中考数学几何专项冲刺专题02中点模型巩固练习（提优）含答案及解析

中点模型巩固练习（提优）1. 如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF⊥FD.2. 如图，在梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90º，EF是两底中点的连线，求证：BC－AD＝2EF.3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝CD，AF⊥BD于点E交BC于点F，求证：BF＝2FC.4. 如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状.5. 如图，P是圆O外的一点，过P点引两条割线PAB、PCD，点M、N分别是、的中点，连接MN分别交AB、CD于点E、F.（1）求证：△PEF是等腰三角形；（2）若点P在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？6. 半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M与圆心O重合，求图中阴影部分面积？7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AC平分∠DAB，E、F分别为对角线AC、DB的中点，且EF＝4．求这个梯形的面积．8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．9．半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA＝4：3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到AB的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．10．如图已知▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F（1）CD与FA相等吗？为什么？（2）若使∠F＝∠BCF，▱ABCD的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件并说明理由．11．如图，在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，而E、F分别在AC和BC上，连结EF．观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由．中点模型巩固练习（提优）1. 如图，在矩形ABCD中，E为CB延长线一点且AC＝CE，F为AE的中点，求证：BF⊥FD.【解答】见解析【解析】如图，连接CF.∵AC＝CE，F为AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFD＋∠DFC＝90º，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，AB⊥CE，∠ABC＝∠BAD＝90º，在Rt△ABE中，∵F为AE的中点，∴BF＝AF，∴∠FBA＝∠FAB，∴∠FAB＋∠BAD＝∠FBA＋∠ABC，即∠FBC＝∠FAD，又∵AD＝BC，FA＝FB，∴△FBC≌△FAD，∴∠AFD＝∠BFC，∴∠BFD＝∠BFC＋∠DFC＝∠AFD＋∠DFC＝90º，∴BF⊥FD.2. 如图，在梯形ABCD中，∠B＋∠C＝90º，EF是两底中点的连线，求证：BC－AD＝2EF.【解答】见解析【解析】如图，过点E作EM∥AB交BC于点M，EN∥DC交NC于点N.∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴四边形ABME和四边形DCNE为平行四边形，∴BM＝AE，CN＝DE，∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝ED，BF＝CF，∴FM＝FN，∵EM∥AB，EN∥DC，∴∠EMN＋∠B，∠ENM＝∠C，又∵∠B＋∠C＝90º，∴∠EMN＋∠ENM＝90º，即∠MEN＝90º，∴EF＝MN，∴EF＝[BC－（BM＋NC）]＝（BC－AD），即BC－AD＝2EF.3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC，AD＝CD，AF⊥BD于点E交BC于点F，求证：BF＝2FC.【解答】见解析【解析】如图，过点C作CN⊥BD交BD的延长线于点N.∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠N，∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDN，∴△ADE≌△CDN（AAS），∴DE＝DN，∵AF⊥BD，CN⊥BD，∴AF∥CN，∴，∵∠BAC＝90º，AE⊥BD，∴△ABE∽△DBA，∴，即，同理可证，∴，∵AB＝AC＝2AD，，又∵DN＝DE，，∴，∴BF＝2FC.4. 如图，在四边形ABCD中，E为AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN的形状.【解答】四边形PQMN为菱形【解析】如图，连接AC、BD.∵△ADE和△BCE都是等边三角形，∴∠AEC＝120º，∠BED＝120º，∴∠AEC＝∠BED，又∵EA＝ED，EC＝EB，∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD，又∵P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴PNBD，QMBD，∴PNQM，∴四边形PQMN是平行四边形，又∵PN＝BD，MN＝AC，∴MN＝PN，∴四边形PQMN是菱形.5. 如图，P是圆O外的一点，过P点引两条割线PAB、PCD，点M、N分别是、的中点，连接MN分别交AB、CD于点E、F.（1）求证：△PEF是等腰三角形；（2）若点P在圆上或圆内，其他条件不变，结论还能成立吗？【解答】（1）见解析；（2）结论依然成立，理由见解析【解析】（1）如图，证明：连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.