北京丰台12中2024届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

北京丰台12中2024届高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a=logx0.2,〃=logo34,c=403,则（）

A.c<b<aB,a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

2.有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm,高度为100cm,现往里面装直径为10cm的球,

在能盖住盖子的情况下，最多能装（）

（附：应b1.414,6乏1.732,逐p2.236）

A.22个B.24个C.26个D.28个

3.若函数/（力二阴-，w2有且只有4个不同的零点，则实数〃?的取值范围是（）

飞、（e2}（e2\（e2'

L4）I4）I4JI4」

4.某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）

°12344567K9I0III2）\

A.月收入的极差为60B.7月份的利润最大

C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元

5.函数"大）=25m（8+0）（口>0,0<。<乃）的部分图像如图所示，若AB=5,点A的坐标为（-1,2）,若将函数

/3）向右平移巩〃>0）个单位后函数匡像关于丁轴对称，则团的最小值为（）

6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

B.4

D.5

7.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）

。

—2A

6469.3

年

总1O

10.2同

最K9.68

4632.1期

(\4067.4

亿

6相

元

7比

)增

长

率

《

求

浙江

江

河南

山东

U宁

》

r•长亭

A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省

B.与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长

C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个

D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元

41—y2

8.不等式＜一•二’的解集记为。，有下面四个命题：P]：V（X,），）£O,2），-，G5；p,:B（x,y）ED,2y-x..2-

x+X，3

〃3：0（x、y）e力，2y一毛，2；外：或x，y）e力，2）」尤.4.其中的真命题是（）

A•P\,P2B.〃2，P3c・〃|，P3D・〃2，〃4

9.如图，在AABC中，AD±AB,BD=xAB+yAC(x,yAD=2f且ACAQ=12，则2x+y=()

10.已知双曲线c：5-%■=1（。>0/>0）的左，右焦点分别为小号,过”的直线，交双曲线的右支于点P,以双曲

线的实轴为直径的圆与直线，相切，切点为“，若旧"=3比司，则双曲线C的离心率为（）

A.2L2.B.6C.2V5D.y/13

2

11.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为"，则①处应填的数字为

12.设。为坐标原点，尸是以E为焦点的抛物线y2=2px（〃>0）上任意一点，M是线段P/上的点，且

|PM|=21Mq，则直线OM的斜率的最大值为（）

ACR2n1

A•B•L•-------V•1

332

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.平面直角坐标系中。为坐标原点，己知A（3,1）,B（.1,3）,若点C满足OC=aOA+flOB淇中a,p£R,且。+芹1,则点

C的轨迹方程为一

22

14.若椭圆C：三++—=1的一个焦点坐标为（0,1）,则。的长轴长为.

mm~-1

15.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若S3=6,S6=-8,则89=—.

16.已知双曲线的一条渐近线为），二2九且经过抛物线）r=4x的焦点，则双曲线的标准方程为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC,AD±AB,AB=BC=2AD=2f四边形EDCF为矩形,

CF=6平面平面ABCD.

（1）求证：DF平面ABE；

（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.

⑶在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为立，若存在，求出线段BP的长，若不

4

存在，请说明理由.

18.（12分）已知函数/（外=工/-，储、（QER）在定义域内有两个不同的极值点.

（1）求实数〃的取值范围；

（2）若/（幻有两个不同的极值点芭，与，且.£<壬,若不等式恒成立.求正实数4的取值范围.

19.（12分）在平面直角坐标系xO），中，己知抛物线£：丁=2*（〃>0）的焦点为/，准线为/,尸是抛物线上E上

一点，且点P的横坐标为2,|夕耳=3.

（1）求抛物线E的方程；

（2）过点/的直线，"与抛物线E交于A、B两点,过点厂且与直线，〃垂直的直线〃与准线/交于点设43的

中点为N,若。、MN、/四点共圆，求直线〃?的方程.

x=t

20.（12分）在平面直角坐标系xO），中，直线/的参数方程为d为参数）,直线/与曲线C:（x-l）~+y2=l交于

y=t''

48两点.

（1）求的长；

⑵在以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为（2后,4），求点到线段43中点M

的距离.

1

x=—+cosa

2

21.(12分)在平面直角坐标系，中，曲线C的参数方程为(。为参数).以原点。为极点，x轴

73.

y=——+sina

2

的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.

(1)设直线/的极坐标方程为若直线，与曲线C交于两点A.B,求的长;

12

7T

(2)设M、N是曲线C上的两点，若/MON=—,求AOMV面积的最大值.

