2025高考数学压轴专项题型专题4圆锥曲线中的面积问题含答案及解析

专题4圆锥曲线中的面积问题一、考情分析圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.二、解题秘籍(一)利用弦长与点到直线距离计算三角形面积若直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离，则.【例1】（2023届浙江省名校协作体高三上学期考试）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.(1)若点是的中点，求的值；(2)求面积的最小值.【解析】设联立直线与双曲线方程，消去得，由韦达定理可知，联立直线与其中一条渐近线方程，解得即，同理可得，则，则可知的中点与中点重合.由于是的中点，所以，解得；（2）与联立，消去得由（1）知，.或由于，所以，又到直线的距离，所以整理得，令，则，当，即时，的最大值为2，所以的最小值为.(二)三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积若过定点Q的直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，可先求出点A，B到直线PQ的距离之和d，则，特别的，若与y轴垂足，，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.（1）求椭圆的方程;（2）直线与椭圆交于不同的两点，，记的面积为，当时求的值.【解析】（1）由题意，，因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，则，所以椭圆的标准方程为.（2）设，，且根据椭圆的对称性得，联立方程组，整理得，解得，因为的面积为3，可得，解得.(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的.【例3】（2023届山东省青岛市高三上学期调研）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.【解析】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.动圆与圆内切，且与圆外切，动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，其中从而轨迹的方程为：（2）（i）设直线的方程为，则由可得：直线的方程为，令可得点的横坐标为：为一个定点，其坐标为（ii）根据（i）可进一步求得：.，则，四边形面积（法一）等号当且仅当时取，即时，（法二）令，则当，即时，(四)把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加【例4】（2023届THUSSAT中学生标准学术能力高三9月测试）已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．(1)若，求椭圆的标准方程；(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．【解析】（1）由已知是等边三角形，因为，，所以，得椭圆的标准方程为．（2）设，，因为，，所以，则,所以，，所以，，两式相减得，带回原式得，因为，所以，（当时取等）所以四边形CADB面积S的最大值为．(五)利用函数性质求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.【例5】（2023届河南省名校联盟2高三上学期联考）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为是椭圆上关于原点对称的两点，.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆左顶点为A，上顶点为B，直线且交椭圆于P，Q，求的面积最大时，l的方程.【解析】（1）由题意得，化简得，则.根据对称性得，故，即，所以，故椭圆C的方程为.（2）由（1）得，设，l的方程为，代入椭圆方程，整理得，则，，解得且.故，点到直线l的距离为，则.令，则.当t变化时，的变化情况如下表：t+-+-比较与知，当时，面积取最大，此时，l的方程为.(六)利用均值不等式求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.【例6】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知抛物线，点为其焦点，点、在抛物线上，且直线过点，.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点、和、，点、分别为、的中点，求面积的最小值.【解析】（1）过点、分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，易知，，因为，则，则点为的中点，连接，则为的中位线，所以，，则，所以，点在线段的垂直平分线上，则点的横坐标为，，解得，所以，抛物线的标准方程为.（2）因为，若直线、分别与两坐标轴垂直，则直线、中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线、的斜率均存在且不为，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立，得，则，设、，则，设，则，则，所以，同理可得，故，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故面积的最小值为.三、跟踪检测1．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研）已知点在双曲线上，直线l交C于两点，直线的斜率之和为.(1)求l的斜率;(2)若，求的面积.2．（2023届上海市松江二中高三上学期月考）如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.3．（2023届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．4．（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．(1)求椭圆的方程；(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．5．（2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.①求证：直线恒过定点；②设和的面积分别为，求的最大值.6．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆经过点，其右焦点为.(1)求椭圆的离心率；(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.7．（2023届山东省济南市高三上学期9月考试）已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，椭圆上的点到点的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点作的两条切线，记切点分别为，求面积的最大值.8．（2023届河北省廊坊市三河市高三上学期段考）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．9．（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．10.（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过右焦点作两条互相垂直的弦和．（1）求椭圆的方程；（2）当四边形的面积取得最小值时，求弦所在直线的方程．11.（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形的面积为，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为的直线.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段上，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围.12．（2022届广西“智桂杯”高三上学期联考）如图，已知抛物线：，，，过点垂直于轴的垂线与抛物线交于，，点，满足，.（1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线与此抛物线的公共点为，记与的面积分别为，，求的值.13．（2022届河南省名校联盟高三上学期12月考）已知椭圆的离心率为，，是C的左、右焦点，P是C上在第一象限内的一点，关于直线对称的点为M，关于直线对称的点为N．（1）证明：；（2）设A，B分别为C的右顶点和上顶点，直线与椭圆C相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的取值范围．14．（2022届宁夏石嘴山市高三上学期月考）已知椭圆C：的左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线交于两点，（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线过点且与椭圆相交于，两点，求面积最大值及此时直线的斜率.15．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当轴时，.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q.①是否存在定点M，使得四边形AQBM为平行四边形？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：为定值.

