2024年中考数学试题分类汇编：几何综合压轴题（40题）解析版

专题35几何综合压轴题（40题）

一、解答题

1.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）已知AABC是等腰三角形，AB=AC,AMAN=-ABAC,/MAN

2

在/R4C的内部，点M、N在8C上，点〃■在点N的左侧，探究线段8“、NC、"N之间的数量关系.

由ABAC=90°,=NC可知，将4ACN绕点/顺时针旋转90°,得到AABP,则CN=BPa2PBM=90°,

连接尸河，易证丝△4W,可得=在Rt△尸3加■中，BM-+BP2=MP~＞则有

BM2+NC2=MN2.

（2）当N34C=60。时，如图②：当N2/C=120。时，如图③，分别写出线段加0、NC、"N之间的数量关

系，并选择图②或图③进行证明.

【答案】图②的结论是：BM2+NC2+BM-NC^MN2;图③的结论是：BM2+NC2-BM-NC^MN2;证

明见解析

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一

半，勾股定理等知识，选②，以点8为顶点在A/IBC外作448K=60。，在3K上截取BQ=CN,连接

QM,过点。作垂足为〃，构造全等三角形，得出ZN=Z0,/CAN=NQAB,再证明

AAQM名AANM,得到MN=0/；在中由勾股定理得。犷+而2=0刊2,即

^-BQ+yBM+^BQ^=QM2,整理可得结论；选③方法同②

【详解】解：图②的结论是：BM2+NC2+BM-NC=MN2

证明：*/AB=AC,ABAC=60°,

是等边三角形，

/.ZABC=ZACB=60°,

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以点8为顶点在“3C外作/ABK=60。，在3K上截取3。=CN,连接。4QM,过点。作。

垂足为H,

从//\\

\///\\•」AB=AC,/C=ZABQ,CN=BQ

Qh/j\\

HB/KiN\~c

:.A4CN咨AABQ

/.AN=AQ,ZCAN=ZQAB

又•・・/CAN+NBAM=30°

:.ZBAM+ZQAB=30°

即/QAM=/MAN

X-：AM=AM,

:.MN=QM-

・.・ZABQ=60°,ZABC=60°,

.・・ZQBH=60°,

：./BQH=30。,

■■-BH=^BQ,QH=^-BQ

：.HM=BM+BH=BM+^BQ,

在中，可得：QH-+HM2=QM2

即~YBQ\+{BM+^BQ\=QM2

整理得BM2+BQ2+BM-BQ=QM2

BM2+NC2+BM-NC=MN2

图③的结论是：BM2+NC2-BM-NC=MN2

证明：以点3为顶点在AABC外作乙4BK=30。，在BK上截取BQ=CN,连接Q4,过点。作。〃，BC,

垂足为H,

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AB=AC,NC=ZABQ,CN=BQ

:.AACN/AABQ

AN=AQ,/CAN=NQAB

又/CAN+ABAM=60°

:.ZBAM+ZQAB=6Q°

即ZQAM=ZMAN

又；AM=AM,

:./\AQM^AANM,

:.MN=@M

在〃中，ZQBH=60°,ZBQH=30°

iR

■.BH=-BQ,QH^BQ

HM=BM-BH=BM-；BQ,

在网中,可得：QH2+HM2=QM2

即号BQ+^BM-^BQ^=QM2

整理得BM2+BQ1-BMBQ=QM2

BM2+NC2-BM-NC=MN2

2.（2024・四川广元•中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角a的正

sinOL

弦值与折射角P的正弦值的比值「叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,

smp

介质对光作用的一种特征.

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(1)若光从真空射入某介质，入射角为折射角为尸，且cosa=,，尸=30。，求该介质的折射率；

(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点/,B,C,。分别是长方体棱的中点，

若光线经真空从矩形42Q4对角线交点。处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②，已知a=60。,

CD=10cm,求截面48CD的面积.

【答案】呜3；

(2)1005/2cm2.

