2024数学核按钮考点突破第四章 三角函数与解三角形

第四章三角函数与解三角形

4.1任意角、弧度制及三角函数的概念

课程标准有的放矢

L了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制

的必要性.

2.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.任意角

（1）正角、负角、零角:我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转

形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做

任何旋转，就称它形成了一个零角.任意角包括正角、负角和零角.

（2）角的相等:设角a由射线。4绕端点。旋转而成，角由射线02,绕端

点O旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称a=B.

（3）象限角:我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原

点重合，角的始边与％轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限,就说

这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何

一个象限（常称为轴线角）.

（4）终边相同的角:所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个

集合S="|6=a+/J36（r,kez},即任一与角a终边相同的角,都可以表示

成角a与整数个周角的和.

2.弧度制

（1）角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.

（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度

单位用符号rad表示，读作弧度.一般地，正角的弧度数是一个正数,负角的弧

度数是一个负数,零角的弧度数是。.

（3）单位圆：我们把主也为的圆叫做单位圆.

（4）角度和弧度的换算

（5）半径为r的圆中，圆心角为arad的角所对的弧长公式：I=|tr|-r,

圆心角为arad的扇形的面积公式：S=^lr=^\a\'r2.

3.三角函数的概念

（1）定义:设a是一个任意角，a&R,它的终边OP与单位圆相交于点

P（久,y）,则sina=2,cosa=工,tana=（（久H0）,正弦函数、余弦函数、正切

函数统称为三角函数.

（2）三角函数的定义域和函数值在各象限的符号

三角函数定义域（弧度制下）第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号

sinaR++——

cosaR+——+

71

{aIaWkn+1

tana+——+—

fc6Z}

4.特殊角的三角函数值

角a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

71TlTTn2IT37T5K371

角a的弧度数0Tl2K

2yTTT

1

sina0111110-10

2

cosa10——________-101

22

tana0_1V3不存在一百-10不存在0

【常用结论】

5.角的集合

（1）象限角的集合

象限角角的集合表示

第一象限角{x\k•360°<x<90°+fc-360°,kEZ}

第二象限角{x|90°+k•360°<%<180°+k•360°+k°fZ}

第三象限角(x|180°+k-360°<%<270°+k•360。#GZ}

第四象限角{x|270°+k.360°<%<360°+k•360°,kGZ}

（2）非象限角（轴线角）的集合

角a终边的位置角a的集合表示

在x轴的非负半轴上{a\a=k-360。,k6Z]

在X轴的非正半轴上{a[a=/c,360°+180°,kEZ}

在y轴的非负半轴上{a|a=fc-360°+90°,fc€Z}

在y轴的非正半轴上{a|a=k-360o+270°,fcGZ)

在久轴上{a|a=k•180。水6Z}

在y轴上{a|a=H18(T+9(r,keZ}

在坐标轴上{a|a=k♦90。,/ceZ)

6.sinl5°=^^,sin75°=^^,tanl5°=2-V3,tan75°=2+V3.

7.0<a时,sina<a<tana，特别地，cosl<sinl<1<tanl.

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“J”，错误的画“X”

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.(X)

(2)角a的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(V)

(3)终边落在直线丫=百％上的角可以表示为A.360。+60。，/cGZ.(X)

(4)若a为第二象限角，则sinatana<0.(V)

(5)a=2MT+30。/eZ)的写法合乎规范.(X)

2.(教材改编题)若角。满足条件sinBcosg<0,且cos/?-sin/?<0,则/?是

(B)

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

［解析］解:因为sin/?cos0<0,所以sin。,cos/3异号,

因为cosS—sin/?<0,即cosB<sin£,

所以sin/?>0,cos6<0,所以夕是第二象限角.故选B.

3.(教材改编题)已知角a的终边经过点P。(一4,一3),则cos©+a)的值为

(C)

4

A..--3C.-D.--

555

3

［解析］解:依题意sina=-3

V(-4)2+(-3)25

所以cos(5+a)=-sina=|.故选C.

4.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是1或4.

［解析］解：设扇形的圆心角为a，半径为r，由扇形周长公式和扇形面积公式得

2r+ar=6,ar2=4,消去r得36a=4(2+a)2，即小—5a+4=0解得a=

1,a=4.故填1或4.

