第7章　第6讲　第1课时　空间的角和距离问题

第七章立体几何第六讲空间的角与距离知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究提能训练练案[45]知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝______(其中φ为异面直线a，b所成的角)．知识点二直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝______.知识点三求二面角的大小1．如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________.2．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝_________，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．知识点四利用空间向量求距离1．点到直线的距离若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．2．点到平面的距离3.线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．注意体积法在求点到平面距离时的应用．归

纳

拓

展双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(

)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(

)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(

)(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(

)××××题组二走进教材2．(选择性必修1P20例2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角是______.3．(选择性必修1P44T13)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为CD的中点，则点D1到平面AEC1的距离为______，AD1与平面AEC1所成角的余弦值为______.题组三走向高考4．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．[解析]

(1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；又因为DE，BE⊂平面BED，DE∩BE＝E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.第一课时空间的角和距离问题考点突破·互动探究空间的距离——师生共研1.(2024·湖南师大附中月考)△ABC的三个顶点分别是A(1,－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD长为______.52．(2024·河南摸底(节选))如图，已知正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面(经过旋转轴的截面)，点E在底面圆周上，AB＝5，AE＝4，点F是CE的中点．求点B到平面ACE的距离．解法二：体积法由解法一知AE⊥平面BCE，∴AE⊥CE，设点B到平面ACE的距离为d，解法三：向量法∵线段AB是圆O的直径，∴AE⊥BE，以点E为坐标原点，EB，EA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，3．(2024·湖湘名校联合体联考)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱DD1的中点为E，则平面EAC截正方体的外接球所得截面圆的面积为(

)C[引申]本例2中点C到平面ABF的距离为____________.名师点拨：1．向量法求点到直线距离的步骤(1)根据图形求出直线的单位方向向量v.2．求点到平面距离常用的方法(1)定义法：通过求点P到平面垂线段的长求得点到平面的距离，而找(或作)垂线段先要找(或作)过点P的已知平面的垂面，再找(或作)它们交线的垂线．(2)平行转移法：即通过线面平行或面面平行，转化为其他点到平面的距离．【变式训练】(2024·陕西商洛部分学校联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱A1C1，BC，AC的中点，∠ACB＝60°.(1)证明：平面ABD∥平面FEC1；(2)求点F到平面ABD的距离．空间的角——多维探究角度1异面直线所成的角A[引申]本例中若H为PC的中点，则BH与PA所成角的余弦值为______.名师点拨：1．求异面直线所成角的思路：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；2．两异面直线所成角的关注点：【变式训练】(2022·东北三省四市教研联合体模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O为底面ABCD的中心，M，N分别为棱A1D1，CC1的中点，则异面直线B1M与ON所成角的余弦值为(

)C角度2线面角[解析]

(1)证明：∵A1C⊥底面ABC，∴A1C⊥AC，A1C⊥BC.又∠ACB＝90°，∴A1C、AC、BC两两垂直，∴BC⊥平面ACC1A1.又BC⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ACC1A1.又A1到平面BCC1B1的距离为1，AA1∥CC1，∴A1到CC1的距离等于C到AA1的距离为1，∴作CH⊥AA1于H，则CH＝1.又AA1＝2，A1C⊥AC，∴A1A上的中线为1，∴H为AA1的中点，即CH垂直平分AA1，∴AC＝A1C.名师点拨：1．用定义法求线面角的步骤(1)用定义法或体积法求出斜线上一点到平面的距离h；2．用向量法求线面角的步骤【变式训练】(2023·福建莆田质检)在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是边长为8的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA＝14，则AB与平面PBC所成角的正弦值为(

)A角度3二面角[解析]

(1)证明：作PO⊥平面ABCD于O，∵PA＝PB＝PC，∴Rt△PAO≌Rt△PBO≌Rt△PCO，∴OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心，又AB⊥BC，∴O为AB的中点，∴PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD.(2)解法一：几何法取AB的中点E，连接DE，由AB＝2CD知O∈DE，取OD的中点H，连接QH，则QH∥PO，∴QH⊥平面ABCD，作HM⊥BC于M，解法二：向量法由AB＝BC，AB⊥BC，知OB⊥OC，∴OB、OC、OP两两垂直，如图建立空间直角坐标系名师点拨：求二面角的方法步骤1．法向量法(1)建坐标系，确定相关点的坐标，进而确定相关向量的坐标；(2)求法向量——求二面角两个面的法向量n1，n2；(4)下结论——结合图形确定cosθ(θ∈[0，π])或θ的值．2．找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．3.几何法——通过找二面角的平面角求解(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，如图(1)，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上任一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即为二面角的平面角，如图(2)，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法(三垂线定理法)：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线，从垂足出发向棱引垂线，利用三垂线定理即可找到所求二面角的平面角或其补角，如图(3)，∠ABO为二面角α－l－β的平面角．【变式训练】又∵B1M⊂平面AB1M，AM⊂平面AB1M，∴A1C1⊥平面AB1M，∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面AB1M.名师讲坛·素养提升立体几何中的动态问题立体几何中的动态问题是指点、线或面位置不确定的一类开放性试题，是高考命题的热点，常见题型有动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等，主要考查空间几何体的结构特征、线面的位置关系，常以选择题和填空题的形式出现，难度中等以上，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，动中窥静，静中见动，以静制动．求解动态范围的选择题、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围．对于探究存在问题或动态范围(最值)问题，用定性分析法，比较复杂时，可以建立空间直角坐标系，引进参数，把动态问题化归为静态问题，具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证．类型一动点问题1.(2024·福建宁德一中测试)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为(

)C[分析]

由D1O⊥OP知P在过O且垂直D1O的平面内，又P在平面BB1C1C内，故P的轨迹为线段，所以建系确定垂面与棱BB1、CC1的交点M，N，进而求C1到线段MN上点的距离最大值即可．2．(多选题)(2024·广东调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，N1为A1B1C1D1所在平面上一动点，且NN1⊥平面ABCD，则下列命题正确的是(

)ACD名师点拨：1．动态问题的一般解法2．立体几何中轨迹问题的解法(1)利用平行、垂直关系转化为面面交线，或把空间数量关系转化为某平面内的数量关系确定动点轨迹．(2)若动点与定点的连线与定直线所成角为定值，则动点形成圆锥侧面，可通过分析平面与圆锥母线及轴的位置关系确定动点在该平面内的轨迹．(3)建立直角坐标系，求得轨迹方程进行判断．类型二翻折问题(多选题)(2024·广东佛山S7联考)如图甲，在矩形ABCD