机器人建模与控制课件：空间描述和变换

机器人建模与控制

空间描述和变换2.1.1

笛卡尔直角坐标系⚫交于原点的三条不共面的数轴(常称x轴、

y轴和z轴)构成空间的放射坐标系⚫三条数轴(主轴)上度量单位相等的放射坐标系称为空间笛卡尔坐标系(

(空间笛卡尔直角右手坐标系|空间笛卡尔直角坐标系〈空间笛卡尔斜角坐标系⚫本课程采用：空间笛卡尔直角右手坐标系所有坐标系都采用同样长度的度量单位空间笛卡尔坐标系〈空间笛卡尔直角左手坐标系2.1

坐标系与向量左手坐标系

右手坐标系右手定则2.1.2

向量⚫定义：向量是具有大小和方向的量⚫几何上，可以用3维空间的有向线段表示3维向量，如：EF⚫若两个向量长度相等、方向相同，则称这两个向量相等EFEFA2.1

坐标系与向量DAO

D

=

EF{A}O

DX八Z八A

OAAA「1]「0]「0]在{A}中，X八A

,

A和Z八A

可分别表达为

AXA

=

0

YA

=

1

ZA

=

0

|L0」||L0」||L1」|得到3个向量dx

X八A

,dy

A和dz

Z八A「d

]|Ldz

」|简洁表达AD

=

d

|Ldz

」|yxOAD

=dx

X八A

+dy

A

+dz

Z八A

=X八A

AO

DA

,

A

,

AX八

Z八向量，将它分别向作投影Z八{A}2.1

坐标系与向量OX八d

+d

+dz2y2x2⚫向量的定量表达Z八A

d

yx向量长度(大小)DAO

D=「d

]d

X八y

Ad

z

Ad

Z八O

DADADx

AA

=AAAAA，⚫两个3维向量OP

与OQ

的内积(数量积)定义为

OP

.OQ

=OP

OQ

cos99[0,几]⚫内积是一个标量，零向量与任何向量的内积等于零⚫OP

与OQ

垂直(正交)的充要条件是它们的内积等于零⚫方向任意的零向量垂直(正交)于任何向量2.1.3

三维向量的内积和外积⚫

两个非零向量间夹角9=Acos2.1

坐标系与向量OP

.OQOP

OQ⚫向量长度OP

=OP

.

OP将OP

向单位向量OQ

作投影，得到的投影向量为(OP

.

