2025高考数学一轮复习-10.7-离散型随机变量及其分布列、数字特征-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-10.7-离散型随机变量及其分布列、数字特征-专项训练【A级基础巩固】1.已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②一名射击选手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射击选手在一次射击中的得分X;③一天内的温度X;④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是()A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④2.若随机变量X的分布列为X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是()A.(-∞,2] B.[1,2]C.(1,2] D.(1,2)3.随机变量Y的分布列如表,且E(Y)=3,则D(3Y-5)等于()Y02aP1m1A.10 B.15 C.40 D.454.一袋中装有5个球,编号分别为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3个,以ξ表示取出的三个球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为()A.ξ123P111B.ξ1234P1132C.ξ123P331D.ξ123P1335.已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响,经统计,甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如表所示,时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1某日工作单位接到一项任务,需要甲在30分钟内到达,乙在40分钟内到达,用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数,用频率估计概率,则X的数学期望和方差分别是()A.E(X)=1.5,D(X)=0.36B.E(X)=1.4,D(X)=0.36C.E(X)=1.5,D(X)=0.34D.E(X)=1.4,D(X)=0.346.已知离散型随机变量X的分布列如表所示.若E(X)=0,D(X)=1,则a-b的值为.

X-1012Pabc17.现要发行10000张彩票,其中中奖金额为2元的彩票1000张,10元的彩票300张,50元的彩票100张,100元的彩票50张,1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是元.8.用数字1,2,3,4,5给3名男生和2名女生随机地编学号.(1)男生和女生的学号都不相邻的编法有种(用数字作答);(2)记随机变量ξ=X-Y,其中X,Y分别为男生、女生的学号之和,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=.

9.甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.(多选题)随机变量ξ的分布列如表所示,其中xy≠0,下列说法正确的是()ξ012Pxy2yA.x+y=1B.E(ξ)=5C.D(ξ)有最大值D.D(ξ)随y的增大而减小11.某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛一局得分的均值为1,则ab的最大值为()A.13 B.1C.12 D.12.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是.

