机械工程测试技术（第3版）课件：信号及其描述

机械工程测试技术

信号及其描述本章学习要求：1.了解信号的种类2.掌握信号时域波形分析方法

3.掌握信号时域相关分析方法

4.掌握信号频域频谱分析方法

5.了解其它信号分析方法•微信如何通过网络传到对方的手机？•空中为什么可以同时有许多个无线电信号而相互不打架？•一根CATV电缆为什么可以同时传输那么多路电视信号？……想知道这些问题的答案，那就请参加我们的课程吧！

在这里你还会知道信号如何获取与分析的原理，了解大咖傅里叶是谁？1

从信号数学描述上分--确定性信号、非确定性信号3

根据分析域--时域与频域4

从连续性5

能否实现--物理可实现信号、物理不可实现信号2.1

信号的分类为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的。从不同角度观察信号，可以将其分为：2

从信号的幅值和能量--能量信号、功率信号--时间连续信号与离散信号动态信号的分类与描述一、

确定性信号与非确定性信号确定性信号－－可以用明确的数学关系式完整描述。非确定性信号(随机信号)－－无数学关系式，不可预测，概率。图2.2•1.1正余弦信号(简谐信号，又称谐波)具有如下的一般表达式：x

(t

)

=

Asin(

t

+

)

=

Asin[

(t

+

T)]T2几T2几•1.2伪随机信号

是周期信号的特

例，它们具有准

随机的特性。貌似随机而遵循严格规律图2.3伪随机信号正、余弦信号2.

非周期信号：不会重复出现的信号。非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。2.1

准周期信号:

由

多

个周期信号叠加而成

，

但各信号频率不成公倍数

(频率比是无理

数)。如：x(t)

=

sin(t)+sin(

√2t)2.2

瞬态信号:持续时间有限

(时间历程短)

的信

号。

如

x(t)=

e-Bt

.

Asin(2*pi*f*t)心电图波形医学相

同

点不

同

点复杂周期信号由多个简谐信

号迭加而成。

频谱都是

离散的各简谐分量中任

意2个分量的频

率比是有理数准周期信号任意2个分量的频率比是无理数复杂周期信号与准周期信号的异同3.非确定性信号

(随机信号)

：无数学式，其幅值、

相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程统计特性变异噪声信号

(

非平稳

)噪声信号(平稳)二、

能量信号与功率信号1.能量信号－－在所分析的区间

(

-∞

，

∞

)

，

能量为有限值的信号。满足条件：j-

w

x

2

(

t

)

dt

<

www一般，持续时间有限的瞬态信号是能量信号。当信号满足条件：0

<

lT

j

x

(t

)

2

dt

<

w或者

T

w

j-

T

x2

(t)dt

<

w即信号具有有限的(非零)

平均功率，则称

信号为有限平均功率信号，简称功率信号。TT——

lim

wim2.功率信号在所分析的区间

(-∞

，

∞)

，能量不是有限

值。此时，研究信号的平均功率更为合适。三、时限与频限信号1.

时域有限信号只在时间段

(t1，t2)内有定义，其外恒等于零2.

频域有限信号只在频率区间(f1，f2

)内有定义，其外恒等于零三角脉冲信号正弦波幅值谱•分类依据：信号的幅值是连续的还是离散的；自变量(即时间t)是连续的还是离散的

。•连续信号模拟信号--自变量和幅值均取连续值量化信号--自变量连续、但幅值为离散值•离散信号数字信号--信号的自变量及幅值均为离散值采样信号--自变量为离散值、但其幅值为连续值四、连续信号和离散信号五、

物理可实现与不可实现信号1.

物理可实现信号(又称为单边信号)

满足条件：t＜0时，x(t)

=

0即在时刻小于零的一侧全为零2.

物理不可实现信号在事件发生前(t<0)就预知信号。•方法一：时域描述法x(t)---t

，主要反映信号的幅值与时间的变化关系时域分析方法-信号时域分析(线性系统叠加原理)–微分或差分方程–单位脉冲响应和单位序列响应-卷积积分的应用及其数学描述•方法二：频域描述法将x(t)---t变换为X(f)---f，X(O)---

O主要描述信号的幅值、相位与频率的变化关系。2.3

信号的描述方法一、

信号的时域波形分析信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。Pp-p2

、周期T，频率f=1/T3

、峰值P

，双峰值Pp-pP1、信号波形图ATt4

、均值均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。

x

=E[x(t)]=lim

j0

x(t

)dtTT均值反映了信号变化的中心趋势，也称为直流分量T

—

”

x5

、

均方值均方值E[x2(t)]

，表达了信号的强度；其正平

方根值(均方根值)

，又称为有效值(RMS)

，也是

信号平均能量的一种表达。

2

x

=E[x

2

(t)]=

limj0

x

2

(t)dtTTT

—

6

、方差信号x(t)的方差定义为：Q2x

=E[(x(t)E[x(t)])2

]=lim

l0

(x(t)x

)2

dtTT方差：反映了信号绕均值的波动程度大方差小方差T—

二、

信号的幅值域分析1

概率密度函数以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现

的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。p

(

x

)

=

lim

x

—

0以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内

出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法9

08

07

06

05

04

03

02

01

00-

11概率密度函数-

0

.