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，

(1)根据cosa=^^，设b=4^x，则c=4x,利用勾股定理求出a==3x，进而可得

n

sina=q=F=：3,问题即可得解；

c4x4

(2)根据折射率与(1)的材料相同，可得折射率为根据当=吧萼=：,可得疝1万=也，则有

2sinpsin/?23

n

sinZOCD=sinJ3=——，在Rtz^ODC中，设=OC=3x,问题随之得解.

3

【详解】⑴•••cosa=&，

4

如图，

设6=缶，则c=4无，由勾股定理得，q=J(4x)2_(V7x)2=3龙,

..a3x3

sma=—=——二—

c4x4

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又,"=30。,

sin/}=sin30°=；,

3

・_LLg_L+、rsina43

.•折射率为：――--Y=~.

smp£2

2

3

（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为:,

2

a=60。，

...sinjsin60°=3

**sin/?sin/?2'

sinP=.

・・•四边形45CD是矩形，点。是4D中点，

:・AD=2OD,D2）=90°,

又,.・ZOCD=/3f

sinZOCD=sin尸=,

3

在RtZXOOC中，设OD=&,OC=3xf

由勾股定理得，C0=J（3X）2-（瓜）2=瓜，

OPV3x1

tan/3=

CD*>x拒

又：CD=10cm,

OD_1

OD=55/2cm，

AD=1oV2cm，

，截面48CD的面积为：10e乂10=100收加2.

3.(2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题)如图，在平行四边形48co中，点尸在边/。上，AB=AF,连接3月,

点。为8F的中点，/。的延长线交边于点E,连接EE

(1)求证：四边形48E尸是菱形:

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⑵若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,ABAD=120°,求/£的长.

【答案】(1)见解析

⑵AE=5

【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识：

(1)由平行四边形的性质得/尸〃3瓦44五8=/£8尸,=再证明△/<?尸之△E05,得出

BE=AF,证明出四边形跖是平行四边形，由48=/尸得出四边形/3EP是菱形：

(2)求出菱形/3E尸的周长为20,得出/8=5,再证明A48£是等边三角形，得出/E=/8=5.

【详解】(1)证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

AD//BC,即AF//BE,

：.AAFB=ZEBF,ZFAE=ZBEA,

'：。为8F的中点，

/.BO=FO,

：.AAOF^Z\EOB,

：.BE=FA,

■：AF//BE,

...四边形/BE尸是平行四边形，

又AB=AF,

...四边形/BE尸是菱形；

(2)解：；AD=BC,AF=BE,

/.DF=CE=1,

:平行四边形ABCD的周长为22,

菱形跖的周长为：22-2=20,

/8=20+4=5,

•.•四边形/BE尸是菱形，

NBAE=-ABAD=-xl20°=60°,

22

又AB=AE,

△ABE是等边三角形，

AE=AB=5.

4.(2024・四川甘孜•中考真题)如图，N8为。。的弦，C为蕊的中点，过点。作CD〃4B,交的延

长线于点D连接04OC.

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(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若。1=3,BD=2,求AOCD的面积.

【答案】(1)见解析

⑵6

【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键.

(1)由垂径定理的推论可知OCL/B,据此即可求证；

(2)利用勾股定理求出即可求解；

【详解】(1)证明：为。。的弦，C为凝的中点，

由垂径定理的推论可知：0C_LN8,

,?CD//AB,

：.OCLCD,

•/0c为OO的半径，

是。。的切线；

(2)解:VOB=OA=OC=3,BD=2,

：.OD=OB+BD=5,

CD=^OD2-OC2=4，

Sy0CD=；xOCxCD=6.

5.(2024•甘肃临夏•中考真题)如图1,在矩形4BCD中，点E为/。边上不与端点重合的一动点，点尸是

对角线AD上一点，连接BE,即交于点O,且乙4BE=ND4F.

【模型建立】

(1)求证：AF±BE；

【模型应用】

(2)若48=2,40=3,DF=-BF,求。E的长；

2

【模型迁移】

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1AF

⑶如图2,若矩形皿。是正方形，DF^-BF,求而的值.

