02zal矢量分析-0910培训讲学

1.3标量场的梯度场的概念场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的；场的分类1空间某一区域定义一个标量函数，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可能随时间变化。则称该区域存在一个标量场。在标量场中，各点的场量是随空间位置变化的标量。一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，在直角坐标下，如温度场，电位场，高度场。1.3.1标量场的等值面标量场2等值面的定义例如：等温面、等位面在研究标量场时，常用等值面形象、直观地描述物理量在空间的分布状况。等值面的特点常数c取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面族充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。3由此可知，方向导数是标量场u(M)在点M0处沿l方向对距离的变化率。注：方向导数与点M0和l方向都有关，因此，标量场中，在一个给定点M0处沿不同的方向，其方向导数一般是不同的。52.方向导数的计算公式方向导数的定义与坐标系无关，但其具体的计算公式却与坐标系有关。根据复合函数求导法则，在直角坐标系中：设l方向的方向余弦为cosα、cosβ、cosγ，即：则得到直角坐标系中方向导数的计算公式为：6例题：求数量场在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。

解：l方向的方向余弦为：7而：数量场在l方向的方向导数为：在点M处沿l方向的方向导数：81.3.3梯度从标量场的某一点出发有无穷多个方向。一般来说，沿这些不同方向上的变化率的大小(方向导数)是不同的，必然存在一个变化最大的方向。为此，引入梯度的概念。1.梯度的概念标量场的梯度是一个矢量。标量场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其大小为最大的变化率或者最大的方向导数。记作gradu，即：2.梯度的计算式梯度的定义与坐标系无关，但梯度的具体表达式与坐标系有关。9在直角坐标系中，变化率最大的方向上的单位矢量表示为最大的变化率（方向导数）表示为令则矢量是在给定点处的一常矢量，与方向l无关。因此上式中，当与的方向一致时，即cos(,)=1时，标量场在该点处的方向导数最大，即沿矢量方向的方向导数最大，此最大值为矢量的模。根据梯度的定义，就是梯度。10在直角坐标系中，梯度的表达式为引入哈密顿算符“▽”，在直角坐标系中表示为哈密顿算符的双重性质：哈密顿算符是矢量哈密顿算符具有微分特性则标量场的梯度可表示为这表明标量场u的梯度可认为是算符▽作用于标量函数u的一种运算。又称为矢性微分算符11在圆柱坐标系中，哈密顿算符“▽”和梯度的表达式为在球坐标系中，哈密顿算符“▽和梯度的表达式为123.梯度的性质（1）标量场u的梯度是一个矢量场，通常称▽u为标量场u所产生的梯度场；（2）标量场u(M)中，在给定点沿任意方向l的方向导数等于梯度在该方向上的投影。（3）标量场梯度的大小表示标量场的最大变化率。（4）标量场u(M)中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(M)增加的方向。即，梯度就是该等值面的法向矢量。134.梯度的运算法则1415

简单描述16

简单描述17

简单描述18矢量场空间某一区域定义一个矢量函数，其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可能随时间变化。则称该区域存在一个矢量场。如速度场，电场，磁场。一个矢量场可以用一个矢量函数来表示。一个矢量场可以分解为三个分量场。例如，在直角坐标下，1.4矢量场的通量与散度其中的三个分量分别是沿x、y、z方向的分量。19对于矢量场，可用一些有向曲线来形象描述矢量在空间的分布，这些有向曲线称之为矢量线。矢量线的疏密程度代表矢量线的大小。在矢量线上，任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同。在直角坐标系中，矢量场表示为

1.4.1矢量场的矢量线矢量线定义矢量线性质20M(x,y,z)是场中的矢量线上的任意一点，其矢径与其微分矢量分别为点M处的矢径微分与矢量线相切，即点M处与共线，//，于是有

这就是矢量线的微分方程组。解此方程组即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。21

简单描述【例1.4.1】设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为：式中，q、ε均为常数，

=exx+eyy+ezz为M点的位置矢量。求的矢量线方程并画出矢量线图。22

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简单描述241.4.2矢量场的通量分析和描绘矢量场的性质时，矢量场穿过一个曲面的通量是一个重要的基本概念。设S是一空间曲面，dS为其上的面元，取一个与此面元相垂直的单位矢量，即法向单位矢量，则称矢量：为面元矢量。即：法向单位矢量的取法有两种情况：25闭合曲面情况非闭合曲面情况26通量的概念将矢量场与其中的任一面元矢量的标量积

·定义为矢量穿过面元矢量的通量。将曲面S上各面元的·相加，则得到矢量穿过曲面S的通量，即：例如：在电场中，电位移矢量D在某一曲面S上的面积分就是矢量D通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度B在某一曲面S上的面积分就是矢量B通过该曲面的磁通量。如果S是一个闭合曲面，则通过闭合曲面的总通量可表示为：27若从面元矢量的负侧穿到的正侧时，与相交成锐角，则通过面元的通量为正值；反之，二者相交成钝角，通过面元dS的通量为负值。通过闭合曲面的总通量则表示穿出闭合面S内的正通量与进入闭合曲面S的负通量的代数和。通量的物理意义正通量源281.4.3矢量场的散度矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，不能反映场域内每一点的通量特性，为此，引入矢量场的散度。1.散度的概念在矢量场中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，设S所限定的体积为ΔV，当体积ΔV以任意方式缩向M点，即趋近于零时，若下列极限:存在，则称此极限为矢量场在点M处的散度。29由散度定义可知，散度表示单位体积内散发出来的矢量的通量。302.散度的计算式散度与ΔV的形状无关，只要在取极限过程中，所有尺寸都趋于零即可。31一些常用的散度运算恒等式321.4.4散度定理散度定理或高斯定理散度定理表明，矢量场的散度在体积V上的体积分等于该矢量场限定