5

0

.

5归一化2

直方图直方图三、信号的频域分析信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)

变换为频域信号X(f)

，从而帮助人们从另一个角度

来了解信号的特征。傅里叶变换X(t)=

sin(2πnft)0tf0

SPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPSPzHG5.62-zHk9REANALYZANALYZANALYZANALYZANALYZANALYZMUTRTRECECSPSP8563A什么是频域？我们看到的世界都以时间贯穿。股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都随时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，这个静止的世界就叫做频域。这是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都不陌生，只是没意识到而已。一段音乐是一个随着时间变化的震动，音乐的时域图如下：但对于乐器行家来说，音乐更直观的理解是这样的：时域：我们观察到钢琴的琴弦一上一下的摆动。在频域，只有一个永恒的音符。将上面两图简化：2024年8月19日8时49分动手做：用计算机声卡和麦克风对

乐器进行测量分析，给出

不同音阶对应的频率。

设计一个计算机电子琴。2024年8月19日8时49分掌握周期信号的描述方法周期信号的分析方法周期信号与谐波信号的关系周期信号的离散频谱特性傅立叶级数的主要性质及应用2.4

周期信号及其离散频谱学习重点一、周期信号的定义按一定时间T

不断重复出现的信号

x

(

t

)＝

x

(

t

+

nT

)

，T称为周期。简单周期信号复杂周期信号简单的周期信号，如正弦信号，频率单一，又称为谐波信号。x(t)=Asin(Ot

+Q)

复杂周期信号是由频率比为有理数的不同频率的正弦信号迭加而成。x(t)=sin

t

+sin3t

+sin5t任何周期函数，都可以展开成由正交函数线

性组合的无穷级数(如三角函数集的傅里叶级数):{cosnO0

t,sinnO0

t}二

、

周期信号的频谱分析1.Dirichlet条件信号X(t)在一个周期内：(连续|〈只有有限个第一类间断点

|只有有限个极值点三、

Fourier级数的三角展开式1.左极限右极限，即f(x0-0)f(x0+0)2.左极限＝右极限，但f(x0)即f(x0-0)＝f(x0+0)f(x0)3.左极限＝右极限，但f(x0)不确定第

一

类间断点中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822~

1826年在巴黎求学，深受J.B.J.傅里叶的影响。

回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响。1839年任柏林大学教授，1855年接任

C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。狄里克利Dirichlet

(1805~1859)，德国数

学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。Fourier傅里叶•1768年生于法国•1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”•1822年首次发表“热的分析理论”•1829年狄里克利为他证明,

第一个给出收敛条件(拉格

朗日反对发表)任何周期信号X(t)

，在满足Dirichlet条件时，均可以展开成Fourier级数，且级数收敛。测试技术中的周期信号，大都满足该条件2.

周期函数的Fourier级数三角展开(同频项合并)

变形为：x(t)

=

a0

+

An

sin(nO0t

+Qn

)

x(t)=a0

+

(an

cosnO0t+bn

sinnO0t)n=1周期信号Fourier级数的表达形式：(n

=1,2,,3,...)(n

=1,2,,3,...)n=1

An――某频率分量的幅值φn――某频率分量的相位

(相角)An-O称为幅频谱，Qn-O称为相频谱，

统称为频谱。Ø由于n为整数，各频率分量仅在ω＝nω0处取值，因而得到的是关于幅值An和相角φn的离散谱线。周期信号的频谱是离散的!Ø常值a0为周期信号的平均值或直流分量

；Ø从n=1开始，分别称为信号的一次谐波(基波)

、二次谐波、三次谐波、……、n次谐波；讨论“和谐”这个词最早起源于音乐，要想让乐器发出优美的乐章，必须在恰当的时刻，把琴弦绷到恰当的张力(幅值)，太松

没有声音、太紧就会崩断。傅里叶老师告诉我们：任何周期函数，都可以看作是不同振幅、不同相位的各个正弦波的叠加。Why要把周期信号展开为博里叶级数？主要目的：了解周期信号含有哪些频率分量？各分量振幅、相位的比例关系，这种关系就是信号的“频率特性”。其中，振幅与频率的关系称为幅频特性，相位与频率的关系称为相频特性。寻找信号频率特性的过程，称为信号的

