2023版人教版初中数学同步讲义练习8年级下册第十七章 勾股定理 专题17.2 勾股定理的逆定理（教师版）

2023版人教版初中数学同步讲义练习八年级下册

专题17.2勾股定理的逆定理1、熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题。2、理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数。3、熟练掌握分类讨论的数学思想。知识点01勾股定理的逆定理【知识点】1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。根据勾股定理b2－x2=c2－（a±x）2将a2+b2=c2代入得±2ax=0∴x=0∴点D与点C重合∴AC⊥CB∴△ABC为直角三角形注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形。1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.【知识拓展1】直角三角形的判定例1．（2022·安徽芜湖·八年级期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项．【详解】解：A选项中，∵c2＝a2﹣b2，∴b2+c2＝a2，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B选项中，∵设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，∴∠C＝5×15°＝75°，∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；C选项中，∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；D选项中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键．【即学即练1】1．（2022·广西贵港·八年级期末）下列条件：①；②，，；③；④．其中能判定是直角三角形的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】①，，能判定是直角三角形；②，∴，能判定是直角三角形；③，，，能判定是直角三角形；④，，，能判定是直角三角形；综上所述，能判定是直角三角形的有4个．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了三角形内角和定理．【知识拓展2】勾股定理的逆定理的应用（1）面积问题例2．（2022·陕西八年级期末）为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在中，，E是上的一点，，，．（1）判断的形状，并说明理由．（2）求线段的长．【答案】（1）是直角三角形；理由见解析；（2）线段的长为16.9．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；（2）设，则，由勾股定理列得，代入数值得，计算即可．【详解】解：（1）是直角三角形．理由：∵，∴，∴，∴，∴是直角三角形．（2）设，则，由（1）可知是直角三角形，∴，∴，解得，∴线段的长为16.9．【点睛】此题考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的运算及应用是解题的关键．【即学即练2】1．（2022·天津八年级期中）如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．【详解】解：连接AC，∵∴AC=5cm，∵CD=12cm，DA=13cm，∴△ADC为直角三角形，∴故四边形ABCD的面积为24cm2．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键．2．（2022·山东聊城·八年级期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？【答案】绿化这片空地共需花费17100元【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．【详解】解：连接AC，如图∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2），∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：绿化这片空地共需花费17100元．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．【知识拓展3】勾股定理的逆定理的应用（2）例3．（2022·江苏八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有小时．【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析；（2）7．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用等面积法得出CD的长，从而可得海港C是否受台风影响；（2）根据勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）海港C受台风影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC•BC＝CD•AB∴CD＝240（km）∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受到台风影响．（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，∵ED＝＝70（km）∴EF＝140km∵台风的速度为20km/h，∴140÷20＝7（小时）即台风影响该海港持续的时间为7小时．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，解答此类题目的关键掌握勾股定理及其逆定理并构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．【即学即练】1．（2022·重庆·八年级期中）如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．【答案】南偏东30°，理由见解析．【分析】由题意得：OA2＋OB2＝AB2，由勾股定理的逆定理得出△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，求出∠DOB＝30°，即可得出答案．【详解】解：“长峰”号航行的方向是南偏东30°．理由是：由题意得：OA=12，OB=16，AB=20，∵122+162=202，∴OA2+OB2=AB2．∴△OAB是直角三角形，∴∠AOB=90°．∵∠COA=60°，∴∠DOB=180°﹣90°﹣60°=30°，∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°．【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理及方向角的理解与运用，利用勾股定理的逆定理得出△OAB为直角三角形是解题的关键．2．（2022·湖北八年级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄河边原有两个取水点其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米．（1）问是否为从村庄到河边的最近路．请通过计算加以说明；（2）求新路比原路少多少千米．【答案】(1)是，理由见解析；(2)0.05千米【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；(2)在△ACH中根据勾股定理解答即可．【详解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．【知识拓展4】网格中的勾股定理例4．（2022·山西初二期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点在小正方形的格点上，连接，则________．【答案】45【分析】连接利用勾股定理求解证明为等腰直角三角形，从而可得答案．【解析】解：如图，连接由勾股定理得：为等腰直角三角形，故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．【即学即练】1．（2022·山东邹城初二期末）如图，在正方形网格中，每一个小方格的顶点叫做格点．(1)在图1中的正方形网格中，取A，B，C三个格点，连接AB，BC，CA，得到△ABC，求证：△ABC为直角三角形；