2

22.(10分)如图，在正四棱锥P—A5CO中，A5=2,^APC=-fM为上的四等分点，即BM」BP.

34

(1)证明：平面4WC1平面PBC；

(2)求平面PDC与平面4WC所成锐二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

结合指数函数及对数函数的单调性，可判断出-1<。<0/<-1,。>1,即可选出答案.

【详解】

由10go.34<log03g,即Z?<-1,

又一I=logs0.125<log80.2<log8I=o,即一1<。<0,

4°，>1,即C>1,

所以b<a

故选:D.

【点睛】

本题考查了几个数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.

2、C

【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为5及cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5夜(〃-1),m,

得到不等式10+50(〃-1)《100,计算得到答案.

【详解】

由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，

这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm的正面体，

易求正四面体相对棱的距离为5近cm,每装两个球称为“一层%这样装〃层球，

则最上层球面上的点距离桶底最远为(10+5&(〃-1)卜m,

若想要盖上盖子，则需要满足10+50("1)«100,解得〃工1+9/=13.726，

所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球.

故选：C

【点睛】

本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

3、B

【解析】

由/,(力=加-〃7是偶函数，则只需/(/)=*-〃"在X£(0,~HX)上有且只有两个零点即可.

【详解】

解：显然/(力=别一九F是偶函数

所以只需工£(0,a)时，/("=阴-如2=，-如2有且只有2个零点即可

令，-〃》=()，则〃7二=

厂

令=g(x)二丫3

x£(0,2),g'(x)v0,g(x)递减，且x->0',g(x)f田

X€(2,十8),9(_¥)>(),g(x)递增，且"o

g(x)2g(2)=?

%£(0,4<0)时，/(同=m一如2=e'一初x?有且只有2个零点，

2

只需〃z>一e

4

故选：B

【点睛】

考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.

4、I)

【解析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由图可知月收入的极差为90—30=60,故选项A正确；

1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高，故选项B正确;

易求得总利润为380万元，众数为30,中位数为30,故选项C正确，选项D错误.

故选：0.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.

5、B

【解析】

根据图象以及题中所给的条件，求出和9,即可求得/(x)的解析式，再通过平移变换函数图象关于)’轴对称，

求得〃?的最小值.

【详解】

由于48=5,函数最高点与最低点的高度差为4,

所以函数/(x)的半个周期二=3,所以7=至=6=口=[,

2co3

又A(—1,2),0<。</，则有2sin(-lxq+9)=2,可得夕=年，

所以/(x)=2sin(gx+^]=2sin(gx+g+g]=2cosg(x+l),

\3o)\53275

将函数/")向右平移/〃个单位后函数图像关于y轴对称，即平移后为偶函数，

所以〃7的最小值为L

故选：B.

【点睛】

该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的

变换关系，属于简单题目.

6、B

【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥A-放入长方体中，利用体积分割求解即可.

【详解】

如图，三棱锥的直观图为A-CQE,体积

Vy=V,_-Vv-Vy-Vv-Vv-Vv

A-Cl\EV长方体AqBBiE-A\FE-ABCE-CC}1\E-AL\Fl\-ADC

=2x4x2——x2x2x2——x—x4x2x2-—X-!-X2X2X2=4.

23232

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.

7、D

【解析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】

由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度G。。总量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；4632.1-(1+3.3%)«4484<4500.

故D项不正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.

8、A

【解析】

作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.

【详解】

作出可行域如图所示，当x=l,y=2时，(2)，一x)a=3,即2y-X的取值范围为(―00,3],所以

V(x,y)€D,2y-用,5,月为真命题；

三(九,y)eD,2y-x..2,p2为真命题；心,为假命题.

此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.

9、C

【解析】

由题可力。・43=0,4。-4。=12,所以将已知式子中的向量用AD4BAC表示，可得到的尤)'关系，再由民三

点共线，又得到一个关于MV的关系，从而可求得答案

【详解】

由8D=x48+)，AC，贝iJ

AO="+1)A3+yAC,ADAD=AD-[(x+AB+yAC]=(x+\)ADAB+yADAC,即4=12y,所以y=g,

又反£),C共线，则x+l+)，=l,x=-；,2x+y=-g.

故选：C

【点睛】

此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.

10、A

【解析】

在APEE中，由余弦定理，得到|丹言，再利用|巴"-|尸/"=2〃即可建立。力,。的方程.