OQ

)OQ2.1

坐标系与向量⚫若OQ

是单位向量OP

OP

9.OQ

=cos⚫在参考系{A}中，OP

和OQ

分别被表达为「p

]「q

]|Lpz

」||Lqz

」|⚫OP

和OQ

的内积可按下式计算「qx

]py

pz

qy

|Lqz

」|OP

.OQ

=AP

.AQ

=APT

AQ

=pxAP

=p,

AQ

=q

yxyx2.1

坐标系与向量=px

qx

+py

qy

+pz

qz长度定义为OW

=OP

OQ

sin9零向量与任何向量的外积是零向量，非零向量的外积也是零向量。OW

与OP

和OQ

均正交，方向按右手螺旋法则确定：右手大拇指伸直，弯曲其他四指，指向由OP

沿小于180°的方向转向OQ

，大拇指的朝向即是OW

的方向⚫两个3维向量OP与OQ的外积(向量积)是一个3维向量，记这个向量为OW

=OP

OQ2.1

坐标系与向量夹角θ为0或π的两个OPθOQOP

OQ⚫

对于右手参考系{A}，有

Z八A

=X八A

人A

,X八A

=A

人Z八A

,A

=Z八A

人X八A⚫OP

和OQ

以及它们的外积OW

分别表达为AP

=p

,AQ

=q

,AW

=w

=AP

人AQ|Lpz

」||Lqz

」||Lwz

」|yxyxyx法二「

0||L−py−pz0xpy

]「qx

]−

xx0p⚫三种方法计算AW(w

=p

q

−p

q法一

|

x

y

z

z

y〈

wy

=

pz

qx

−

px

qz

|lwz

=

px

qy

−

py

qx其中，计算结果中i项、j项和k项的系数就分别是wx

、wy

和wzijkxyzxyz2.1

坐标系与向量「p

]「q

]「w

]AW

=

|

pz|||法三ppppqqq2.2.1

点的位置描述OA

表示{A}的原点X八A、

A

和Z八A

分别表示{A}的x

轴向、y

轴向和z

轴向的单位向量在坐标系{A}中，空间任意一点P

的位置可表示为由其坐标构成的31向量表示A

|

|

3P

=

|py

|

=|Lpz

」|xx即：OAP

=X八A

A

Z八A

AP2.2

点和刚体的描述「p

]OPA2.2.2

刚体的位置和姿态描述设{B}是某物体的一个联体坐标系，即该物体上的任何一个点在{B}中

的位置已知且始终不变{B}的原点为OB，3个轴分别用X八B

、

B

和Z八B

表示X八BAO在{A}中表示出{B}的位置和姿态，即描述了该物体在{A}中的位置和姿态在{A}中表示出{B}的位置：AOB

3即OA

OB

=X八A

A

Z八A

AOB2.2

点和刚体的描述X八OAZ八Y八Y八OAAABBBX八OX八AOBZ八Z八AZ八]

AR「r13

]Z八A

r23

|Lr33」|Z八=「X八B

L

AA

「r12

]Z八A

r22

|Lr32」|

=「X八B

L

AA

X八=「X八A「r11

]Z八A

r21

|Lr31」|在{A}中表示出{B}的姿态：

X八B

B

Z八B

=X八A

A「r11

r12

r13

]|||Lr31

r32

r33」|2.2

点和刚体的描述旋转矩阵

R

=

|r21

r22

r23

|BAB

L

AA

」B

X八Y八BY八BY八OAAABBBB任何一个旋转矩阵(对应于刚体的一个姿态)都属于SO(3)SO(3)的任何一个元素都是旋转矩阵SO(3)是全体旋转矩阵的集合刚体的不同姿态与SO(3)中的不同旋转矩阵是一一对应的r11

r11

r12

r12

r11

r12

r11

r12

r13

=

1,

=

1,

=

0,

人

=

JTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT33r3r222r3r211r3r222r3r211r3r222r3r222r3r211r3r211r3r22.2

点和刚体的描述定义集合(「r11

r12

r13

]||

|SO(3)

=〈

|r21

r22

r23

|

=|Lr31

r32

r33

」|l|3人3对于SO(3)中的任何一个矩阵R

=

Rx

Ry

Rz

有R

Rx

=1,R

Ry

=1,R

Rz

=1RT

R

=RT

R

=RT

R

=0x

y

x

z

y

z于是zTyTxTR

Rz

]「1RT

R

|

|0R

Rz

」||L0zTxT对于任何R=SO(3)，R可逆且

R−1

=RT2.2

点和刚体的描述「RT

R||LR

RxzT「RT

]|

x

||LR

」|zTRT

R

=

|R

|

RxyTRTRx

yR

T

Ry

yRTRz

yRz

=

|R

RxyTy

z

|=

|0

|

1」|0]|010Ryx

x2.2.3

齐次变换矩阵在{A}中表示{B}的位姿

(描述物体在{A}中的位姿)

