中考数学几何专项冲刺专题02中点模型巩固练习（基础）含答案及解析

中点模型巩固练习（基础）1. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A. B. C. D.2. 如图，O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（）A. B.5 C. D.3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是AB的中点，E是BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为.4. 如图，过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD.求证：∠FDC＝∠FCD.5. 已知：在△ABC中，AD为中线，且∠BAD＝90°，∠DAC＝45°，求证：AB＝2AD.6. 已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，直线EG⊥AD于点F，且交AB于点E，交AC于点G，求证：.7. 如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长.8. 在△ABC中，D为BC的中点，延长AD至点E，延长AB交CE的延长线于点P，若AD＝2DE，求证：AP＝3AB.9. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求的值.10. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A、C两点，且与BC边交于点E，D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF.（1）求证：AB是圆O的切线；（2）若CF＝4，DF＝，求圆O的半径及sinB的值.11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，（1）不添加其它的已知条件，找出图中的所有等腰三角形；（2）求证：MN⊥BD；（3）若∠DAC＝62°，∠BAC＝58°，求∠DMB．12．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于D点，交AC于E点，BD＝DE（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若E是AC的中点，⊙O的半径为2，连接BE，求阴影部分的面积．13．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．中点模型巩固练习（基础）1. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A. B. C. D.【解答】C【解析】如图，连接AM.∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∵AC＝5，CM＝BC＝3，∴AM＝4，∴在Rt△AMC中，AMCM＝ACMN，即4×3＝5MN，解得MN＝.2. 如图，O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（）A. B.5 C. D.【解答】D【解析】如图，连接OA、OC，OC交AB于点D.∵点C是的中点，∴OC⊥AB且平分AB，即AD＝AB，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，在Rt△AOD中，，∴AD＝AO·＝，∴AB＝2AD＝.3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是AB的中点，E是BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为.【解答】【解析】如图，过点A作AM∥DE交BC的延长线于点M，过点C作CN⊥AM，垂足为N.∵D是AB的中点，∴E为BM的中点，即BE＝EM，又∵DE平分△ABC的周长，∴AC+CE＝BE，∴MC+CE＝AC+CE，∴MC＝AC，∵CN⊥AM，∠ACB＝60°，∴∠CAN＝60°，在Rt△CAN中，AN＝AC·sin60º＝，∴AM＝2AN＝，∴DE＝AM＝.4. 如图，过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD.求证：∠FDC＝∠FCD.【解答】见解析【解析】证明：如图，连接BF.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，又∵F是AE的中点，∴FB＝FA，∴∠FBA＝∠FAB，∵在矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠FAD＝∠FBC，又∵AD＝BC，∴△ADF≌△BCF（SAS），∴DF＝CF，∴∠FDC＝∠FCD.5. 已知：在△ABC中，AD为中线，且∠BAD＝90°，∠DAC＝45°，求证：AB＝2AD.【解答】见解析【解析】证明：如图，延长AD至点E，使得ED＝DA，连接BE、CE.∵BD＝CD，AD＝DE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC∥BE，AE＝2AD，∴∠AEB＝∠CAD＝45°，∵∠BAD＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AE＝2AD，∴AB＝2AD.6. 已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，直线EG⊥AD于点F，且交AB于点E，交AC于点G，求证：.【解答】见解析【解析】如图，分别过点B、C作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，作CN⊥AD于点N.∵EG⊥AD于点F，∴EG∥BM∥CN，∴ ① ②∴∠MBD＝∠NCD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN，∴DM＝DN③由①②③得.7. 如图，在△ABC中，BC＝22，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于E，F、G分别是BC、DE的中点，若ED＝10，求FG的长.【解答】【解析】如图，连接EH、DH.由题意可得EH、DH分别为Rt△BEC、Rt△BDC斜边上的中线，∴DH＝EH＝BC＝11，∵点G为ED的中点，∴DG＝EG＝5，又∵HG⊥DE，∴在Rt△HGD中，HG＝.8. 在△ABC中，D为BC的中点，延长AD至点E，延长AB交CE的延长线于点P，若AD＝2DE，求证：AP＝3AB.【解答】见解析【解析】如图，过点D作DF∥AP交PC于点F.∵点D为BC的中点，∴DF为△PBC的中位线，∴PB＝2FD，又∵DF∥AP，∴△DFE∽△APE，∴，∵AD＝2DE，∴AE＝3DE，∴，∴AP＝3DF，∴AB＝AP－BP＝3DF-2DF＝DF，∴AP＝3AB.9. 如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求的值.【解答】【解析】如图，过点D作DH∥AC交BF于点H，则∠EAF＝∠EDH.∵E是AD的中点，∴∠AEF＝∠DEH，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴DH＝AF，在△BCF中，D为BC的中点，且DH∥AC，∴DH＝FC，∴AF＝FC，∴.10. 如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A、C两点，且与BC边交于点E，D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB＝BF.（1）求证：AB是圆O的切线；（2）若CF＝4，DF＝，求圆O的半径及sinB的值.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：如图，连接OA、OD.∵D为CE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BC，∴∠EOD＝90º，∵AB＝BF，OA＝OD，∴∠BAF＝∠BFA，∠OAD＝∠ODA，又∵∠BFA＝∠OFD，∴∠OAD＋∠BAF＝∠ODA＋∠OFD＝90º，即∠OAB＝90º，∴OA⊥AB，∴AB是圆O的切线；（2）由题意可得OF＝CF－OC＝4－r，OD＝r，DF＝，在Rt△DOF中，，即，解得（舍），∴OA＝3，OF＝1，BO＝BF＋FO＝AB＋1，在Rt△AOB中，，，∴AB＝4，∴OB＝5，.11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，（1）不添加其它的已知条件，找出图中的所有等腰三角形；（2）求证：MN⊥BD；（3）若∠DAC＝62°，∠BAC＝58°，求∠DMB．【解答】（1）见解析；（2）120°【解析】（1）解：△ADM，△DMC，△AMB，△BCM都是等腰三角形．理由：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴DM=12AC＝AM＝CM，BM=12AC＝∴△ADM，△DMC，△AMB，△BCM都是等腰三角形．（2）证明：∵DM=12AC，BM=∴DM＝BM，∵DN＝BN，∴MN⊥BD．（3）解：DM＝MA＝MB，∴∠MAD＝∠MDA＝62°，∠MAB＝∠MBA＝58°，∴∠AMD＝180°﹣2×62°＝56°，∠AMB＝180°﹣2×58°＝64°，∴∠DMB＝∠AMD+∠AMB＝120°．12．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于D点，交AC于E点，BD＝DE（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若E是AC的中点，⊙O的半径为2，连接BE，求阴影部分的面积．【解答】（1）见解析；（2）2【解析】（1）证明：∵BD＝DE，∴∠BOD＝∠DOE．∵∠BAC=12∠∴∠BOE＝∠BOD＝∠DOE．∵OA＝OE，∴∠BAC＝∠OEA．∴∠OEA＝∠DOE．∴AC∥OD．∴∠C＝∠ODB．∵∠ABC＝∠ODE，∴∠C＝∠ABC．∴△ABC是等腰三角形．（2）根据扇形面积公式得：60π×436013．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【解答】（1）见解析；（2）矩形，理由见解析【解析】（1）证明：∵E是