【详解】

由已知，|明|=小耳。_0“27c2一。2=b，在中，由余弦定理，得

22

|PF21=』PF：+F\F：-2PF\书&cos/P/K=yj4c+9/?-2x2cx3Z?x1=

“7万,又户用=3|〃胤=3仇\PFx\-\PF2\=lat所以弘一府寿=2〃，

，3Ib2V13

=厂—=W/=丁

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立出尻。三者间的关系，本题是一道中档题.

11、B

【解析】

考点：程序框图.

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我

们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案.

解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

Si是否继续循环

循环前11/

第一圈32是

第二圈73是

第三圈154是

第四圈315否

故最后当iV5时退出，

故选B.

12、C

【解析】

试题分析：设R2-,%），由题意F（3,0）,显然凡＜0时不符合题意，故为＞0,则

2P2

OM=OE+FM=0/+＞尸=0"-；（02—0b）=；02+|0/=（^-+§争，可得：

A厂

,322V2-

k=y

0M=2n=~-27-77?T当且仅当%2=2〃、%=加〃时取等号，故选C

90।PJo十*乙乙

6P3Py0

考点：1.抛物线的简单几何性质；2.均值不等式.

【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档

题.解题时一定要注意分析条件，根据条件=利用向量的运算可知写出直线的斜率,

注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、x+2y-5=0

【解析】

根据向量共线定理得A,B,C三点共线，再根据点斜式得结果

【详解】

因为OC=aOA+BOB，且a+p=l,所以A,B,C三点共线，

因此点C的轨迹为直线AB：y-l=—（X-3）/.x+2），-5=0.

3+1

【点睛】

本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.

14、273

【解析】

由焦点坐标得〃产—1—〃?=1从而可求出机=2,继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.

【详解】

解：因为一个焦点坐标为（0』），则“2-1—/〃=1，即m2—机一2二0，解得〃7=2或加=一1

2222

由三+W—=1表示的是椭圆，则〃>0,所以6=2,则椭圆方程为二+二=1

mm--\32

所以。=2a=2-^3.

故答案为：26.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程，考查了桶圆的几何意义.本题的易错点是忽略，〃>0,从而未对〃7的两个值进行取舍.

15、-42

【解析】

由邑，&-S3，成等差数列，代入S3=6,S6=-8可得S9的值.

【详解】

解：由等差数列的性质可得：S3,56-S3,S9-S6成等差数列，

可得：2(S6-S3)=S3+59-56,代入SS=6,S6=-8,

可得：W=-42,

故答案为：-42.

【点睛】

本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难.

16、x2-^-=l

4

【解析】

2

设以直线〉=±21为渐近线的双曲线的方程为/一二=〃2工0),再由双曲线经过抛物线丁=4%焦点/(1,0),能

4

求出双曲线方程.

【详解】

解：设以直线.y=±2犬为渐近线的双曲线的方程为f一E=〃力W0),

4

•・•双曲线经过抛物线/=4/焦点/(1,0),

・・・1=九，

2

，双曲线方程为21=1,

4

故答案为：x2-^-=i.

4

【点睛】

本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(I)见解析(ID(in)BP=2

31

【解析】

试题分析：

(I)取。为原点，所在直线为x轴，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面ABE的法向量

且=(一1,2,6)，据此有3p.〃=(),则DF//平面ABE.

(II)由题意可得平面B所的法向量加二06,4),结合(I)的结论可得,。网J俞3卜笔L即平面A8E

与平面比方所成锐二面角的余弦值为迥.

31

(m)设==(一42/融),2G[0,1],则*(-；1-1,24-2,网,而平面ABE的法向量

万=(6、0,1),据此可得sin0=cosBP.〃二立，解方程有2=1或据此计算可得区。=2.

\/424

试题解析：

(I)取。为原点，7)4所在直线为x油，OE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,O,O),8(1,2,0),

E(0,0闽,F(-1,2,G),・・.BE=(T,-2,@,AB=(0,2,0),

设平面板的法向量”=(x,y,z),,•一一，一：二，2二°，不妨设”=(G,()/)，又=(-1,2,6),

:.DFF=Y+币>=2,：・DF1京,又・・・OF(Z平面ABE,，OF//平面45K.

(D)・・・8E=(-1,—2,6),BF+2,0网,设平面片斯的法向量加=(x,y,z),

-x-2y+>/3z=0,fz\0m-n1055/JT

..「不妨设加=2y3,\/3,4,/.COS^=r77=----7==——,

-2x+V3z=0,'7\fn[\n\2-V3131

・・・平面/与平面瓦8所成锐二面角的余弦值为上叵.