核心考点精准突破

考点一象限角与终边相同的角

例1

(1)若a是第四象限角，则n-a是第三象限角；:是第二或四象限角.

［解析］解：因为a是第四象限角，

所以—1+2kn<a<2kn,kEZ,

所以—2/CTT<—cc<-2/CTT+~>k€Z,

所以IT—2Icn<n—a<-2/CTT4-|ir,kEZ,

故Ti一a是第三象限角./ar<三<kn,k€Z,故§是第二或四象限角.故填三；

二或四.

(2)【多选题】下列给出的角中，与-葭n终边相同的角有(ABD)

TTD1311「，211入297T

A.-D.C.----D.----

3333

［解析］解:与终边相同的角为一日n+2/CTT=］+2(k-2)n,keZ,

由g+2(k—2)TT=］得k=2,A正确；

由g+2(/c-2)n=等得k=4,B正确；

由］+2(k—2)n=—号得/c=gCZ,C错误；

由g+2(k-2)n=-等得k=-3,D正确.

故选ABD.

(3)(教材探究改编)在平面直角坐标系为0y中，角a和角/?的顶点均与原点

0重合，始边均与工轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线y=-x对称，若

cosa=-,贝ijsin夕=(B)

2C2

-V5-B---DV5-

A.3333

［解析］解：角a和角0的终边关于直线、=-%对称，则a+夕=2("+手)=

2fcit+薮,kEZ.sin/?=sin(2fcu+学-a)=—cosa=—|.故选B.

【点拨】①象限角的确定，一般先写出不等式，由不等式性质确定，一般需要

对女分类讨论.②与角a终边相同的角的集合为{0/=2/nr+a#eZ},常用来

判断所给角的象限，写终边相同角的集合，以及求与终边相同的相关角.

变式1.

（1）【多选题】下列说法正确的是（CD）

A.第二象限角比第一象限角大

B.60°角与600。角是终边相同的角

C.钝角一定是第二象限角

D.将表的分针拨慢10min,则分针转过的角的弧度数为g

［解析］解：A中，如100。是第二象限角，400。是第一象限角，第二象限角比第

一象限角小，故错误；

B中,因为600。Hk•360。+60。#6Z,所以60。角与600。角终边不同，故错

误；

C中，因为钝角的范围为C，7T）,所以钝角是第二象限角，故正确；

D显然正确.故选CD.

（2）终边在直线y=上，且在［-2n）内的角a的集合为

f5n2nn

13'333'，

［解析］解：如图，在坐标系中画出直线y=V5x,可以发现它与支轴的夹角是

p在［0,2IT）内，终边在直线y=上的角有两个：/詈；在［一211,0）内满

足条件的角有两个：-早，-y,故满足条件的角a构成的集合为

「5n2nn|./rr,^c5TT2nn4%

13，3’3’3,皿火I3，3'3'3，,

（3）［2023届江苏如皋一调］“角a与角£的终边关于直线y=%对称”是

“sin（a+6）=1”的（A）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

［'解析］解：角a与角。的终边关于直线y=x对称，则a+夕=2(kn+：)=2ku4-

5,keZ,sin(a+0)=1，则a+^=^+2kn,k&Z.故前者与后者互为充要

条件.故选A.

考点二扇形的弧长与面积问题

例2已知扇形力0B的周长为8,则扇形40B的面积的最大值是2，此时弦长

AB=4sinl.

［解析］解：由题意，设扇形40B的半径为r,则弧长l=8-2r,圆心角a=

8-2r8„

=2,

rr

扇形面积S=jr/=—r2+4r=—(r—2)2+4,

所以当r=2时，有Smax=4,

此时弦长|AB|=2rsin|=4sinl.故填4;4sinl.

【点拨】直接用公式Z=|a|R可求弧长，利用S=1|a|N可求扇形面积，利用

S弓=5扇-SA可求弓形面积.关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度

制这两种形式，一般使用弧度制.

变式2.

(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，则扇形的圆

心角是Tt—2弧度；扇形的面积是-2)r2.

［解析］解：设圆心角大小为a,

根据题意,2r+ra=irr，解得a=TT-2.

故扇形面积为S=1ar2=-2)r2.

故填Ti-2(n-2)r2.