:齐次变换矩阵

T

=

从

4人4定义集合BA

B

|

R

从SO(3),AOB

从BA刚体的不同位姿与SE(3)中的不同齐次变换矩阵是一一对应的2.2

点和刚体的描述(|「AR

SE(3)=〈|

B|l|L0

0

03

)|J|AO

]1

」|卜R

Rx

=1,R

Ry

=1,R

Rz

=1RTR

=RTR

=RTR

=0x

y

x

z

y

z「RT

]「RTR

RTR

RTR

]「1

0

0]于是，

RTR

=

R

Rx

Ry

Rz

=

R

R

R

R

R

R

0

1

0

|LR

」|

|LR

Rx

R

Ry

R

Rz

」||L001」|对于任何R=SO(3)，R可逆且

R−1

=RT⚫

R

与

R

的关系X八B

B

Z八B

=X八A

A

Z八A

R

X八A

A

Z八A

=

X八B

B

Z八B

RA

B

BABBAABBAzTzTzTzTyTxyyyTxxxyTxyTxzTyTxT⚫

对于SO(3)中的任何一个矩阵

R

=

Rx2.3

两个坐标系的几何关系2.3.1

两个坐标系的相对姿态B

R

=

AR

−1

=

ARTRz

，有Ry⚫

AOB

与B

OA

的关系OA

OB

=X八A

A

Z八A

AOBOB

OA

=

X八B

B

Z八B

B

OA−X八A

A

Z八A

AOB

=X八B

B

Z八B

B

OA

−X八B

B

Z八B

R

AOB

=X八B

B

Z八B

B

OAABOAOAORGO2.3

两个坐标系的几何关系2.3.2

两个坐标系的相对位置B

OA

=−R

AOBABB

PB

OAABBOAOAORGOA

B

「

R

OB

]「

R

−

R

OB

]

|L0001」||L0001」|「

R

R

−

R

R

OB

+

OB

]=

|

|=I|L0

0

0

1

」|AAAAAAAAAAABBAABBAB

AB

AB

AB

AB

AB

AAAAAAAAAAAAAAABABBA⚫

T

与

T

的关系「AR

AO

]AT

=|

B

B

|

|L0001

」|BBABBA「B

R

T

=

ABB

OA

]|1

」|「=

||L0B

R002.3

两个坐标系的几何关系2.3.3

两个坐标系的相对位姿T

T

=

||||B

OA

=−R

AOBABA

B

BB

R

=

AR

−1

=

ART−R

AOB

]ABA

BB

T

=

AT

−1B

PB

OA|

」|1AABB⚫

对于任何

T

=

=SE(3)

，T可逆且T

−1

−R

O

|L0

0

0

1

」|「11

0

1]A

|

0

0

1

0

|

B例：已知

BT

=

|

|

，试求

AT「101

−1]解：

A

T

A

T

A

||AT

=

0

0

0

1

=

0

1

0

0

|L

0

0

0

1

」|TTB

「

B

R

−

B

R

OB

]

|10−12−1||1

2

−1

2

0

0

|

|L

0

0

01」|2.3

两个坐标系的几何关系||B

PAPOAOO2.3.4

同一个点在两个参考系中的描述⚫齐次变换矩阵

T

=

以及B

P

均已知，求APBA

A

Z八A

AP

AP

=

AOB

+B

P

OA

OB

=X八A

A

Z八A

AOB

OB

P

=X八B

B

Z八B

BP「X八

A

Z八A

AP

=X八A=「X八

A

Z八A

AOB

+X八B

A

Z八A

AOB

+X八ABA「

AP]

「

R

1

=

00

0L|BAAO

]「B

P]

「

B

P]1

1

=

T

1

BBL|BAL|2.3

两个坐标系的几何关系

B

Z八B

=X八A

A

Z八A

RBAZ八]BPZ八]AR

BPAP

=AOB

+R

B

PBAO

P

=「X八B

」A

」BA

L

AX八BLALA

PABB对于n个坐标系{1},{2},‧‧‧,{n}，它们的相对姿态有链乘法则1R

=

1R

2R

n−1Rn

23

n2.3.5

坐标系变换的链乘法则⚫

R

、R

和

R

的关系CABACB2.3

两个坐标系的几何关系Z八B

=X八AZ八C

=X八AZ八]

ARZ八]

ARZ八]

BRX八BX八CZ八C

=X八AZ八C

=

X八BA

」BA

」C

Z八]

AR

BRA

A

」B

CBAAC

B

CAR

=

AR

B

RCBC

X八CX八CB

」C

C

⚫

T

、T

和

T

的关系T

=

0

0

C

T

=

0

0

「AR

AO

]「B

R

B

O

]AT

B

T

=|

B

B

|

|

C

C

|「

R

R

R

OC

+

OB

]=|||L0

0

0

1

」|「AR

AO

]=|

C

C

|=ATBBBBBBBAABBACBBABBBBBBBBBBBABAB1O0BARBA1O0CBRCBCABACB对于n个坐标系{1},{2},‧‧‧,{n}，它们的相对位姿有链乘法则「