(2)按下列要求画图：在图2和图3的两个正方形网格中，分别取三个格点，连结这三个格点，使之构成直角三角形，且图1、图2、图3中的三个三角形互不全等．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）通过格点图，利用勾股定理分别计算出线段AB，BC，AC的长度，再通过勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形；（2）同（1）的方法，构造三条线段，使它们满足勾股定理的逆定理，从而围成直角三角形．【解析】（1）由图1可知：，，，∵，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°；（2）如图2，，，，∵，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°；如图3，AB=3，BC=4，，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°；【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理在格点图中的应用，结合格点图形，发散思维，运用勾股定理及其逆定理进行构造是解题的关键．2．（2022·浙江温岭）如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点（1）AB2＝．BC2＝．AC2＝．（2）∠ABC＝°（3）在格点上存在点P，使∠APC＝90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P2……表示）【答案】（1）（2）（3）见解析．【分析】（1）根据勾股定理分别计算出，即可求解；（2）根据（1）中的计算结果，根据勾股定理的逆定理即可求解；（3）根据勾股定理的逆定理找到满足∠APC=90°的格点P即可求解．【解析】解：（1）故答案为：．（2）∴∠ABC=90°．故答案为：（3）如上图所示：【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．知识点02勾股数【知识点】1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数2）常见的勾股数有：=1\*GB3①3，4，5；=2\*GB3②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……注意：这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如：3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数。在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。【知识拓展1】勾股数例1．（2022·江苏邗江·八年级期中）下列各组数是勾股数的是（）A．12、15、18 B．0.3、0.4、0.5 C．12、16、20 D．1.5、3、2.5【答案】C【分析】根据勾股定理逆定理与勾股数为正整数的特征对各选项进行一一判定即可．【详解】解：∵122+152=144+225=369≠182，故选项A不是勾股数；∵0.3、0.4、0.5不是整数，故选项B不是勾股数；∵122+162=144+256=400=202，故选项C是勾股数；∵1.5、3、2.5不是整数，故选项D不是勾股数；故选C．【点睛】本题考查勾股数，掌握勾股数是正整数，勾股定理逆定理是解题关键．【即学即练1】1．（2022·湖北八年级期末）下列四组数据中，不是勾股数的是（）A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41【答案】B【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】A、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；B、42+72≠92，不能构成直角三角形，不是勾股数，符合题意；C、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意；D、92+402＝412，能构成直角三角形，是正整数，是勾股数，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了勾股数的定义，勾股定理，理解勾股数的定义是解题的关键．【知识拓展2】勾股数的相关运用例2．（2022·北京初二期中）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（）A．47 B．62 C．79 D．98【答案】C【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值.【解析】解：由题可得：……当故选C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.【即学即练2】2．（2022·广西八年级期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（）A．16 B．17 C．25 D．64【答案】B【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案．【详解】解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A，∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，故A＝17，故选：B．【点睛】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由m生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同．【知识拓展3】分类讨论思想例3．（2022·湖南八年级期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．【答案】（1）是，理由见解析；（2）或【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，分两种情形①当MN为斜边时，依题意MN2＝AM2+NB2；②当BN为斜边时，依题意BN2＝AM2+MN2；分别列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）是．理由：，，，、、为边的三角形是一个直角三角形．故点、是线段的勾股分割点．（2）设，则，①当为最大线段时，依题意，即，解得；②当为最大线段时，依题意．即，解得综上所述的长为或．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，解题的关键是理解题意，分类讨论，熟练运用勾股定理逆定理列出方程．【即学即练3】1．（2022·老河口市第四中学初二月考）在中，，，.设为最长边.当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．（1）当三边分别为6、8、9时，为______三角形；当三边分别为6、8、11时，为______三角形．（2）猜想，当______时，为锐角三角形；当______时，为钝角三角形．（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．【答案】（1）锐角，钝角．（2），；（3）时，为钝角三角形【分析】(1)利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值,然后作出判断即可;(2)根据(1)中的计算作出判断即可;(3)根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值,然后得到c的取值范围,然后分情况讨论即可得.【解析】（1）锐角，钝角．（2），．（3）为最长边，．当，，即时，为锐角三角形；当，，即时，为直角三角形；当，，即时，为钝角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理,勾股定理逆定理,读懂题目信息,理解理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键.题组A基础过关练1．（2022·贵州遵义市·八年级期末）下列三个数中，能组成一组勾股数的是（）A．，， B．32，42，52 C．，， D．12，15，9【答案】D【分析】勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．【详解】解：A、，故此选项错误；B、，故此选项错误；C、，故此选项错误；D、，故此选项正确；故选D．【点睛】本题考查了勾股数的定义，注意：作为勾股数的三个数必须是正整数．2．（2022·河南初二期中）适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为①②，∠A=45°;③∠A=32°,∠B=58°；④⑤⑥⑦⑹A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：，故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x，b=4x，c=5x，可知a2+b2=c2，故⑥能够成直角三角形；根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a2=25，b2=144，c2=169，可知a2+b2=c2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.3．