(2)［2023届浙江名校协作体高三上适应考］如图，是由杭州2022年第19届亚

运会会徽抽象出的几何图形.设弧AD的长度是k，弧BC的长度是办，几何图形

ABCD的面积为Si,扇形BOC的面积为S2,若*=2,则£=(C)

AD

B、/C

、、、/

O

［解析］解：设z/OD=6,OA=r1,OB=r2,

所以，1=。X「1,<2=。X「2，而，=2,

所以a=2,即B是。/的中点，

r2

Si=怖。（疗-rz）=,S2=\0rl,

所以fl=3.故选C.

$2

考点三三角函数的定义及应用

例3【多选题】已知角a的顶点与原点。重合，始边与工轴的非负半轴重合，

它的终边过点P(-|,-6，将角a的终边逆时针旋转90。得到角S，则下列结论

正确的是(AC)

A.tana=-B.cos0=—

C.sin（a—夕）=—1

［解析］解：对于A,由题得tana=3=，所以A正确;

对于B,由题得夕=a+；,所以cos/?=cos(a+；)=-sina=，所以B错

误；

对于C,sin(a-0)=sin(—；)=—1，或由题得cos£=1,sin£=sin(a+~)=

cosa二一|,所以sin(a-夕)=——(―|)x(—|)=—1,所以C正确；

对于D,sin0+E)=-|x涯+：x^=①，所以D错误.故选AC.

4525210

【点拨】三角函数定义应用问题的解题思路：①直接利用三角函数的定义，找

到或根据已知给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个

角的三角函数值;②已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出

关于参数的方程，求参数的值.牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三

角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行必要的讨论.

变式3.

(1)［2023届江苏南京、镇江部分学校十月调研］已知点P(cos?,l)是角a终

边上一点，则cosa=(B)

［解析］解：依题意，点P的坐标为(一31)，QP|=J(-1)2+l2=y,cosa=

■#=.故选B.

~2

(2)［2023届河南高三上第四次段考］在平面直角坐标系％Oy中，将向量a=

(73,-1)绕原点。按顺时针方向旋转夕后得到向量南=(m,n)，则nrn=

6

［解析］解：设以X轴正半轴为始边，。4为终边，对应的角为a(0<a<2K),

根据题意，瓦？=(遮,—1)在第四象限，|瓦?|=2,得cosa=?,sina=

则仇=生，

26

所以m=2cos(---)=1,n=2sin(——-)=—V3,从而nm=-V3.故

6666

填-遮.

学科素养•三角函数中的数学文化

典例

(1)［2022年全国甲卷］沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其

中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，眉是以。为圆心，。4为半径的圆

弧，C是的中点，。在晶上，CD.“会圆术”给出前的弧长的近似

值s的计算公式：s=4B+卫.当04=2,乙40B=60。时，s=(B)

11-3V3D*

2

［解析］解：如图，连接OC,因为C是的中点，所以。CJ.AB,又CD_L

AB,所以O,C,D三点共线，即。0=04=08=2,又440B=60。，所以

AB=OA=0B=2,则。。=8，故CO=2-遮，所以s=+竺=2+

0A

(2-V3)2_11-473

.故选B.

22

(2)［2020年北京卷］2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(nDay).历史

上，求圆周率TT的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿

尔•卡西的方法是：当正整数71充分大时，计算单位圆的内接正6九边形的周长

和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6九边形)的周长，将它们的算术平均

数作为211的近似值.按照阿尔•卡西的方法，IT的近似值的表达式是(A)

A.3n(sin手+tan手)B.6n(sin手+tan手)

C.3n(sin*+tan*)D.6n(sin^-+tan^-)

［解析］解：单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆心角为塔=空，每条边

nx6n

长为2sin”，

n

所以，单位圆内接正6九边形的周长为12nsin竺，

n

单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan"，其周长为12/itan”，

nn

仆•30°-r+30°

”,,12nsin——+12ntan——QQ0300『,30。30°

所以2n=-------------------=6n(sin—+tan—),贝Uir=3n(sin—4-tan—).

故选A.

