），

：.4B=4BFD（等量代换），

:・AB〃CD（内错角相等，两直线平行），

・・・NA=N。（两直线立行，内错角相等）.

【变式3-2］（2023秋•九龙县期末）如图，已知点A在E尸上，点尸，。在BC上，Z£=Z

EMA,4BQM=/BMQ.

（1）求证：EF/ZBCx

（2）FPLAC,N2+NC=90°,求证：Z1=Z£；

（3）若N3+N4=180°,NBA尸=3/尸・20°,求N8的度数.

分析：（1）根据，NE=/EMA,NBQM=NBMQ,结合对顶角相等可得/石=/BQM,

利用内错角相等两直线平行可证明结论；

（2）根据垂直的定义可得NPGC=90°,由两直线平行同旁内角互补可得NEAC+NC

=180°,结合N2+NC=90°,可求得N84C=90。，利用同位角相等两直线平行可得

AB//FP,进而可证明结论；

（3）根据同旁内角互补可判定AB〃FP,结合NBA尸=3/r-20°可求解Nb的度数，

根据平行线的性质可得NB=NF,即可求解.

【解答】（I）证明：ZE=ZEMA,NBQM=NBMQ,NEMA=/BMQ,

；.NE=NBQM,

:,EF〃BC；

（2）证明：VFPX4C,

・・・NPGC=90°,

YEF〃BC,

，NE4C+NC=180°,

VZ2+ZC=90°,

・・・NBAC=NPGC=90°,

:.AB〃FP,

AZ1=ZB；

（3）解：VZ3+Z4=180°,N4=NMN/，

AZ3+ZM/VF=180o.

：.AB//FP,

，NF+NBAr=180°,

VZ5AF=3ZF-20°,

AZF+3ZF-2O0=180°,

解得/尸=50°,

・：AB〃FP,EF//BC,

AZB=Z1,Z1=ZF,

AZ«=ZF=50o.

【变式3-3](2023秋•安居区期末)如图，NAOE+N8C尸=180°,A/平分NBA。，Z.BAD

=2ZF.

(1)与4c平行吗？请说明理由.

(2)48与E/的位置关系如何？为什么？

(3)若BE平分/ABC.试说明：①NABC=2NE；②/E+N/=90°.

分析：(1)由乙40E+NBC/=I80°结合邻补角互补，可得出NBCF=NAOC,再利用

“同位角相等，两直线平行”可得出4O〃8C；

(2)根据角平分线的定义及NB4Q=2NF,可得出NZM〃=NF,再利用“内错角相等，

两直线平行”可得出A8〃EF；

(3)①由AB〃EF,利用“两直线平行，内错角相等”可得出N4BE=NE,结合角平分

线的定义可得出NA8C=2NE：

②由AD//BC,利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出N84Q+N/WC=180°,再

结合N84O=2/尸，N4BC=2NE可得出NE+N尸=90°.

【解答】解：(1)AO〃8C,埋由如下：

VZADE+ZBCF=\^(]°,ZADE+ZADC=180°,

，NBCF=ZADC,

J.AD//BC.

(2)AB//EF,理由如下：

户平分NBA。，NBAD=2NF,

：.ZBAF=^BAD=ZF,

C.AB//EF.

(3)®ZABC=2ZE,理由如下：

*：AB//EF,