人教版八年级数学上册全等三角形《角的平分线的性质》教学课件

12.3角的平分线性质

人教版数学八年级上册第十二章

全等三角形挑战第一关情境引入问题1：在草稿纸上画一个角，你能用什么方法得到这个角的平分线？用量角器度量也可以用折纸的方法问题2：在生产生活中，这些方法可行吗？你能评价一下这两种方法吗？用平分角的仪器可以平分一个角。如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的原理吗?E平分角的仪器ADBCADBC其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等挑战第二关用直尺和圆规作一个角的平分线小组讨论：能否根据此仪器的原理找到用尺规作角的平分线的方法？ABCED线索一：把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=AD），怎样在画图在体现呢？线索二：仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现呢？MNBDCA已知:∠MAN求作：∠MAN的平分线.跟着老师操作

作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!作法：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于点B，交AN于点D.（2）分别以点B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.ABCED探究角平分线的性质二如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？PAOBCDE利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？角平分线的性质二动手操作如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）AOBCDEP验证结论已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO

≌△PEO(AAS)∴PD=PE

性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC挑战第三关巩固新知1：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.哪个学生的作法正确？同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．2.判一判：（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC(2)∵

如图，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC3.如图,

ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为

cm．若Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值是多少？4.如图,

ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE=

cm.Q5.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,AB=10,则点D到AB的距离是

.△ABD的面积是

。

ABCDE6．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15，AB＝9，BC＝6，则DE＝练一练7、已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE

≌Rt△CDF.练一练ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中BD=CDDE=DF∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL)∴EB=FC8.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？AOBMNP解：在△MOP和△NOP中，

OM=ON

OP=OP∴△MOP≌△NOP（HL）

∴∠MOP=∠NOP

即OP平分∠AOB.课堂小结角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段课后作业课本第50页1、2题习题12.31、2、3题教学阐释教学内容分析

角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法。角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法。

本节内容是全等三角形知识的运用和延续，用尺规作一个角的平分线的原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质。

角平分线的性质证明提供了使用角平分线的一种重要模式——利用角的平分线构造两个全等的直角三角形。教学目标1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法。2、探索并证明角的平分线的性质。 3、能利用角的平分线的性质解决简单问题。教学重点：角的平分线的性质的证明及应用教学难点：角平分线的性质的探究挑战第一关情境引入问题1：在草稿纸上画一个角，你能用什么方法得到这个角的平分线？用量角器度量也可以用折纸的方法问题2：在生产生活中，这些方法可行吗？你能评价一下这两种方法吗？用平分角的仪器可以平分一个角。如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的原理吗?E平分角的仪器ADBCADBC其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等挑战第二关用直尺和圆规作一个角的平分线小组讨论：能否根据此仪器的原理找到用尺规作角的平分线的方法？ABCED线索一：把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=AD），怎样在画图在体现呢？线索二：仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现呢？MNBDCA已知:∠MAN求作：∠MAN的平分线.跟着老师操作

作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!作法：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于点B，交AN于点D.（2）分别以点B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.ABCED探究角平分线的性质二如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？PAOBCDE利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？角平分线的性质二动手操作如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）AOBCDEP验证结论已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO

≌△PEO(AAS)∴PD=PE

性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.应用格式：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC挑战第三关巩固新知1：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.哪个学生的作法正确？同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．2.判一判：（1）∵如图，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC(2)∵

如图，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC3.如图,

ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为

cm．若Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值是多少？4.如图,