【点拨】数学文化广义上是指数学史、数学美、数学与生活的交叉应用、数学

与各种文化的关系以及这些因素的交互作用所构成的庞大体系，狭义上是指数

学思想、数学精神、数学方法以及数学观点、语言等的形成和拓展.在长期的发

展过程中，数学文化形成了注重思维、强调实用、讲究算法、关注数学审美价

值等重要特点.第一小题以《梦溪笔谈》为背景，该书内容包含了数学、天文、

物理、音乐、文学、工程技术等诸多领域，反映了中国古代，特别是北宋时期

自然及人文科学的辉煌成就，被誉为“中国科学史上的里程碑”.第二小题以数

学中美妙而又神秘的圆周率为基础，以国际圆周率日为背景，通过给出中外为

求得圆周率而采用的经典“割圆术”思想，让考生求出其近似表达式，从而考

查考生用三角函数等相关知识分析、解决问题的能力.在考生读题、解题的过程

中，能充分体会数学思想之妙，感悟数学文化之美.

变式.

(1)《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名

强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近

似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为？m,肩宽约为

“弓”所在圆的半径约为1.25m,试估测掷铁饼者双手之间的距离约为

8

(V2«1.414,73«1.732)(B)

A.1.012mB.1.768mC.2.043mD.2.945m

STC

［解析］解：由题意，“弓”所在弧长2=：+?+三=¥，其所对圆心角a=¥=

4488-

4

1，双手之间的距离d=V2x1.25«1.768.故选B.

（2）刘徽（约225—295）割圆术的核心思想是将一个圆的内接正九边形等分

成九个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之

和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想得到sin3°的近似值为（D）

［解析］解：将一个单位圆分成120个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为3。，

因为这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，

所以120X工X1X1xsin3°=60sin30々n,

2

所以sin3°«工.故选D.

60

课时作业

【巩固强化】

1.【多选题】下面说法正确的有（AD）

A.角g与角一|互终边相同

B.终边在直线y=-%上的角a的取值集合可表示为｛a|a=k-360°-45。,kG

为

C.若角a的终边在直线y=-2%上，则sina=等

D.67。30'化成弧度是萼

8

［解析］解：角］与角-相差211,终边相同，故A正确；

终边在直线y=-x上的角a的取值集合可表示为｛a［a=k-180°-45。,ke

Z］,故B错误；

若角a的终边在直线y=-2%上，则sina的取值为土学，故C错误；

67。30,化成弧度是萼，故D正确.

故选AD.

2.［2023届河北九师联盟高三10月考］如图所示的时钟显示的时刻为4:30,设

半个小时后时针与分针的夹角为a（0<a<-ri）,则a=（B）

AIlirD5nC3TTc2Tt

A.D.—C・—D.—

12643

［解析］解：半小时后是5：00,时针指向5,分针指向12,a=x2TT=

故选B.

6

3.［2020全国n卷］若a为第四象限角,则（D）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

［解析］解：（方法一）由a为第四象限角，可得：+2/cn<a<2TT+2kn,/c€

Z,所以3TT+4MT<2a<4n+4Mr,keZ,此时2a的终边落在第三、四象限

及y轴的非正半轴上，所以sin2a<0.

（方法二）由a在第四象限可得,sina<0,cosa>0,则sin2a=2sinacosa<

0.故选D.

4.已知角a的终边上一点的坐标为（sin等,cos詈），则角a的最小正值为（A）

A.-B.—C.-D.-

6663

［解析］解：由题意sina=cosg=—9,又sing<0,点（sin芸cos*）在第三

象限，即a是第三象限角，所以a=?+2Mr,kWZ,最小正值为?.故选A.

5.若600。角的终边上有一点（-4,a）,则a的值是（C）

A.4V3B.±4V3C.-4V3D.V3

［解析］解：因为600。角的终边上有一点(-4,a),根据三角函数的定义可得

tan600°=三，即。=-4tan600°=-4tan(540°+60°)=-4tan600=-4V3.

故选C.

6.［2023届重庆南开中学高三上9月考］【多选题】已知角a的终边落在第二象

限，则下列不等式一定成立的是(BD)

A.sin-<0B.tan->0C.sin->cos-D.Isin-1>

2222121

|cos||

［解析］解：由题设2/cn+：<a<2/CTT+n,keZ,故/nr+；<］<kn+］,

kEZ,所以三在如图阴影部分(不含边界)，

叫

!/

।/

——

/IX

ZI

/:

।

故sin§与cos?符号不定且大小不定，而tan?>0,|sin§|>|cos?|.