【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识

点，构造相似三角形，是解题的关键：

(1)根据矩形的性质，结合同角的余角，求出4。£=90。，即可得证；

(2)延长斯交C。于点G,证明A/EBSAGFD,得至1」型=空=!，再证明A/BESAQ/G,求出/E的

ABBF2

长，进而求出DE的长；

TJ1/—1T\zy1

(3)设正方形的边长为延长交于点G,证明,得到=-二—,进而

ABAFBF2

得到勾股定理求出NG,进而求出"的长，即可得出结果.

2

【详解】解：⑴•・•矩形48cZ),

・・・ZBAD=90°,

：.ZABE+ZAEB=90°,

・.•/ABE=ZDAF,

：.ZDAF+ZAEB=90°,

：./AOE=90。,

：.AF工BE；

(2)延长册交CO于点G,

ffll

,矩形45m

・・・AB//CD,ZBAD=ZADG=90°,

・•・小AFBS^GFD,

.DGDF

••刘一寿一5'

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DG=-AB=\,

2

•：NBAD=ZADG=90。,NABE=NDAF,

：.小ABEs^DAG,

,AB_AE_2

•・茄一而一

22

・・・AE=—DG=—,

33

27

DE=AD-AE=3——二—；

33

（3）设正方形/5CZ）的边长为。，贝!J：AB=AD=a,

延长册交CO于点G,

•・•正方形45CD,

・,.ABAD=ZADG=90°,AB//CD,

：.AAFBS^GFD,

,DGFGDF

••花一而—而一'，

DG=-AB=-a,FG=-AF,

222

AG=飞心+DG?=—a,

2

-：FG=-AF,

2

..c,_2__V5

,•A.F——A.G——ci,

33

亚a

AF亍亚.

ADa3

6.（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图1,。是正方形/BCD对角线上一点，以。为圆心，OC长为半径的

。。与/。相切于点E,与NC相交于点尸.

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图1图2

(1)求证：48与。。相切.

(2)若正方形/BCD的边长为行+1，求。。的半径.

(3)如图2,在(2)的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作交无于点N.当

CM:EM=1:4时，求CN的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵血

(3)巫

【分析】(1)方法一：连接OE,过点。作OGLN8于点G,四边形48co是正方形，NC是正方形的对

角线，得出。E=0G,进而可得OG为。。的半径，又OG14B,即可得证；

方法二m连接。£,过点。作OGL/3于点G,根据正方形的性质证明”。£丝A/OG(AAS)得出O£=OG,

同方法一即可得证；

方法三：过点。作OGL48于点G,连接OE.得出四边形/E0G为正方形，则OE=OG,同方法一即可

得证；

(2)根据。。与4D相切于点E,得出4EO=90。，由(1)可知设AE=0E=OC=OF=R,

在Rt^/EO中，勾股定理得出/。=血火，在RtA40c中，勾股定理求得/C,进而根据。/+OC=/C建

立方程，解方程，即可求解.

(3)方法一：连接ON,设CM=左，在RtZkOAW中，由勾股定理得：MN=2k,在RsCAW中，由勾股

定理得：CN=瓜,结合题意/C=54=2R=2x0=2Q得出左=笠-即可得出CN=^^；

方法二：连接W,证明△CNMs/^cm得出cM,进而可得CM=1Cb=2包，同理可得CN

55

方法三：连接m,证明△CNMs△CW得出NC°=MC-FC,设CM=k,则FC=5k,进而可得NC=瓜,

进而同方法一,即可求解.

【详解】(1)方法一：证明：连接OE,过点。作。GLN8于点G,

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。。与/。相切于点E,

OELAD.

•••四边形/BCD是正方形，NC是正方形的对角线,

ABAC=ADAC=45°,

OE=OG,

•••OE为。。的半径，

「.OG为。。的半径，

OG1AB,

48与。。相切.