专题4圆锥曲线中的面积问题一、考情分析圆锥曲线中的面积问题常见的是三角形的面积问题，有时也会考查平行四边形的面积或对角线互相垂直的四边形面积问题，求解此类问题通常是借助弦长公式或点到直线距离公式用某些量，如动直线的斜率或截距表示面积，再利用函数、方程或不等式知识求解.二、解题秘籍(一)利用弦长与点到直线距离计算三角形面积若直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离，则.【例1】（2023届浙江省名校协作体高三上学期考试）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.(1)若点是的中点，求的值；(2)求面积的最小值.【解析】设联立直线与双曲线方程，消去得，由韦达定理可知，联立直线与其中一条渐近线方程，解得即，同理可得，则，则可知的中点与中点重合.由于是的中点，所以，解得；（2）与联立，消去得由（1）知，.或由于，所以，又到直线的距离，所以整理得，令，则，当，即时，的最大值为2，所以的最小值为.(二)三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积若过定点Q的直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，可先求出点A，B到直线PQ的距离之和d，则，特别的，若与y轴垂足，，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.【例2】（2022届江苏省扬州市高邮市高三上学期12月学情调研）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.（1）求椭圆的方程;（2）直线与椭圆交于不同的两点，，记的面积为，当时求的值.【解析】（1）由题意，，因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，则，所以椭圆的标准方程为.（2）设，，且根据椭圆的对称性得，联立方程组，整理得，解得，因为的面积为3，可得，解得.(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的.【例3】（2023届山东省青岛市高三上学期调研）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.【解析】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.动圆与圆内切，且与圆外切，动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，其中从而轨迹的方程为：（2）（i）设直线的方程为，则由可得：直线的方程为，令可得点的横坐标为：为一个定点，其坐标为（ii）根据（i）可进一步求得：.，则，四边形面积（法一）等号当且仅当时取，即时，（法二）令，则当，即时，(四)把四边形分割成两个三角形求面积如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加【例4】（2023届THUSSAT中学生标准学术能力高三9月测试）已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．(1)若，求椭圆的标准方程；(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．【解析】（1）由已知是等边三角形，因为，，所以，得椭圆的标准方程为．（2）设，，因为，，所以，则,所以，，所以，，两式相减得，带回原式得，因为，所以，（当时取等）所以四边形CADB面积S的最大值为．(五)利用函数性质求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.【例5】（2023届河南省名校联盟2高三上学期联考）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为是椭圆上关于原点对称的两点，.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆左顶点为A，上顶点为B，直线且交椭圆于P，Q，求的面积最大时，l的方程.【解析】（1）由题意得，化简得，则.根据对称性得，故，即，所以，故椭圆C的方程为.（2）由（1）得，设，l的方程为，代入椭圆方程，整理得，则，，解得且.故，点到直线l的距离为，则.令，则.当t变化时，的变化情况如下表：t+-+-比较与知，当时，面积取最大，此时，l的方程为.(六)利用均值不等式求面积最值或范围如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.【例6】（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知抛物线，点为其焦点，点、在抛物线上，且直线过点，.（1）求抛物线的方程；（2）过焦点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点、和、，点、分别为、的中点，求面积的最小值.【解析】（1）过点、分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为、，易知，，因为，则，则点为的中点，连接，则为的中位线，所以，，则，所以，点在线段的垂直平分线上，则点的横坐标为，，解得，所以，抛物线的标准方程为.（2）因为，若直线、分别与两坐标轴垂直，则直线、中有一条与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线、的斜率均存在且不为，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立，得，则，设、，则，设，则，则，所以，同理可得，故，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故面积的最小值为.三、跟踪检测1．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研）已知点在双曲线上，直线l交C于两点，直线的斜率之和为.(1)求l的斜率;(2)若，求的面积.【解析】（1）将点代入中，得，即，解得，故双曲线方程为；由题意知直线l的斜率存在，设，设，，则联立直线与双曲线得：，需满足，故，，，化简得：，故，即，即，由题意可知直线l不过A点，即，故l的斜率（2）设直线AP的倾斜角为，由，，得，（负值舍去），由直线的斜率之和为,可知，即，则，得，即，联立，及得，，将，代入中，得，故，，而，，由，得，故.2．（2023届上海市松江二中高三上学期月考）如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.