13.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如表所示.甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/千元5678月薪/千元46810获得相应职位的概率0.40.30.20.1获得相应职位的概率0.40.30.20.1(1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数为η,求η的分布列;(2)若丙和丁分别被甲、乙两家公司录用,求丙月薪高于丁月薪的概率;(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司?说明理由.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】14.已知投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析,X1和X2的分布列分别为表1X10.30.180.1P0.20.50.3表2X20.250.15P0.20.8(1)若在甲、乙两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资甲、乙两项目所获得的利润,求Y1和Y2的数学期望和方差,并由此分析投资甲、乙两项目的利弊;(2)若在甲、乙两个项目总共投资100万元,求在甲、乙两个项目上分别投资多少万元时,可使所获利润的方差和最小?注:利润率=利润投资额参考答案【A级基础巩固】1.解析:①中,X的所有可能取值为0,1,2,符合要求;②中,X的所有可能取值为0,1,符合要求;③中,一天的温度变化是连续的,所以X不是离散型随机变量;④中,在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数是离散,且随机的,符合要求.故选B.2.解析:由随机变量X的分布列知,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].故选C.3.解析:由题意得16+m+13=1,得m=所以E(Y)=0×16+2×12+所以D(Y)=(0-3)2×16+(2-3)2×12+(6-3)2×所以D(3Y-5)=32D(Y)=9×5=45.故选D.4.解析:随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,P(ξ=1)=C42C53=35,P(ξ=2)=C35.解析:设事件A表示“甲在规定的时间内到达”,B表示“乙在规定的时间内到达”,P(A)=0.5,P(B)=0.9,A,B相互独立,所以P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.9)=0.05,P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.9+0.5×(1-0.9)=0.5,P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.9=0.45,所以E(X)=0×0.05+1×0.5+2×0.45=1.4,D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.34.故选D.6.解析:由题知a+b+c=1112,-a+c+1(-1-0)2·a+(1-0)2·c+(2-0)2×112所以a=512,b=14,则a-b=512-1答案:17.解析:设每张彩票的中奖金额为随机变量X,则X的所有可能取值为0,2,10,50,100,1000.由题意可知,P(X=2)=10001010010P(X=100)=50100001-0.1-0.03-0.01-0.005-0.0005=0.8545.所以X的分布列为X0210501001000P0.85450.10.030.010.0050.0005所以E(X)=0+2×0.1+10×0.03+50×0.01+100×0.005+1000×0.0005=2.答案:28.解析:(1)由已知男生的学号为1,3,5,女生的学号为2,4,用1,3,5给男生编号有A33种编法,用2,4给女生编号有所以满足条件的编法有A3(2)用(x,y)表示可能的结果,其中x表示一名女生的学号,y表示另一名女生的学号,两名女生学号有可能为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),所以Y3456567789X12111091098876ξ97535311-1-3所以随机变量ξ的所有可能取值有-3,-1,1,3,5,7,9,P(ξ=-3)=110,P(ξ=-1)=110,P(ξ=1)=210P(ξ=3)=210=15,P(ξ=5)=210=15,P(ξ=7)=所以E(ξ)=(-3)×110+(-1)×110+1×15+3×15+5×15+7×答案:(1)12(2)39.解:(1)设“甲学校获得冠军”为事件A,则甲学校必须获胜2场或者3场.P(A)=0.5×0.4×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.6.故甲学校获得冠军的概率为0.6.(2)X的所有可能取值为0,10,20,30.P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×(1-0.4)×0.8+0.5×0.4×(1-0.8)=0.44,P(X=20)=(1-0.5)×(1-0.4)×0.8+0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34,P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.所以X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.解析:由题意可知x+y3+2E(ξ)=0·x+1·y3+2·2y3D(ξ)=x(0-5y3)2+y3(1-5y3)2+2y3(2-5y3)2=(1-y)(0-52y3(2-5y3)2=-因为xy≠0,x+y=1,易得0<y<1,f(y)=-259y2+3y在(0,2750)上单调递增,在[故f(y)在y=2750所以D(ξ)随着y的增大先增大后减小,当y=2750故选ABC.11.解析:由题意得,比赛一局得分的均值为3·a+1·b+0·c=1,故3a+b=1,又a,b,c∈[0,1),且a+b+c=1,故3a+b≥23ab解得ab≤112,当且仅当3a=b,即a=16,b=1212.解析:设保险公司的收益为X,则X的所有可能取值有100,100-a(a>1000),由已知P(X=100)=0.995,P(X=100-a)=0.005.所以随机变量X的分布列为X100100-aP0.9950.005所以E(X)=100×0.995+(100-a)0.005=100-0.005a,令100-0.005a>0,解得a<20000,故1000<a<20000,所以为确保保险公司有可能获益,a的取值范围是(1000,20000).答案:(1000,20000)13.解:(1)随机变量η的所有可能取值为0,1,2.P(η=0)=0.8×0.8=0.64,P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32,P(η=2)=0.2×0.2=0.04.所以随机变量η的分布列为η012P0.640.320.04(2)丙月薪高于丁月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49.(3)记随机变量X为入职甲公司的月薪,Y为入职乙公司的月薪.入职甲公司,月薪的期望为E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6,方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1.入职乙公司,月薪的期望为E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6,方差D(Y)=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4.乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4,即E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),0.4<0.49.所以两家公司月薪的期望相同,但甲公司月薪的波动性小,乙公司月薪的波动性更大,且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大,故选甲公司.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】14.解:(1)由题意得E(X1)=0.3×0.2+0.18×0.5+0.1×0.3=0.18,D(X1)=(0.3-0.18)2×0.2+(0.18-0.18)2×0.5+(0.1-0.18)2×0.3=0.0048,E(X2)=0.25×0.2+0.15×0.8=0.17,D(X2)=(0.25-0.17)2×0.2+(0.15-0.17)2×0.8=0.0016,又Y1=100X1,Y2=100X2,所以E(Y1)=100×0.18=18,D(Y1)=1002×0.0048=48.E(Y2)=100×0.17=17,D(Y2)=1002×0.0016=16.因此投资甲所获利润的期望18万元大于投资乙所获利润的期望17万元,但投资甲的方差48也远大于投资乙的