频谱分析随着正弦波数量逐渐增多，最终可以叠加成一个标

准的矩形，大家从中体会到了什么道理？只要努力，弯的都能掰直！但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90角

的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个---奋斗永无止境。不仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如法炮制用正弦波叠加起来。世界上每一个看似混乱的表象，都是一条时间轴上不规则的曲线，这个曲线实际都是由无穷无尽的正弦波组成。

看似不规律的事情，是规律的正弦波的叠加。•三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同类

型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方法。

指数形式比三角形式更简化、更便于计算。•周期信号另一种更常用的表示方法是傅立叶级数的指

数表示法，称为指数

(复数)

傅立叶级数。四、指数形式的傅立叶级数v离散性：周期信号的频谱是离散谱，每一条

谱线代表一个频率分量。信号的频谱是由间隔为ω0

的谱线组成的，信号周期T越大，ω0就越小，则谱线越密。反之，T越小，ω0越大，谱线则越疏。v谐波性：频谱中的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处。v收敛性：各频率分量的谱线高度(幅值)随着频率的升高而减小(最终趋于零)，频率越高，幅值越小。五、周期信号的频谱特点群体的特征是由个体的特征构成的。

要分析复杂群体，只要从个体入手即可突破。每个学生都有理想、守纪律、为中华之崛起而勤奋学习，国家何愁不强大？

天下兴亡，匹夫有责！周期信号的频谱是各频率分量构成的离散频谱掌握非周期信号的描述方法非周期信号及其连续频谱傅立叶变换的主要性质及应用2.5

非周期信号及其连续频谱学习重点周期信号与非周期信号之间没有绝

对的差别

，

当周期信号fT(t)的周期T无限增大时

，

就转化为非周期信号

f(t)

。

即:lim

fT

(t)=f(t)T

w一、傅立叶变换非周期信号一般为时域有限信号，具有

收敛可积条件，其能量为有限值。这种信

号的频域分析手段是傅立叶变换。〈(|x

(t

)

=

j

X

(

f

)e

j

2

ft

df

|

X(f)=j-

x(t)e

-

j

2

ft

dt

-

1

傅立叶变换的性质a.奇偶虚实性•x(t)为时间t的实函数x(t)为偶函数[即x(t)=x(-t)]，则X(ω)为ω的实、偶函数；x(t)为奇函数[即x(t)=-x(-t)]，则X(ω)为ω的虚、奇函数；•x(t)为时间t的实函数b.线性叠加性若

x1(t)

←→

X1(f)

，x2(t)

←→

X2

(f)

则：a

x1(t)

+

b

x2(t)

←→

a

X1

(f)

+b

X2(f)c.对称性若

x(t)

←→

X(f)

，则

X(-t)

←→

x(-f)d.

时间尺度改变特性若

x(t)

←→

X(f)

，则对于实常数k

，有x(k

t)←→1/k[X(f/k)]•若信号x

(t)在时间轴上被压缩至原信号的1/k

，则其频谱函数在频率轴上将展宽k倍，而其幅值相应地

减至原信号幅值的1/k•信号的持续时间与信号占

有的频带宽度成反比。•k

<1

时(图a)：时间尺度扩展，快录慢放，频谱变窄(f,声音变低沉)，幅值个。对后续设备(放大器、滤波器等)的通频带要求可以降低，但信号处理效率不高。•k>1时(图c)：时间尺度压缩，慢录快放，频谱变宽(f

个,声音变尖)，幅值。信号处理效率个，但频谱变宽后，如果后续设备的通频带不够宽，可能导致失真。窗函数的尺度变换(k=3)e.

时移性如果有x(t)

←

→

X(f)

，则

x(t±t0)

←→

e

±j2πft0

X(f)例8求图2.30所示矩形脉

冲函数的频谱。解：该函数的表达式可写为可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至t0

点位置所形成。则幅频谱和相频谱分别为图2.30具有时移t0

的矩形脉冲f.

频移性

(亦称调制性)若x(t)

←→

X(f)

，则x(t)

e

±j2πf0t

←→

X(f

±f0)f0——常数。0t的频

谱x(t)cosωG

(O)=j

g

(t)e一jOt

dt

=j

一T

2

A

.e一jOt

dt=

A「ej

一

e一

j

]=

2

A

sin

OT=AT=ATSinc()sin

xxT/T//2一ww2.几种典型信号的傅立叶变换2.1矩形窗函数(矩形脉冲函数)。矩形脉冲g(t)及其对应的频域函数G(ω)分别如下：g

(t

)

=

A

一

T

/

2

共

t

共

T/

20

其它•当ω=0时，

G(ω)=AT

；•ω=2kπ/T时，

G(ω)=0sin

c(x)=,称为抽样函数L」O

22.26函数:一个理想函数，物理不可实现。幅值无限，持续时间为零的脉冲。l0,

t

丰

06(t)