方法二：

证明：连接OE,过点。作。G,45于点G,

・•・。。与40相切于点£,，0£_1/。，

ZAEO=ZAGO=90°,

四边形/BCD是正方形，

ABAC=ADAC=45°,

又,•・AO=AO,

A/OE丝ANOG(AAS),

OE=OG,

・••OE为。。的半径,

・•.OG为。。的半径,

■■■OGVAB,

48与。。相切.

方法三：

证明：过点。作OGL48于点G,连接OE.

•.•4D与。。相切，OE为。。半径，

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/.OELAE,

/.ZAEO=90。,

OGIAB,

/.4G。=90。，

又:四边形/BCD为正方形，

/.ZBAD=90°f

二.四边形ZEOG为矩形，

又・・・/C为正方形的对角线，

/.ZEAO=ZGAO=ZAOE=45°,

/.OE=AE,

矩形NEOG为正方形，

OE=OG.

又•.•。£为。。的半径，

；.OG为OO的半径，

又；OGLAB,

48与。。相切.

（2）解：•.•/C为正方形48co的对角线，

ADAC=45°,

。。与/。相切于点E,

NAEO=90。,

...由（1）可知AE=OE,设AE=OE=OC=OF=R,

在RtZX/EO中，

AE2+EO2^AO2,

AO2=R2+R2,

■:R>Q，：.AO=4iR，

又：正方形/BCD的边长为应+1.

在RtA40c中，

AC=yjAD2+CD2=A/2（V2+1）,

OA+OC=AC,

同+尺=回逐+1）,

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：.R=C.

。。的半径为及.

(3)方法一：

解：连接ON,设CM=k,

■■CM;FM=1:4,

：.CF=5k,

OC=ON=2.5k,

OM=OC—CM=\5k.

在Rt^OAW中，由勾股定理得：MN=2k,

在RbCAW中，由勾股定理得：CN=瓜，

又；FC=5k=2R=2义猴=2m，

272

丁

AED

B

方法二：

解：连接网，

・.・C户为OO的直径，

/CNF=9。。，

/.ZFNM+ZCNM=90°,

MN1AC,

/./NFM+/FNM=90。,

/.ZNFM=/CNM,

•••ZNCM=ZFCN,

MNMs丛CFN,

CN1=CMCF,

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■■■CM:FM=1:4,CF=5CM,

CN=45CM,

,­,CF=2R=2xC，=2亚，

CM，CF=^~,

55

./72V22ViO

…CN=yJ5x-------=---------•

55

方法三:

解：连接两，

••・CF为。。的直径，

ZCNF=90°,

/./FNM+/CNM=90°,

vMN1ACf

/.ZNFM+ZFNM=90°f

/.ZNFM=ZCNM,

•/ZNCM=ZFCN,

丛CNMs丛CFN,

.NCFC

''MC~NC'

NC2=MCFC,

•••CM:FM=1:4,

/.CM:FC=1:5,

没CM=k,则尸。=5左，

NC2=kx5k,

NC=限.

又「FC=5k=2R=2xC=26，

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5

CN=45X^=^-

55

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理,

相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键.

7.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如

图1,在。8C中，A8=/C,点。是/C上的一个动点，过点。作。于点E,延长即交8/延长

线于点F.

图1图2

请你解决下面各组提出的问题:

⑴求证：AD=AF；

⑵探究D立P与■AD的关系;

AD1r）p

某小组探究发现，当黑=;时，W8

Z/C3DEI当箝加.5

请你继续探究：

①当照=:时，直接写出器的值；

JDC6JDE

②当AT）=='YYI时，猜想DF专的值（用含羽,力的式子表示），并证明;

DCnDE

（3）拓展应用：在图1中，过点歹作EP，NC,垂足为点P,连接CF,得到图2,当点。运动到使ZACF=NACB

）M/7

时，若A黑1~=%,直接写出AP差的值（用含他，〃的式子表示）.