ART

=

CA2.3

两个坐标系的几何关系

|L0001」||L0001」|B

CB

CB

CB

CB

CB

C|L0001」|

CCAP

=AOB

+R

B

PBAAOC

]|1

」|1T

=

1T

2Tn2

3B

C

CAR

B

R

=

ARB

C

CAT

B

T

=

ATn−1Tn⚫

例：已知操作臂指端的坐标系{T}相对于

操作臂基座{B}的位姿

T，又已知工作台

坐标系{S}相对操作臂基座{B}的位置姿态

T，并且已知工作台上螺栓的坐标系{G}相对工作台坐标系的位姿

T，求螺栓相

对操作手的位姿即

TGTGSSBTB2.3

两个坐标系的几何关系G

T

S

GT

T

=

B

T

−1

BT

S

TT

S

G

TB

T

=

BT

S

T

G

T9个矩阵元素有6个约束：r1

++r3

=

1r1

++r3

=1r11r12

+r21r22

+r31r32

=0r13

=

r21r32

−

r31r22r23

=

r31r12

−

r11r32331122211222r2222212r21212r11

r11

r12

r12

r11

r12

r11

r12

r13

=

1,

=

1,

=

0,

根

=

JTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT33r3r222r3r211r3r222r3r211r3r222r3r222r3r211r3r211r3r2(wx

=py

qz

−pz

qy|〈

wy

=

pz

qx

−

px

qz

|lwz

=

px

qy

−

py

qx「wx

]「px

]「qx

]|wy

|

=

|py

|

根

|qy

||Lwz

」||Lpz

」||Lqz

」||||||

|2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示⚫旋转矩阵的自由度

11||SO(3)=〈

r21r

=r

r

−r

rr13

]|r33

」|r23

|

=l|Lr31122232(「rrrr3根32.4.1

基本旋转矩阵⚫用右手定则确定旋转正方向旋转正方向绕

A轴旋转正方向旋转轴绕Z八A轴旋转正方向偏摆(yaw

)2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示绕X八A轴旋转正方向俯仰(pitch)横滚(roll)2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示⚫飞机常用的联体坐标系⚫初始的{B}与{A}重合，{B}绕X八A

旋转θ角，求旋转后的R绕x轴旋转θBAX八=「X八A「1]Z八

]|0

||L0」|「

0

]

=「X八「1AR

|0|L00cos9

sin90]−sin9

cos9」|2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示「0

]

A

Z八A

cos9

|Lsin9」|

A

Z八A

−sin9

|Lcos9」|=

Rx

(9)

基本旋转矩阵Z八cos9sin9Acos9

Z八=「X八X八X八B

L

AB

L

AB

L

AB

=

|A

」|

|−sin9A

,

BZ八B

99

AB如：R

=Rz

(9)表示{B}的姿态是相对{A}绕Z八A轴旋转9「cos90sin9]「c9

0s9]绕y轴旋转θ

Ry

(9)

=

|

0

1

0

|

=

|

0

1

0

||L−sin90cos9」||L−s9

0c9」|如：R

=Ry

(9)表示{B}的姿态是相对{A}绕A轴旋转9BABA2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示如：R

=Rx

(9)表示{B}的姿态是相对{A}绕X八A轴旋转9BA「cos9Rz

(9)=sin9

|L

00]

「1||cos9」||L0「1Rx

(9)=0

|L0|||

|0]「c9||1」||L

0−sin9cos900]−s9

c9」|0cos9

sin9绕x轴旋转θ绕z轴旋转θ−sin9|=

|0−s9c900

|

=

|s90c9

s90]|0

|

1」|「r11

]

「0.866]「r12

]「−0.500]「r13

]「0.000]

「10.0]r21

=

0.500

r

0.866r

0.000

OB

=

5.0

|Lr31」|

|L0.000」||Lr32」||L0.000」||Lr33」||L1.000」|

|L0.0

」|「0.866

−

0.500

0.000

10.0]AT

=

0.500

0.866

0.000

5.0

0.000

0.000

1.000

0.0

L

0

0

0

1

」

sin30。=

0.500

|

|L

1

」BBAA「9.098]