（2022·安徽八年级期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】B【分析】依据作图即可得到AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，进而得到AC2+BC2=AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【详解】解：如图所示，AC=AN=4，BC=BM=3，AB=2+2+1=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．（2022·湖北·荆州八年级期中）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A．2个 B．3个 C．4个 D．6个【答案】D【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有:C、D,E,H四个;当AB是直角边,A是直角顶点时,第三个顶点是F点;当AB是直角边,B是直角顶点时,第三个顶点是G.因而共有6个满足条件的顶点.故选D.5．（2022·山西灵石八年级期中）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互余B．三角形内角和等于180°C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【答案】D【分析】根据勾股定理逆定理解题．【详解】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．6．（2022·湖北八年级期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______的方向航行．【答案】北偏西40°【分析】分别求出PR和PQ，再利用勾股定理逆定理求出∠QPR=90°，最后求出∠NPR，即可完成求解．【详解】解：∵“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，∴，，∵两船相距30nmile，∴，∵，∴，∴∠QPR=90°，∵“远航”号沿北偏东50°方向，∴∠NPQ=50°，∴∠NPR=90°－50°=40°，∴“海天”号沿北偏西40°方向航行，故答案为：北偏西40°．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，解决本题的关键是求出PQ和PR，通过计算得到三角形的三边满足其中两边的平方之和等于第三边的平方，进而求出∠QPR，同时本题还需要学生理解方位角的概念，能正确的表述方位．7．（2022·江苏苏州中学八年级期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形．（1）求图中格点四边形ABCD的面积；（2）求四边形ABCD的周长；（3）求∠ADC的度数．【答案】（1）12.5；（2）；（3）90°【分析】（1）四边形ABCD的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积；（2）由勾股定理求出AD、AB、BC、CD，即可得出四边形ABCD的周长；（3）求出AD2+CD2=AC2，由勾股定理的逆定理即可求出结果．【详解】解：（1）根据题意得：四边形ABCD的面积=5×5-×3×3-×2×3-×2×4-×2×1=12.5；（2）由勾股定理得：AD=，AB=，BC=，CD=，∴四边形ABCD的周长==；（3）∵AD2+CD2=5+20=25，AC2=52=25，∴AD2+CD2=AC2，∴三角形ADC为直角三角形，∠ADC=90°．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四边形面积的计算；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．（2022·绥德县德群中学八年级期末）某中学、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．（1）求出四边形空地的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．【答案】（1）四边形空地的面积为234平方米；（2）学校共需投入28080元．【分析】（1）利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，再利用即可得出答案；（2）利用120乘以四边形的面积即可得出结论．【详解】解：（1）连接．在中，∵，，，∴（米）．在中，∵，，，∴．∴是直角三角形，且．∴平方米．∴四边形空地的面积为234平方米．（2）（元）．答：学校共需投入28080元．【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．题组B能力提升练1．（2022·成都市八年级期中）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【分析】这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，不妨把两地价格看为是两点间的距离，则由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一条直线上，利用勾股定理即可解出BD的长，即是B﹣D的机票价格．【解析】把两地价格看为是两点间的距离，则AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一条直线上，∴∠BCD是直角，∴BD=＝＝1500，即B﹣D的机票价格为1500元.故选B.【点睛】本题考查了两点间的距离、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB为直角是解题的关键.2．（2022·浙江绍兴·一模）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．【答案】8【分析】该题存在两种情况；（1）AB为斜边，则；（2）AB为直角边，或；【详解】（1）当AB为斜边时，点到直线的距离为，即AB边上的高为，符合要求的C点有4个，如图：（2）当AB为直角边时，或，符合条件的点有4个，如图；符合要求的C点有8个；故答案是8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析判断是解题的关键．3．（2022·四川广元·八年级期末）如图，四边形是我县某校在校园一角开辟的一块四边形的“试验田”，经过测量得知．求四边形的面积．【答案】四边形ABCD的面积234m2．【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明△ADC为直角三角形，最后利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：连接AC，如图，在△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，，∴AC＝＝25（m）．在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．∴S△ADC＝×AD×DC＝×20×15＝150（m2），又∵S△ABC＝×AB×BC＝×24×7＝84（m2），∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），答：四边形ABCD的面积234m2．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式等，解题的关键是利用勾股定理的逆定理证明△ADC为直角三角形．4．（2022·江苏邳州·八年级期中）观察下列各组勾股数（1）3，4，5（2）5，12，13；（3）7，24，25：（4）9，40，41照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为___．【答案】【分析】观察数据，题中数据第二个数和第三个数是连续的，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第个为：，根据完全平方公式展开即可求得中间的数．【详解】解：观察数据可知，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第个为：，，，，……，则第组勾股数为设中间的数为，则第三个数为，即即中间的数为故答案为：【点睛】本题考查了数字类找规律，勾股数，整式的乘法运算，找到规律是解题的关键．5．