所以A,C错误，B,D正确.故选BD.

7.【多选题】下列四个选项，正确的有(ABD)

A.点P(tana,cosa)在第三象限，则a是第二象限角

B.若三角形的两内角/,B满足sinAcosB<0,则此三角形必为钝角三角形

C.扇形的周长是12cm,面积是8cm2,则圆心角的弧度数是1

D.sin3cos4tan5>0

［解析］解：由题意知，tana<0且cosa<0,所以a是第二象限角，A正确；

A,BE(0,n)，若sin4cosB<0,则sinA>0,cosB<0,B正确；

(2r+ar=12,_

设扇形半径为r,圆心角弧度数为a,则由题意得I”*a所以ffr9或

-ocr=o,ia=4

12

俄卜错误；

因为2<3<7T,IT<4<—,—<5<2n,所以sin3>0，cos4<0,

222

tan5<0,sin3cos4tan5>0,D正确.故选ABD.

8.已知角a的终边经过点P(3m-9,m+2).

(1)若m=2,求5sina+3tana的值；

［答案］解：因为m=2,所以P(-3,4),所以％=-3,y=4,r=5.所以sina=

y4.

-=-,tana=一y=—4.

r5x3

所以5sina+3tana=5xg+3x(-1)=0.

(2)若cosa<0且sina>0,求实数m的取值范围.

7n

［答案］因为cosa<0且sina>0,所以户二。<0,所以一2<m<3.

4-2>0.

【综合运用】

9.已知集合2={x\x=kx180°+(-l)fcx90°,kGZ},B={x\x=kx360°+

90°,keZ},则4,B的关系为(C)

A.B§AB.A^BC.A=BD.AHB

［解析］解：集合4中，当k为奇数时，x=kx180。一90。，keZ,终边落在y

轴的非负半轴上；当k为偶数时，x=/cxl80°+90°,/ceZ,终边落在y轴的

非负半轴上；集合B表示的角的终边也落在y轴的非负半轴上.故/=B.故选C.

10.［2023届河南豫南名校高三上9月质检］古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇

上题字题画，题字题画的部分多为扇环.已知某扇形的扇环如图所示，其中外

弧线的长为60cm,内弧线的长为20cm,连接外弧与内弧的两端的线段均为

16cm,则该扇形的中心角的弧度数为(B)

A.2.3B.2.5C.2.4D,2.6

1解析〕解：如图，依题意可得历的长为60cm,CD的长为20cm,则黑=

—=3,即。/=3OC.

20

因为4c=16cm,所以。C=8cm,

所以该扇形的中心角的弧度数a=V=2.5.

8

故选B.

B'A

DC

11.已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点

/(l,a)，8(2,b),且cos2a=|,则|a-b|=(B)

A.-B.—C.—D.1

555

［解析］解：由题意，可知。，A,B三点共线，从而得到b=2a,

因为cos2a=2cos2a-1=2-(-7==)2—1=-»

Wa2+ly3

解得a?=(,BP|a|=y,所以|a—b|=|a-2al=，.故选B.

12.将圆心角为斗，半径为8的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的母线与底面所

4

成角的余弦值为，

O

［解析］解：设母线长为2,底面半径为r,依题意知2=8,则由手/=2可，得

4

r=3,因此所求角的余弦值为故填?

13.［2023届湖北名校联盟高三一测］如图，/是自行车静止时前轮外边沿与地面

接触的一点，前轮半径为0.25m,若单车向前直行6.80m时(车轮向前顺时针

滚动，无滑动)，点A在前轮的(na3.14)(C)

A.左下位置，距离地面约为0.125mB.右下位置，距离地面约为0.125m

C.左上位置，距离地面约为0.375mD.右上位置，距离地面约为0.375m

［解析］解：自行车在向前直行的过程中，点4在前轮上按照顺时针的方向在旋

转，—=27.2«-TT=8TT+-.

0.2533

以前轮的圆心为原点，以向前的方向为工轴的正方向，建立平面直角坐标系，

则向前直行6.80m后，射线04转到OB的位置，点B在前轮的左上方，距离地

面约为025+0.25sin-=0.375(m).故选C.