=〈(w,

t

=

06

(t

)

=

lic

S

c

(t

))0mj_w6(t)dt=1S(t)S(t)S(t)1/ctttc单位脉冲函数的频谱---6(t)的傅立叶变换：即6(t)及其傅立叶变换6(t)函数的性质1)采样特性j

x(t)

.6(t)dt

=

j

x(0)

.6(t)dt

=

x(0)

.

j

6(t)dt

=

x(0)

j

x(t)

.6(t

t0

)dt

=

j

x(t0

)

.6(t

t0

)dt

=

x(t0

)

.

j

6(t

t0

)dt

=

x(t0

)

00

t0

t

-

1t

-

1x(t)+

1

x(t)+

1x(t)+

1

x(t)+

1

0

t0

t0

t6(t)6(t)××＝＝-

1-

10t0tx(t)*6(t)=j

x(T)6(t

T)dT

=

x(t)

结果：x(t)与6(t)的卷积等于x(t)2)

6(t)与其它信号的卷积6函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称

为“均匀谱”。

(f)10

(jf)=j

6(t)e

j2

ftdt

=

e0

=

1

6(t)=j

1.ej

2

ftdf

3)

6(t)函数的频谱6(t)

↔11↔6(f)t

0

f直流分量的频谱δ函数的频谱逆变换：即：

6(t)余弦函数的频谱：

正弦函数的频谱：正弦函数的频谱2.3正、余弦信号的频谱欧拉公式：2.4周期单位脉冲序列的频谱相等间隔的周期单位脉冲序列，常称为梳状函数g(t)=6(t

-nTs

)n=-“式中，Ts—周期，n—整数，n=0,±1,±2,±3,…。频率fs=1/Ts用傅立叶级数的复指数形式表示：g(t)=C

n

e

j

2

"nf

s

tn

=-“““Cn

=

j-2Ts

g(t)e-j

2"nfs

t

dt

=

j-2Ts

6(t)e-j

2"nfs

t

dt2TsTs2TsTs1=

Ts时域中，序列的周期为Ts

，频域中，序列的周期为1/Ts时域中，幅值为1,频域中，幅值为1/Tsg(t)=ej

2

nfs

ts

n

=-“进行傅立叶变换：“G(jf)=(f

-nfs

)=(f

-)s

n=-“s

n=-“s““ej2πƒ0t↔δ(ƒ-ƒ0)ƒs=1/Ts由周期信号到非周期信号的频谱分析傅立叶级

数的复指

数函数展傅立叶级数

的三角函数

展开式从傅立叶级数到傅立叶积分傅立叶积分非周期信号连续频谱周期信号傅立叶级数傅立叶积分离散频谱欧拉公式T

T

开周林频谱保健治疗仪简称周林频谱仪•生物频谱技术在治疗保健领域的应用•能近似模拟人体辐射频谱，工作时通过辐照将电磁能转化成人体易于吸收的生物能•基于匹配吸收原理，促进血液循环、调节和改善机体免疫功能、促进新陈代谢、增强组织的修复与再生能力北京周林频谱科技有限公司董事长周林，毕业于上海交通大学，他潜心钻研，发明了周林频谱保健治疗仪树苗如何浇水？一般人：定期、定量浇水。但是，老天爷下雨，不可能定期、定量。聪明人应该怎么做？才能确保露天植树的成活率。答案是：随机浇水(不定期、不定量)l

随机信号(非确定性信号)的特点：写不出数学方程式，瞬时值不可预测；所描述物理现象是一种随机过程。l

研究随机信号必须采用概率统计的方法

样本函数xi(t)：一次观测记录

样本记录：有限时间区间上的样本函数

随机过程：同一试验条件下，全部样本函数的集合(又称为总体)，记为{x(t)}

x(t)}=x1

(t),x2

(t),…

,xi

(t),…}一、随机过程常用的统计特征参数

1.均值：

x

(t1

)

=

li

xi

(t1

)

2.均方值

(t1

)

=

li

x

(t1

)v另外还有：方差、概率密度函数、概率分布函数、功率谱密度函数等。v这些特征参数均是按集合平均(总体平均)

来计算的，即在某个时刻对所有样本函数的观测值取平均。Ni2

mN

m二、随机过程的分类平稳随机信号的每一个样本都同样地经历了其它样本的各种可能状态，因而从一个样本的统计特性(时间平均)就能得到全部样本的统计特性(集合平均)。----此类随机信号称为各态历经信号。未必都是必定是1.均值、均方值和方差

对于一个各态历经过程x(t)，其均值μx

定义为px

=

E[x