∵点M、N分别是、的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，即∠MGE＝∠NHF＝90º，又∵OM＝ON，∴∠M＝∠N，∴∠MEG＝∠NFH，∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；（2）如图1，当点P在圆上时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM，又∵点M、N分别是、的中点，∴∠MGE＝∠NHF＝90º，∴∠MEG＝∠NFH，∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；如图2，当点P在圆内时，连接OM、ON，分别交AB、CD于点G、H.∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM，又∵点M、N分别是、的中点，∴∠MGE＝∠NHF＝90º，∴∠MEG＝∠NFH，∵∠MEG＝∠PEF，∠NFH＝∠PFE，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，即△PEF是等腰三角形；6. 半径为1的半圆形纸片，按如图方式沿AB折叠，使折叠后半圆弧的中点M与圆心O重合，求图中阴影部分面积？【解答】【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB.由题意可得OM⊥AB，且OC＝MC＝，在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，，∴∠AOC＝60º，AB＝2AC＝，∴∠AOB＝2∠AOC＝120º，则，.7． 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AC平分∠DAB，E、F分别为对角线AC、DB的中点，且EF＝4．求这个梯形的面积．【解答】483【解析】∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB=12∠DAB＝30°，∠DCA＝∠∴∠ACB＝90°，AD＝DC＝BC，∴AB＝2BC＝2CD，设CD＝a，则AB＝2a，连接DE，并延长DE交AB于M，∵在△DEC和△MEA中∠DCE=∠MAECE=AE∴△DEC≌△MEA（ASA），∴DC＝AM＝a，DE＝EM，∵DF＝BF，∴EF=12BM=12（∵EF＝4，∴4=12（2a﹣a＝8，即BC＝AD＝DC＝8，AB＝16，过C作CN⊥AB于N，∵BC＝8，∠ABC＝60°，∴∠BCN＝30°，∴BN=12BC＝4，由勾股定理得：CN＝4∴梯形的面积=12（DC+AB）×CN=12×8． 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：EF2＝BE2+CF2．【解答】见解析【解析】证明：延长ED到G，使DG＝DE，连接EF、FG、CG，如图所示：在△EDF和△GDF中DF=DF∠EDF=∠FDG=90°∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝FG又∵D为斜边BC中点∴BD＝DC在△BDE和△CDG中，BD=DC∠BDE=∠CDG∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE＝CG，∠B＝∠BCG∴AB∥CG∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．9． 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA＝4：3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到AB的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．【解答】（1）325；（2）1423；（3）当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ【解析】（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴AB＝5，又∵BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3．又∵12AC•BC=12∴CD=125，在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠CAB＝∠CPQ，Rt△ACB∽Rt△PCQ∴ACBC∴CQ=BC⋅PCAC=（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）．∵P是弧AB的中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE=22BC又∠CPB＝∠CAB∴tan∠CPB＝tan∠CAB=∴PE=BEtan∠CPB=34而从（1）中得，CQ=43PC（3）点P在弧AB上运动时，恒有CQ=BC⋅PCAC故PC最大时，CQ取到最大值．当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为20310．如图已知▱ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F（1）CD与FA相等吗？为什么？（2）若使∠F＝∠BCF，▱ABCD的边长之间还需要再添加一个什么条件？请你补上这个条件并说明理由．【解答】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）CD＝FA．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵∠D＝∠EAF，∵E为AD的中点，即DE＝AE，∴在△CDE和△FAE中，∠D=∠EAFDE=AE∴△CDE≌△FAE（ASA），∴CD＝FA．（2）要使∠F＝∠BCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC＝2AB，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，∵CD＝AF，∴AB＝AF，∴BF＝AB+AF＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BF，∴∠F＝∠BCF．11．如图，在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，而E、F分别在AC和BC上，连结EF．观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由．【解答】能组成