6

【拓广探索】

14.[2023届江苏南通高三上一检]如图是一个近似扇形的湖面，其中。4=0B=

r,48的长为W<r).为了方便观光，欲在4£两点之间修建一条笔直的走廊

48.若当OVxV^时，sinx«%,扇形。48的面积记为S,则等的值约为

(B)

D.—

r

在△0AB中，^=2rsinj=2rsin^,

又S=-lr

29

所畔=嗜=沁沙

2

又0V工V工，

2r2

所畔=2:能一年I一3

故选B.

4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式

课程标准有的放矢

1.理解同角三角函数的基本关系式：siMx+cos?%=1,处三=tan%,

cosX

2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式(a土;,a±n的正弦、

余弦、正切).

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.同角三角函数的基本关系

siMa+cos2。:1.

出丝二tana(afcix+-,fcGZ).

cosa'2y

这就是说，同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角a的正切.

2.诱导公式

公式一公式二公式三公式四公式五公式六

角a4-2E(kEZ)n4-a―CC1T—Ct——CL

2

与a终边关系相同关于原点对关于X关于y轴对关于直线y=

称轴对称称X对称

正弦sina—sina—sinasisacosaCOSQ

余弦cosa一cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana—tana—tana

记忆规律函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

奇变偶不变,符号看象限

3.同角关系的几种变形

(1)sin2a=1一cos2a=(1+cosa)(l—cosa);

cos2a=1—sin2a=(1+sina)(l—sintz).

(2)since=tanacosa(a芯;+kir,keZ).

/「、.7sin2atan2a

(3)sinza=—-------=—;----.

sinza+coszatan-a+1

、2

(/4d)cos?za=—c；-os--a-=—；-1--.

sm-a+cosN。tanza+l

【常用结论】_

4.sina+cosa,sinacosa,sina-cosa三者之间的关系

(1)(sina+cosa)2=1+sin2a.

(2)(sina—cosa)2=1—sin2a.

(3)(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2.

(4)(sina+cosa)2—(sina-cosa)2=2sin2a.

5.诱导公式可推广归结为要求角a的三角函数值，只需直接求a的三

角函数值，其转化过程及所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇变

偶不变”中的奇、偶分别是指k的奇和偶，变与不变是指函数名称的变化.若是

奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变.“符号看象限”是把

a当成锐角时，原三角函数式中的角所在象限的三角函数值的符号.

自主评价►牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“J”，错误的画“X”.

(1)若a,0为锐角，则sin2a+cos2jff=1.(X)

(2)若a6R,则tana=恒成立.(X)

cosa

(3)sin(Tt+a)=-sina成立的条件是a为锐角.(X)

(4)若tana=tan/?,则a—p=kn,fceZ.(V)

sin。l+cos02

(5)+

1+COS0singsin®

2.(教材改编题)已知sina+cosa=:,则sin2a=(D)

24

.A12.-----C「.—D.—24

252525

1解析］解：将sina+cosa=g两边平方得，

sin2a+2sinacosa+cos2a=1+sin2a=—

25

所以sin2a=..故选D.

3.（教材习题）已知tana=3,则四空£吧=(B)

sina-cosa

A.1B.2C.-1D.-2

［解析］解:sina+cosa_tana+1>=2.故选B.

sina-cosatana-13—1

4.（教材题改编）已知sin（r+a）=：,则cosa=

255

［解析］解：sin(T+a)=sin(y+a)=-cosa=|，所以cosa=一看.故填一|.

核心考点精准突破

考点一同角三角函数基本关系式的应用

命题角度1sin。,cosa,tana三者知一求二问题

例1

（1）已知△/BC中，tanA=-2,贝Ucos/=（B）

12

.12

A.—B-3

13呜

［解析］解:因为tan/=—卷＜0,所以/G(pii),则cosAV0,且

sinA一卷=sinA=—cosA,又sin??!+cos27l=1,解得cosA=—^|.故选

cos/1

B.

(2)若点尸(cosa,sina)在直线y=-2%上，则cos(2a+；)=(B)

A--?c--lDI

［解析］解：由题知sina=-2cosa，sin2a+cos2a=1,则4cos2a+cos2a=

1,所以cos2a=|.又cos(2a+］)=-sin2a=—2sinacosa=4cos2a=|.故选

B.