=

T

=

AAAAAAAAAAAAB866866.cos30。=0cos30。=0cos30。=0cos30。=0cos30。=0BA1PBA1P⚫

例：坐标系{B}相对坐标系{A}绕Z八A轴旋转30度，沿X八A平移10个单位，沿

A平移5个单位。已知BP

=[3.07.00.0]T

，求AP2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示2.4.2

姿态的欧拉角表示设{A}的X八A和

A

在水平面上，Z八A

垂直于水平面并指向下方以飞机为例

(其联体坐标系{G}的X八G

轴方向为机身向前方向、

G

轴方向为右机翼向右方向)

如何将飞机一个任意初始姿态

({G(t0

)}={D})

旋转为基准姿态

({G(tf

)}={A})

？可分3步，设t0

<t1

<t2

<

tf第1步(t0

,t1)：飞机{G}绕{D}的X八D

旋转-

角，

以使左右机翼高度相等，{G(t1)}={C}第2步(t1,t2

)：飞机{G}绕{C}的

C

旋转-

角，

以使机头机尾高度相等，{G(t2

)}={B}第3步(t2

,tf

)：飞机{G}绕{B}的Z八B

旋转-

角，

以使{G(tf

)}={A}飞机如何从基准姿态{A}旋转为姿态{D}？第1步：{G}绕Z八A

旋转

角到{B}，即

R

=Rz

()第2步：{G}绕

B

旋转

角到{C}，即

R

=Ry

()第3步：{G}绕X八C

旋转

角到{D}，即

R

=Rx

()DCCBBA2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示「cosaRZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)=

sina|L

0−sinacosa00]「cosb||0

|

|

0

1」||L−sinbZ-Y-X欧拉角：

R

=R

R

R

=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(Y)物体的姿态由3个独立的角度a

、b

和Y

来确定DCCBBADA「cosacos

b

cosasin

bsin

Y

−sin

acosY=|

sinacos

b

sinasin

bsin

Y

+cosacos

Y|L−sin

b

cosbsinY2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示0sinb]「1||1

0

|

|00cosb」||L00cosY

sin

Y0]−sinY

cos

Y

」|cosasin

bcos

Y

+sin

asin

Y]sin

asin

bcos

Y

−

cosasinYcos

bcos

Y

」|同理，还存在X-Y-Z

欧拉角、X-Z-Y

欧拉角、Y-X-Z

欧拉角、Y-Z-X

欧拉角和Z-X-Y

欧拉角任何R

=SO(3)可用RZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)表示出来任何RZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)=

SO(3)|还有其它形式的欧拉角吗？将飞机从一个任意初始姿态

({G(t0

)}={D})

旋转为基准姿态

({G(tf

)}={A})

第1步(t0

,t1)：飞机{G}绕{D}的X八D

旋转-

角，

以使左右机翼高度相等，{G(t1)}={C}第2步(t1,t2

)：飞机{G}绕{C}的

C

旋转-

角，

以使机头机尾高度相等，{G(t2

)}={B}第3步(t2

,tf

)：飞机{G}绕{B}的Z八B

旋转-a

角，

以使{G(tf

)}={A}2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示还有其它形式的欧拉角吗？在第1步中，{G}绕{D}的Z八D

旋转一个合适的角度，也能使左右机翼高度相等，{G(t1)}={C

}第2步：{G}绕{C

}的

C

旋转一个合适的角度，

以使机头机尾高度相等，{G(t2

)}={B

}第3步：{G}绕{B

}的Z八B

旋转一个合适的角度，

以使{G(tf

)}={A}2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示还有其它形式的欧拉角吗？任何R

从SO(3)可用RZ

'Y

'Z

'

(a,b,y)表示出来任何RZ

'Y

'Z

'

(a,b,y)从SO(3)同理，还存在X-Y-X欧拉角、X-Z-X欧拉角、Y-X-Y欧拉角、Y-Z-Y欧拉角和Z-X-Z欧拉角有12种欧拉角表示法「cosa

−sinaRZ

'Y

'Z

'

