中考数学几何专项冲刺专题12几何变换之平移巩固练习（提优）含答案及解析

几何变换之平移巩固练习1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（1，3）．（1）请直接写出点A、B的坐标；（2）若把△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得△A′B′C′，画出△A′B′C′；（3）直接写出△A′B′C′各顶点的坐标；（4）求出△ABC的面积．2．三角形ABC在正方形网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图．（1）将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形A'B'C'，画出三角形A'B'C'．（2）连接AC'，BC'，则三角形ABC'的面积为．3．如图，△ABC向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1．已知A（2，1），B（5，3），C（3，4）．（1）直接写出△A1B1C1三个顶点的坐标；（2）求△ABC的面积．4．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A（0，a）、B（b，0）满足：|2a（1）求A、B两点的坐标；（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C（﹣2，t），若三角形ABC的面积为8，求点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；（2）求四边形AA'B'B的面积；（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．（1）写出C，D两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的图象经过点B，D及点（s，t），判断s+t与m+n是否相等，并说明理由．8．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ＝DP，求CE的长．9．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．（1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．10．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．11．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．12．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+b﹣2|+2a−b+5=0，现同时将点A，B分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点为C，（1）请直接写出A、B、C、D四点的坐标并在坐标系中画出点A、B、C、D，连接AC，BD，CD．（2）点E在坐标轴上，且S△BCE＝S四边形ABDC，求满足条件的点E的坐标．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在线段BD上移动时（不与B，D重合）证明：∠DCP+∠BOP∠CPO几何变换之平移巩固练习1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点C的坐标为（1，3）．（1）请直接写出点A、B的坐标；（2）若把△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得△A′B′C′，画出△A′B′C′；（3）直接写出△A′B′C′各顶点的坐标；（4）求出△ABC的面积．【分析】（1）根据A，B两点的位置写出坐标即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（3）根据点的位置写出坐标即可．（4）利用分割法求面积即可．【解答】解：（1）A（﹣1，﹣1），B（4，2）．（2）如图，△A′B′C′即为所求．（3）A′（1，2），B′（6，5），C′（3，6）．（4）S△ABC＝4×5−12×2×4−【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．2．三角形ABC在正方形网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图．（1）将三角形ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到三角形A'B'C'，画出三角形A'B'C'．（2）连接AC'，BC'，则三角形ABC'的面积为7.5．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）利用分割法求三角形的面积即可．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．（2）S△ABC′=1故答案为：7.5．【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．3．如图，△ABC向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1．已知A（2，1），B（5，3），C（3，4）．（1）直接写出△A1B1C1三个顶点的坐标；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）利用分割法求解即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，2），B1（2，4），C1（0，5）．（2）S△ABC＝3×3−12×1×2−12【点评】本题考查坐标与图形平移，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A（0，a）、B（b，0）满足：|2a（1）求A、B两点的坐标；（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C（﹣2，t），若三角形ABC的面积为8，求点D的坐标．【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；（2）如图中，设直线CD交y轴于E．首先求出点E的坐标，再求出直线CD的解析式以及点C坐标，利用平移的性质可得点D坐标．【解答】解：（1）∵|2a﹣b﹣1|+a+2b−8又∵：|2a﹣b﹣1|≥0，a+2b−∴2a−解得a=2b=3∴A（0，2），B（3，0）；（2）如图1中，设直线CD交y轴于E．∵CD∥AB，∴S△ACB＝S△ABE，∴12×AE×∴12×∴AE=16∴E（0，−10设直线AB的解析式为y＝kx+2，把B（3，0）坐标代入得k=∵直线AB的解析式为y=−2∴直线CD的解析式为y=−23把C（﹣2，t）代入y=−23x−∴C（﹣2，﹣2），将点C向下平移2个单位，向右平移3个单位得到点D，∴D（1，﹣4）．【点评】本题考查三角形综合题、非负数的性质、平行线的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．5．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，6），B（4，3），将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'交y轴于点C，BB'交x轴于点D．（1）线段A'B'可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出A'，B'的坐标；（2）求四边形AA'B'B的面积；（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究∠PCA′与∠A'DB'的数量关系，给出结论并说明理由．【分析】（1）利用平移变换的性质解决问题即可．（2）利用分割法确定四边形的面积即可．（3）分两种情形：点P在点C的上方，点P在点C的下方，分别求解即可．【解答】解：（1）∵点A（2，6），B（4，3），又∵将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，∴线段A′B′是由线段AB向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，∴A′（﹣2，0），B′（0，﹣3）．（2）S四边形ABB′A′＝6×9﹣2×12×（3）连接AD．∵B（4，3），B′（0，﹣3），∴BB′的中点坐标为（2，0）在x轴上，∴D（2，0）．∵A（2，6），∴AD∥y轴，同法可证C（0，3），∴OC＝OB′，∵A′O⊥CB′，∴A′C＝A′B′，同法可证，B′A′＝B′D，∴∠A′DB＝∠DA′B′，∠A′CB′＝∠A′B′C，当点P在点C的下方时，∵∠PCA′+∠A′CB′＝180°，∠A′B′C+∠DA′B′＝90°，∴∠PCA′+90°﹣∠A′DB′＝180°，∴∠PCA′﹣∠AD′B′＝90°，当点P在点C的上方时，∠P′C′A′+∠A′DB′＝90°．