【点拨】这类知一求二问题，注意判断角的范围，另外熟记以下常见勾股数，

可以提高解题速度：①32+42=52,62+82=102,92+122=152,...；

②52+122=132,82+152=172,724-242=252.

变式1.

(1)已知sina=_9,且ae(］泮)，则tana=(B)

A.-4B.-3C-.--3D.+-3

344-4

［解析］解：因为sina=—,且。€(，亨)，所以a为第三象限角，所以cosa=

--,故tana==-.故选B.

5cosa4

(2)已知a为锐角，目.sin,a—cos4a=1,则tana=(B)

A.yB.V2C.2D.2V2

［解析］解：由题意得si/a—cos2a=；,与siMa+cos2a=1联立可得siMa=

I,cos2a=I,则tan2a=2=tana=±V2,由a为锐角可得tana=y/2.故选

B.

命题角度2sina+cosa,sina-cosa,sinacosa三者知一求二问题

例2

(1)已知sin。+cos。=g,。6C(),则sin。一cos。的值为(D)

A.--B.-C.--D.—

3333

［解析］解：因为sin。+cos0=-,所以(sin。+cos0)2=14-2sin0cos0=—,

39

,7

所以2sin0cose=-,

所以(sin。—cos0)2=1—2sin0cos0=|,

因为。e(：,1)，所以sin。>cos0,即sin。一cos0>0,

所以sin。一cos0=y.故选D.

(2)已知a€(口；毛)，且工sin2a+sina+cosa=一空,则2na=(A)

k2y225

A.3或三B.2或。C.1D/或3

34323

&123

［解析］解：因为&sin2a+sina+cosa=sinacosa+sina+cosa=——,所以

(sina+cosa)2-l.23

Fsina+cosa=-----.

2------------------------------------25

令sina+cosa=t,

所以彳^+1=-n»解得t=—|或t1.

当"—g时，sina+cosa=-|,此时sinacosa=—於V0,不合题意，舍去.

当t二一(时，sina+cosa=一5，止匕时sinacosa=||，得sina=­g或

—,cosa=-7或一|，所以tana=|或;.故选A.

【点拨】对于已知sina±cosa的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代

入的方法来解，涉及的三角恒等式有(sina±cosa)2=1±2sinacosa,(sina+

cosa)2+(sina—cosa)2=2,(sina+cosa)2—(sina—cosa)2=4sinacosa

等.

变式2.

(1)已知sin。+cosd=1,0e(0,n),则siM。—cos20的值为5.

［解析］解：因为sin®+cos0=|,所以sinOcos。=j(sin®+cos。)？—||x

25225

所以sin。和cos。异号,又eE(0,7i),所以。GG，n).所以sin。—cos0=

V1—2sin0cos0=7

5

所以siMe—cos20=(sind+cos0)(sin0—cos。)="x-=—.故填..

552525

(2)已知tan°+高=4,则sin"+C=(D)

AA.-3BC.-D,

8I4

22

［解析］解：tanO+七二与+等=sin0+cos0_1=4,贝!JsinJcos。=

tan。cosdsin®sinGcosOsinJcos®

1

4.

sin40+cos40=(sin20+cos20)2-2sin20cos20=1—2x2=Z.故选D.

168

(3)已知函数f(%)=sin%+cosx+2sinxcosx+2,则/(%)的最大值为3+

返.

［解析懈:设t=sinx+cosx,则

.(sinx+cosx)2-lt2-l

sinxcosx=-----------=----,

22

t=sinx+cosx=V2sin(x+^)6［—­\/2,V2］,

f(x)=^(t)=t+t2-1+2=(t+1)2+1,

当t=/时，9(t)有最大值g(t)max=V2+2+l=3+V2,即/'(X)max=3+

V2.

故填3+V2.

命题角度3关于sini,cosa的齐次式问题

例3

tanasina-3cosa5

(1)已知-1,则

tana-1sina+cosa3

［解析］解：由已知得tana=1.

sina-3cosa_tana-35

sina+cosatana+13

⑵［2。21年新高考I卷］若tan”一2,则喘翳=(C)

AA.--6B「|cD

5-il

22

［解析］解:sin8(l+sin28)_sin0(sin0+cos0+2sin0cos0)=sin0(sin0+cos0)=

sin8+cos。sinJ+cos®

sin6(sin6+cos6)