(a,b,y)=sina

cosa|L

0

0「cosacos

bcosy

−sinasin

y=sinacos

bcosy+cosasin

y|L

−sinbcosy0]「cosb0sinb]「cosy||||1」||L−sin

b

0cos

b」|

|L0−cosacos

bsin

y

−sin

acos

y−sin

acos

bsin

y

+

cosacosysin

bsinyZ-Y-Z欧拉角：

R

=R

，R

，R

=Rz

(a)Ry

(b)Rz

(y)物体的姿态由3个独立的角度a

、b

和y

来确定DCC，BB，ADA2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示−sin

y

0]|0

1」|cosasin

b]sinasin

bcos

b

」|0

|

|

0

1

0

|

|

sin

ycos

y

0

|2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示2.4.3

姿态的固定角表示视频展示：按腰-肩-肘的顺序旋转2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示视频展示：按肘

−肩-腰的顺序旋转任何R

从SO(3)可用RXYZ

(y,b,a)表示出来任何RXYZ

(y,b,a)从SO(3)三次绕固定轴旋转的最终姿态和以相反顺序三次绕运动坐标轴旋转的最终姿态相同同理，还存在Z-Y-X固定角、Y-Z-X固定角、Z-X-Y固定角、X-Z-Y固定角和Y-X-Z固定角、Z-Y-Z固定角、X-Y-X固定角、X-Z-X固定角、Y-X-Y固定角、Y-Z-Y固定角和Z-X-Z固定角X-Y-Z固定角：飞机如何从基准姿态{A}旋转为姿态{D}？

第1步：{G}绕X八A

旋转y角到{B，，}，即B

R

=Rx

(y)第2步：{G}绕

A

旋转b

角到{C，，}，即C

R

=Ry

(b)Rx

(y)第3步：{G}绕Z八A

旋转a角到{D}，即

R

=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(y)DA，，A，，A「cosaRXYZ

(y,b,a)=sina|L

0−sinacosa00]「cosb0||0

|

|

0

11」||L−sinb0「cosacosbcosasinbsiny−sinacos

y=|

sinacosb−sinasinbsiny+cosacos

y|L−sin

b

cos

bsin

y2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示cosasinbcosy+sinasin

y

]−sinasinbcosy−cosasin

ycos

bcos

y

」|sinb]「1||0

|

|0

cos

b」||L00cosy

siny0]−siny

cosy」||教材附录B罗列了24种角坐标系的旋转矩阵定义，即12种欧拉角表示法和12种固定角表示法根据所研究问题的具体特点，选择1个合适的欧拉角或固定角表示法，往往可以给姿态处理带来方便任何姿态都可由3个基本旋转操作的相乘来表示，如：R

=Rz

(a)Ry

()Rx

()矩阵乘法不满足交换律，如：Rz

(a)Ry

()Rx

()Ry

()Rz

(a)Rx

()欧拉角表示法与固定角表示法的对偶性源自操作顺序从左到右的顺序

(右乘)

：先操作Rz

(a)，再操作Ry

()，最后操作Rx

()

则

R

=Rz

(a)Ry

()Rx

()由Z-Y-X欧拉角表示，操作是相对于联体坐标系的从右到左的顺序

(左乘)

：先操作Rx

()，再操作Ry

()，最后操作Rz

(a)则

R

=Rz

(a)Ry

()Rx

()由X-Y-Z固定角表示，操作是相对于固定坐标系

(基础坐标系)

的DADADA2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示右乘联体左乘基xθy9=Arctan(x)=Atan(x)定义域：R值域：(−/2,/2)9=Atan2(y,x)定义域：R2

(0,0)

值域：(−,]2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示2.4.4

欧拉角表示和固定角表示的一个缺点两种反正切函数已知R

=SO(3)，求a,b,y

=(−T,T]使得R

=RZ

'Y

'X

'

(a,b,y)命题：Rz

(土T+

a)Ry

(土T−b)Rx

(土T+y)=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(y)证明：Rz

(土T+a)Ry

(土T−b)Rx

(土T+y)「cos(土T+a)−sin(土T+a)0]「cos(土T−b)0sin(土T−b)]「100]||||||=

|

sin(土T+

a)

cos(土T+

a)

0

|

|

0

1

0

|

|0

cos(土T+

y)