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面积，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（4，0），现将线段AB向右平移一个单位，向上平移4个单位，得到线段CD，点P是y轴上的动点，连接BP；（1）当点P在线段OC上时（如图一），判断∠CPB与∠PBA的数量关系；（2）当点P在OC所在的直线上时，连接DP（如图二），试判断∠DPB与∠CDP，∠PBA之间的数量关系，请直接写出结论．【分析】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）分三种情形：当点P在线段OC上时，当点P在线段OC的延长线上时，当点P在CO的延长线上时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图一中，结论：∠CPB＝90°+∠PBA．理由：∠CPB+∠APB＝180°，∠APB+∠PAB+∠PBA＝180°∴∠CPB＝∠POB+∠PBA，∠POB＝90°，∴∠CPB＝90°+∠PBA．（2）①如图二中，当点P在线段OC上时，结论：∠DPB＝∠CDP+∠PBA．理由：作PE∥CD．∵AB∥CD，PE∥CD，∴PE∥AB，∴∠CDP＝∠DPE，∠PBA＝∠EPB，∴∠DPB＝∠DPE+∠BPE＝∠CDP+∠PBA．②如图二①中，当点P在线段OC的延长线上时，结论：∠PBA＝∠PDC+∠DPB．理由：设BP交CD于T．∵CD∥OB，∴∠PTC＝∠PBA，∵∠PTC＝∠PDC+∠DPB，∴∠PBA＝∠PDC+∠DPB．③如图二②中，当点P在CO的延长线上时，结论：∠PDC＝∠PBA+∠DPB．理由：设PD交AB于T．∵CD∥OB，∴∠PDC＝∠PTA，∵∠PTA＝∠PDC+∠DPB，∴∠PDC＝∠PBA+∠DPB．综上所述，∠DPB＝∠CDP+∠PBA或∠PBA＝∠PDC+∠DPB或∠PDC＝∠PBA+∠DPB．【点评】本题考查平移变换，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．（1）写出C，D两点的坐标；（用含相关字母的代数式表示）（2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1．①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴；②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的图象经过点B，D及点（s，t），判断s+t与m+n是否相等，并说明理由．【分析】（1）根据平移规律解决问题即可．．（2）①证明A，D的纵坐标相等即可解决问题②如图，设AD交直线l于J，首先证明BJ＝DJ＝1，推出D（m+1，n﹣1），再证明p＝q，即可解决问题．【解答】解：（1）由题意，C（a+h，b﹣1），D（m+h，n﹣1）．（2）①∵b＝n﹣1，∴A（a，b），D（m+h，n﹣1），∴点A，D的纵坐标相等，∴AD⊥x轴，∵直线l⊥AD，∴直线l⊥x轴．②如图，设AD交直线l于J，∵DE的最小值为1，∴DJ＝1，∵BJ＝1，∴D（m+1，n﹣1）∴二元一次方程px+qy＝k（pq≠0）的图象经过点B，D，∴mp+nq＝k，（m+1）p+（n﹣1）q＝k，∴p﹣q＝0，∴p＝q，∴m+n=k∵tp+sp＝k，t+s=k∴m+n＝t+s．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣平移，二元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ＝DP，求CE的长．【分析】（1）利用平移的性质画出图形，再利用相似得出比例式，即可求出线段DP的长．（2）根据条件MQ＝DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决．【解答】解：（1）①如图1，补全图形：②连接AD，如图1．在Rt△ABN中，∵∠B＝90°，AB＝2，BN=1∴AN=1∵线段AN平移得到线段DM，∴DM＝AN=1由平移可得，AD＝NM=12，AD∥∴△ADP∽△CMP．∴DPMP∴DP=13DM（2）如图2，连接NQ，由平移知：AN∥DM，且AN＝DM．∵MQ＝DP，∴PQ＝DM．∴AN∥PQ，且AN＝PQ．∴四边形ANQP是平行四边形．∴NQ∥AP．∴∠BQN＝∠BAC＝45°．又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°，∴BN＝BQ．∵AN∥MQ，∴ABBQ又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝2，∴2NB∴NB=2∴ME＝BN=2∴CE=2【点评】本题考察的是等腰三角形的性质与相似三角形的综合应用，利用相似比求线段长是重难点，按题意画出图形是解决本题的关键．9．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．（1）求证：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．【分析】（1）过E作EF∥AB，可得∠A＝∠AEF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到EF与CD平行，再得到一对内错角相等，进而得出答案；（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．【解答】解：（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠CEN，∴∠AEC＝∠AEN+∠CEN＝∠BAH+∠ECD；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x，又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝90°，∴∠BAH＝∠EAH＝45°﹣x，如图2，过点H作l∥AB，易证∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝45°﹣x+x＝45°；②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，如图3，过点H作l∥AB，易证∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），∴∠AHF＝90°+12∠AEC．（或2∠AHF﹣∠【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质作出辅助线是解本题的关键．10．如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC＝50°，∠ADC＝30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）求∠AEC的度数；（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC＝50°，∠A1D1C＝30°，求∠A1EC的度数．（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠CAE以及∠ECA的度数，进而得出答案；（2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠CAE以及∠ECA的度数，进而得出答案；（3）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠1和∠2的度数，进而得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；（2）如图2所示：∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；（3）如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．【点评】此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质是解题关键．11．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠A＝112°，E，F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=12∠（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB＝∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC＝2∠OBC，从而得解；（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE＝∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣112°＝68°，∵OE平分∠COF，∴∠COE＝∠EOF，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB=12∠AOC（2）∠OBC：∠OFC的值不变．∵CB∥OA，∴∠AOB＝∠OBC，∵∠FOB＝∠AOB，∴∠FOB＝∠OBC，∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；（3）在△COE和△AOB中，∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，∴∠COE＝∠AOB，∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，∴∠COE=14∠