机械工程测试技术（第3版）课件：周期信号及其离散频谱

掌握周期信号的描述方法周期信号的分析方法周期信号与谐波信号的关系周期信号的离散频谱特性傅立叶级数的主要性质及应用

周期信号及其离散频谱学习重点一、周期信号的定义按一定时间T

不断重复出现的信号

x

(

t

)＝

x

(

t

+

nT

)

，T称为周期。简单周期信号复杂周期信号简单的周期信号，如正弦信号，频率单一，又称为谐波信号。x(t)=Asin(Ot

+Q)

复杂周期信号是由频率比为有理数的不同频率的正弦信号迭加而成。x(t)=sin

t

+sin3t

+sin5t任何周期函数，都可以展开成由正交函数线

性组合的无穷级数(如三角函数集的傅里叶级数):{cosnO0

t,sinnO0

t}二

、

周期信号的频谱分析1.Dirichlet条件信号X(t)在一个周期内：(连续|〈只有有限个第一类间断点

|只有有限个极值点三、

Fourier级数的三角展开式1.左极限右极限，即f(x0-0)f(x0+0)2.左极限＝右极限，但f(x0)即f(x0-0)＝f(x0+0)f(x0)3.左极限＝右极限，但f(x0)不确定第

一

类间断点中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822~

1826年在巴黎求学，深受J.B.J.傅里叶的影响。

回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任

C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。狄里克利Dirichlet

(1805~1859)，德国数

学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。Fourier傅里叶•1768年生于法国•1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”•1822年首次发表“热的分析理论”•1829年狄里克利为他证明,

第一个给出收敛条件(拉格

朗日反对发表)任何周期信号X(t)

，在满足Dirichlet条件时，均可以展开成Fourier级数，且级数收敛。测试技术中的周期信号，大都满足该条件2.

周期函数的Fourier级数三角展开(同频项合并)

变形为：x(t)

=

a0

+

An

sin(nO0t

+Qn

)

x(t)=a0

+

(an

cosnO0t+bn

sinnO0t)n=1周期信号Fourier级数的表达形式：(n

=1,2,,3,...)(n

=1,2,,3,...)n=1

An――某频率分量的幅值φn――某频率分量的相位

(相角)An-O称为幅频谱，Qn-O称为相频谱，

统称为频谱。Ø由于n为整数，各频率分量仅在ω＝nω0处取值，因而得到的是关于幅值An和相角φn的离散谱线。周期信号的频谱是离散的!Ø常值a0为周期信号的平均值或直流分量

；Ø从n=1开始，分别称为信号的一次谐波(基波)

、二次谐波、三次谐波、……、n次谐波；讨论“和谐”这个词最早起源于音乐，要想让乐器发出优美的乐章，必须在恰当的时刻，把琴弦绷到恰当的张力(幅值)，太松

没有声音、太紧就会崩断。傅里叶老师告诉我们：任何周期函数，都可以看作是不同振幅、不同相位的各个正弦波的叠加。Why要把周期信号展开为博里叶级数？主要目的：了解周期信号含有哪些频率分量？各分量振幅、相位的比例关系，这种关系就是信号的“频率特性”。其中，振幅与频率的关系称为幅频特性，相位与频率的关系称为相频特性。寻找信号频率特性的过程，称为信号的

频谱分析随着正弦波数量逐渐增多，最终可以叠加成一个标

准的矩形，大家从中体会到了什么道理？只要努力，弯的都能掰直！但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90角

的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个---奋斗永无止境。不仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如法炮制用正弦波叠加起来。世界上每一个看似混乱的表象，都是一条时间轴上不规则的曲线，这个曲线实际都是由无穷无尽的正弦波组成。

看似不规律的事情，是规律的正弦波的叠加。•三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同类

型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方法。

指数形式比三角形式更简化、更便于计算。•周期信号另一种更常用的表示方法是傅立叶级数的指

数表示法，称为指数

(复数)

傅立叶级数。四、指数形式的傅立叶级数v离散性：周期信号的频谱是离散谱，每一条

谱线代表一个频率分量。信号的频谱是由间隔为ω0

的谱线组成的，信号周期T越大，ω0就越小，则谱线越密。反之，T越小，ω0越大，谱线则越疏。v谐波性：频谱中的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处。v收敛性：各频率分量的谱线高度(幅值)随着频率的升高而减小(最终趋于零)，频率越高，幅值越小。五、