−sin(土T+

y)

|

|L

001」||L−sin(土T−b)0cos(土T−b)」||L0sin(土T+y)cos(土T+y)」|2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示0]「−cos

b

0sin

b

]「1||||0

|

|

0

1

0

|

|01」||L−sin

b

0−cos

b」||L00]「−cosb

||0

|

|

01」||L−sin

bsin

b

]「1||0

|

|0

−cos

b」||L0「−cosa|=

|

−sina|L

0「cosa|=

|

sina|L

00]|sin

y

|

−cosy」|0

]|−sin

y

|

cos

y」|sina−

cosa00]「−1

||0

|

|

01」||L

00−cosy−siny0]「1||0

|

|0

−1」|

|L0−sinacosa0=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(y)0cosy

siny0−100−10010命题：对于任何(a,b,Y)=(−T,T]根根(−T,T]，有Rz

(g(a))Ry

(f(b))Rx

(g(Y))=Rz

(a)Ry

(b)Rx

(Y)且(g(a),f(b),

g(Y))=(−T,T]根[−T2,T2]根(−T,T]一个姿态若能被一组俯仰角绝对值大于90°的Z-Y-X欧拉角或X-Y-Z固定角描述，那么也能被另一组俯仰角绝对值不大于90°的Z-Y-X欧拉角或X-Y-Z固定角描述因此可规定(a,b,Y)=(−T,T]根[−T

2,T

2]根

(−T,T]命题：Rz

(土T+a)Ry

(土T−b)Rx

(土T+Y)=

Rz

(a)Ry

(b)Rx

(Y)记集合=(−T,−T

2)(T2,T](|−T

−bg:(−T,T]→(−T,T],g(a)=〈

,2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示whenb

=(−T,−T

2)

when

b=(T2,T]when

a

=(−T,0]whena=(0,T]令函数f:→[−T

2,T

2],f(b)=〈

,|l

T

−

b,(|T

+a|l−T

+a,cos

b

>

0

cos

b

=

b=Atan2(

−r31

,)若cos

b

>0a

=Atan2(r21

,r11

)Y

=

Atan2(r32

,r33

)2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示只能得到一个关于α与γ之差的结果a

−

Y

=

Atan2

(r23

,

r22

)对应这种姿态的Z-Y-X欧拉角或X-Y-Z固定角不唯一cosasin

bcosY

+sinasin

Y

]−sin

asin

bcos

Y−cosasinYcos

bcos

Y

」|「cosacos

bRZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)=sinacos

b|L−sin

bcosasin

bsin

Y

−

sinacosY−sinasinbsinY+cosacos

Ycos

bsin

Y已知R

=SO(3)，求(a,b,Y)=(−","]〉[−"2,"2]〉(−","]使得R

=RZ

'Y

'X

'

(a,b,Y)cosacosY

+sinasin

Y]「

0||sinacosY

−

cosasin

Y

|

=

|

00

」||L−1−sin(a

−Y)cos(a

−

Y)]|cos(a

−Y)sin(a

−Y)

|0

0

」|cosasin

Y

−

sinacosYsinasin

Y

+

cosacosY0「0b

=时0

|L−1r13

]「0||r23|

=

|

00」||L−1a+Y=Atan2(−r23

,r22

)b

=

−

"

时若cos

b

=0:12220rr22.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示某些情形下，同一姿态可以用无穷组欧拉角(固定角)表示视频展示：肩关节旋转−22.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示某些情形下，同一姿态可以用无穷组欧拉角(固定角)表示视频展示：肩关节旋转

2其他非对称型欧拉角和非对称型固定角类似可证Rz

(a)Rx

()Ry

(),Ry

(a)Rx

()Rz

(),Ry

(a)Rz

()Rx

(),Rx

(a)Rz

()Ry

(),Rx

(a)Ry

()Rz

(

)的β角度范围均可限为[–π/2,π/2]；当–π/2<β<π/2时，类似可得求取唯一欧拉角或固定角的公式；若β等于–π/2或π/2，有无穷组欧拉角解和固定角解，只能确定α+γ或α–γ的值，相应的公式可类似导出2.4

姿态的欧拉角表示和固定角表示对称型欧拉角和对称型固定角类似可证Rz

(a)Rx

()Rz

(),Ry

(a)Rx

()Ry

(),Ry

(a)Rz

(

)Ry

(),Rx

(a