（2022·河南内乡初二期中）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离.（结果保留整数）【答案】点C到AB的距离约为14cm.【分析】通过勾股定理的逆定理来判断三角形ABC的形状，从而再利用三角形ABC的面积反求点C到AB的距离即可.【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E,则CE的长即点C到AB的距离.在△ABC中，∵，，，∴，，∴，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB=90°∵，∴，即，∴CE=14.4≈14.答：点C到AB的距离约为14cm.【点睛】本题的解题关键是掌握勾股定理的逆定理，能通过三角形面积反求对应的边长.6．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【答案】（1）；（2）海里【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．【详解】解：（1）（海里），（海里），又AB=13海里所以，所以是直角三角形，所以由已知得，所以，所以甲的航向为北偏东，（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）乙甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：（海里）．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．7．（2022·锦江区八年级月考）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x2的值；（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，∴52+122=x2，∴x2=169，当12是斜边，则52+x2=122，解得：x2=119，故x2的值为169或119；（3）∵a=2，b=4，∴，∴，若△ABC是锐角三角形，则或，则或，∴或；若△ABC是直角三角形，则或，则或；若△ABC是钝角三角形，则或，则或，∴．【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．8．（2022·江西宜春·八年级期中）在学习了勾股定理后，数学兴使小组在江老师的引导下，利用正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：(1)在中，、、三边的长分别为、、，求的面积．如图1，在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），不需要求的高，借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．则的面积为___________．(2)在平面直角坐标系中，①若点A为，点B为，则线段的长为___________；②若点A为，点B为，则线段的长可表示为__________∶(3)在图2中运用构图法画出图形，比较大小：_______（填“>”或“<”）；(4)若三边的长分别为、、（，．且），请在如图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出，并求出它的面积（结果用m，n表示）．【答案】(1)(2)①5；②(3)<(4)【分析】（1）利用构图法求出的面积，即可求解；（2）①利用勾股定理，即可求解；②类比①的方法，即可求解；（3）构造出三边长分别为的三角形，即可求解；（4）先画出三边长分别为、、的，再利用构图法求解，即可求解．(1)解：的面积为；故答案为：(2)解：①；故答案为：5；②线段的长可表示为；故答案为：(3)解：如图，根据题意得：，，，∴，∵，∴；故答案为：<(4)解：解：如图，，，，【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考常见题，题组C培优拔尖练1．（2022·江苏赣榆·八年级期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．【答案】150°【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．2．（2022·江苏常州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为___．【答案】10【分析】设与的交点为点，连接，先根据折叠的性质可得，再根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，周长最小，此时，然后根据勾股定理的逆定理得出，最后设，从而可得，在中，利用勾股定理即可得．【详解】解：如图，设与的交点为点，连接，由折叠的性质得：，，周长=，要使周长最小，只需最小，由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，最小值为，此时，又，，是直角三角形，，，即，设，则，在中，，即，解得，即当周长最小时，的长为10，故答案为：10．【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．3．（2022·合肥市八年级期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．【答案】3或2或．【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．【详解】解：作BF⊥AD于F，则四边形DEBF为矩形，∴BF=DE=4，DF=BE=1，∴AF=AD-DF=3，由勾股定理得，当△ABC为直角三角形时，即解得，CD=3，如图2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，当∠ACB=90°时，由勾股定理得，由得：解得：同理可得：当∠ABC=90°时，综上：的长为：3或2或．故答案为：3或2或．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么4．（2022·全国·八年级专题练习）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．【探究1】（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则___也是一组勾股数；（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中，书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___．【探究2】观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股____；弦____；（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___；弦___；（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．_；请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_；和弦的长__．【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦【分析】探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）；（2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证；（3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数；探究2：（1）根据规律即求解；（2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝；（3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论．【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；·（2）证明：，，满足以上公式的是一组勾股数；（3）∵＝∴满足以上公式的是一组勾股数；当时，，∴构成一组勾股数．(答案不唯一）探究2：（1）依据规律可得，如果勾为，则股，弦，（2）如果勾用，且为奇数）表示时，则股，弦（3）①b＝80．②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，则另一条直角边弦【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足的三个正整数均为勾股数是解题的关键．5．（2022·河南郑州·八年级期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．【答案】（1）是，理由见解析；（2）4.2或5.8．【分析】（1）直接计算两条短边的平方和是否等于长边的平方即可；（2）分两种