31

(ni)设。2=/i。/=义(-1,2,73)=(一424百为，ZG[0,1],.\P(-Z,2Z,V3A),

・・・8P=卜4—1,24—2,6/1),又•・•平面A8后的法向量〃=(G,0,。，

卜®i-G+Gq

A/311

:.sin^=|cosBP,“二

8/12-62+1=0,・•・/!二二或2

2,(4++(202『+3%424

综上，BP=2.

【解析】

r4-1

⑴求导得到W二。有两个不相等实根，令=计算困数单调区间得到值域，得到答案・

r4-1

(2)%,占是方程一T=2〃的两根，故/[(*)＜万化简得到％In(尤]+1)-/1In1一3一(1+%)%<0,

V41

设函数，讨论范围，计算最值得到答案.

【详解】

(1)由题可知/'⑴=(x+\)ex-2ae：x=0有两个不相等的实根,

r4-1

即：―=。有两个不相等实根，令=h=

,ex-(x+l)^'-x

("『TxeR

xe(-oo,0),hf(x)>0；XG(0,+oo,),fi(x)<0,

故〃(X)在(一8,0)上单增，在(0,+8)上单减，・・・〃(X)皿=〃(0)=1.

又”(-1)=0,-1)时，/?(x)<0.X£(-1,~KC)时，h(x)>0,

,•2aG(0,1),即〃£0,—j.

E+1

(2)由(1)知，M，勺是方程一2。的两根,

e

，一1<%v0</,则玉+4%>°=/>>0

A

因为〃(X)在(0,+8)单减，，/?(%)<。，又6(工2)=〃(工1)，，〃(％)</?

A2

_土+1

即土土,两边取对数，并整理得:

ez

Y'

义In(X+1)—2In1---(1+4)为<0对内£(—1,0)恒成立,

设F(尤)=41n(x+l)—几In1—土-(\+A)x,xe(-l,0)»

k)

当;INI时，尸3>0对工£(-1,0)恒成立,

在(-1,0)上单增,故尸。)〈尸(0)=0恒成立,符合题意;

当4£(0,1)时，几一1£(-1,0),XE.(Z—1,0)时F'(x)<0,

，尸(x)在(4—1,0)上单减，F(JC)>F(0)=0,不符合题意.

综上，A>\.

【点睛】

本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

19、(1)y2=4x(2)y=±>/2(x-l)

【解析】

(1)由抛物线的定义可得|PF|=2+g即可求出〃，从而得到抛物线方程；

(2)设直线〃7的方程为元=)+1,代入)，2=4X,得/一4/)，-4=0.

设A(N，)，J,8(%,%)，列出韦达定理，表示出中点N的坐标，若。、M、N、尸四点共圆，再结合FN_LRW,

得OM上ON,则。MON=0即可求出参数，，从而得解；

【详解】

解：⑴由抛物线定义，得|PF|=2+曰=3,解得〃=2,

所以抛物线E的方程为丁=4工.

(2)设直线m的方程为x=(y+l,代入),2=4x,得》2一4)-4二0.

设A(XQJ,则乂+%=4/,>'^2=-4.

由K=4玉,£=4X2,得

x+x_货+£—(凹十％丫一2y通_(4/『一2x(-4)

-4444

所以N(2『+1,2/).

因为直线〃2的斜率为;，所以直线〃的斜率为一/,则直线〃的方程为y=-f(x-l).

由匕二：(1)解得〃(T2)・

若。、M、N、b四点共圆，再结合FNtFM,得OM工ON,

则OM・ON=­lx(2/+l)+2,2=2『-l=0,解得/=±日，

所以直线m的方程为y=±V2(x-l).

【点睛】

本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.

20、(1)叵；(2)—.

2

【解析】

(1)将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得|A8|

的长；

(2)将P的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得

M的坐标，再根据两点间距离公式即可求得归〃|.

【详解】

x=t

(1)直线/的参数方程为(/为参数)，

[y=t

化为直角坐标方程为)'=x,即x-y=O

直线/与曲线C:(x-iy+y2=i交于&5两点.

则圆心坐标为(1,0),半径为1,

则由点到直线距离公式可知"=g=^，

所以|棚=2X卜-y=&.

(L3兀、

(2)点P的极坐标为20,于,化为直角坐标可得(-2,2),

\4/

「，=尤

直线/的方程与曲线C的方程联立/,22，化简可得/-工=0，

[(.J1)+/=1

解得X=0,X=1,所以A8两点坐标为(0,0)、(1,1),

(\1)

所以例,

(22；

由两点间距离公式可得俨切=J12T2+'_g)2二号.

【点睛】

本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用,

直线与圆交点坐标求法，属于基础题.

21、(1)