【解析】(1)抛物线的标准方程为,于是焦点坐标为,准线方程为.(2),所以联立,得,而于是,即故成等差数列,成等比数列（3）由于A,F,B三点共线,设联立,得.即动点的轨迹方程为设AB中点为,则,即当时取等所以面积的最小值为43．（2023届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．【解析】（1）设，，联立直线与椭圆方程得，消去y得，又，是这个方程的两个实根，所以，由弦长公式得，所以当时，取到最大值，即，解得．所以椭圆C的方程为．（2）设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消去y得，所以，且，记点，到直线的距离分别为，，又，且，所以，所以，因为，所以，整理得，所以满足条件，综上所述直线的方程为，即为．4．（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．(1)求椭圆的方程；(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．【解析】（1）因为点在椭圆上，所以，①因为点在椭圆外，且，所以，即，②由①②解得，，故椭圆的方程为．（2）设点，，设直线：，由椭圆性质以及点的横坐标大于1可知，，将直线代入方程并化简可得，，即，因为直线与椭圆有且仅有一个交点，所以，即．直线的方程为：；直线的方程为：，联立方程得，同理得，所以，所以，，所以，令，则，当且仅当，即时，不等式取等号，故当时，取得最小值．5．（2023届广东省潮阳实验、湛江一中、深圳实验三校高三上学期联考）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.①求证：直线恒过定点；②设和的面积分别为，求的最大值.【解析】（1）由题意，解得，所以椭圆C的方程为．（2）①依题意，设，若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆C联立，整理得：，所以，且因为是椭圆上一点，即，所以，则，即因为，所以，此时，故直线恒过x轴上一定点．②由①得：，所以，而，当时的最大值为．6．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆经过点，其右焦点为.(1)求椭圆的离心率；(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.【解析】（1）依题可得，，解得，所以椭圆的方程为.所以离心率.（2）易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，故可设，由可得，，所以，，而，即，化简可得，，化简得，所以或，所以直线或，因为直线不经过点，所以直线经过定点.设定点，因为，所以，设，所以，当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.7．（2023届山东省济南市高三上学期9月考试）已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，椭圆上的点到点的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点作的两条切线，记切点分别为，求面积的最大值.【解析】（1）抛物线的焦点为，即，椭圆上的点到点的最大距离为，所以，，所以椭圆方程为.（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，设点，，，直线的方程为，即，即，同理可知，直线的方程为，由于点为这两条直线的公共点，则，所以点，的坐标满足方程，所以直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，，所以，点到直线的距离为，所以，因为，由已知可得，所以当时，面积的最大值为.8．（2023届河北省廊坊市三河市高三上学期段考）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．【解析】（1）设椭圆C的焦距为，则，即，所以，即，又C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，所以，即，综上解得，所以椭圆C的方程为．（2）易得，设，则，联立直线l与椭圆C的方程，得，则．又，易知与同号，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．9．（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．【解析】（1）依题意，又，所以，所以，所以椭圆方程为.（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，且，所以，即，又，，所以，若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，则，所以，所以，若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原点到的距离，所以，将代入得，所以，综上可得，四边形的面积为定值.10.（2022届河南省高三上学期联考）已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点，过右焦点作两条互相垂直的弦和．（1）求椭圆的方程；（2）当四边形的面积取得最小值时，求弦所在直线的方程．【解析】（1）已知可得，解得，所以椭圆的方程为．（2）当或中有一条直线垂直于轴时，不妨设轴，因为焦点的坐标为，所以直线的方程为，将代入椭圆方程可得，则，，四边形的面积；当的斜率存在且不为时，设其斜率为，由（1）知，所以直线的方程为，与椭圆的方程联立并消去得．设、，,则，，．同理可得可得，所以四边形面积，当且仅当时，即当时，等号成立，因为，故当四边形的面积取得最小值时，直线的方程为或．11.（2022届河南省县级示范性高中高三上学期尖子生对抗赛）顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形的面积为，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为的直线.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段上，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围.【解析】（1）依题意得解得所以椭圆C的标准方程是.（2）设直线l的方程为，代入椭圆C的方程得，由得.设，所以，，设，则.原点O到直线l的距离，故的面积.因为，故，故面积的取值范围为.12．（2022届广西“智桂杯”高三上学期联考）