DCnAD

【答案】（1）见解析

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、小DF7DF2m、十门口.左力工厂

(2)①二7②—=——，证明见解析

DE3DEn

APn

(z3x)-----=—

「AD2m

【分析】(1)等边对等角，得到N5=NC,等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到/尸尸，即

可得出结论;

(2)①根据给定的信息，得到会是券的2倍，即可得出结果；

DEDC

②猜想空=也，作NG,即于点G,证明△/GOS^CE。，得至IJS£=W£=%，三线合一得到

DEnDEDCn

DF=2DG,即可得出结论；

(3)过点。作DGLCF,角平分线的性质，得到。G=Z)E,推出第=白，等角的余角相等，得到

DF2m

APDGW

AAFP=/DFG,进而得到sin//"=sin月G,^llj—,根据尸，即可得出结果.

AFDF2m

【详解】(1)证明：・・•45=4。，

・•・NB=NC,

■:DELBC,

:・/BEF=/CED=900,

：.ZF=900-ZBfZCDE=90°-ZC,_&ZCDE=ZADF,

・•・ZF=ZADF，

：.AD=AF；

AD1DF8

(2)解：①当灰=§时,

~DEr当备河器5

r)pAD

・・・总结规律得：言是黑的2倍,

DEDC

:•当/I泊去好

厂”/ADm4DF2m

②当安丁时'猜想瓦=

n

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•；DEIBC,

：.AG//CE,

：.AAGDs^CED,

..ADm

・Be-7，

,GDADm

%%~DE~~DC~~n，

由(1)知4D=4F,又AG1EF,

：.DG=FG,即Z)方=2Z)G,

.DF2GD_2m

^~DE~DE--r；

•；NACF=/ACB,DEICE9

：.DG=DE,

.,wADm-LDF_2m

由(z2x)知，当——=一时,

DCnDEn

DE_n

DF2m

DGn

DF2m

'：PFLAC,

：.ZACF+ZCFP=90°,

9：FELBC,

：.ZB+ZAFD=90°,

•・•AB=AC,

：.ZACB=ZB,

：.ZB=ZACF,

・・・ZAFD=ZCFPf

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・•・ZAFD-/PFD=/CFP-/PFD,

：.ZAFP=/DFG,

：.sinZAFP=sinZDFG,

-4P_DGn

AFDF2m'

由(1)矢口4。=4尸，

.AP_AP_n

ADAF2m

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形

等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键.

8.(2024・广东•中考真题)【问题背景】

如图1,在平面直角坐标系中，点8,。是直线了=研(。>0)上第一象限内的两个动点以线段

为对角线作矩形A8CD,AD//x^.反比例函数y=七的图象经过点/.

X

【构建联系】

(1)求证：函数>=勺的图象必经过点C.

X

(2)如图2,把矩形/BCD沿8。折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点8的坐标为(1,2)时,

求人的值.

【深入探究】

(3)如图3,把矩形48co沿8。折叠，点C的对应点为£.当点£,/重合时，连接NC交于点P.以

点。为圆心，ZC长为半径作若。尸=3亚，当。。与"8C的边有交点时，求发的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；(2)k=~；(3)6<k<S

【分析】(1)设双外胸)，则/见用含加水的代数式表示出再代入y=幺验证即可得

VmJ\amJx

解；

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(2)先由点5的坐标和左表示出左-2,再由折叠性质得出2=——,如图，过点。作。轴,

BE

过点2作既，了轴，证出ADHESAEFB,由比值关系可求出处'=2+4,最后由彼=DC即可得解；

(3)当。。过点8时，如图所示，过点D作。〃l|x轴交y轴于点”，求出左的值，当。。过点/时，根据

A,C关于直线OD对轴知，。。必过点C,如图所示，连/O,CO,过点。作DH||x轴交了轴于点

求出后的值，进而即可求出左的取值范围.

【详解】(1)设,贝！私公］,

/0|x轴,

'-D点的纵坐标为幺,

.•.将＞=幺•代入y=ax中得：幺="得,

kk

amm

,am,

.•.将x=上代入y=X中得出y=a%

amx

函数〉=X的图象必经过点c；

(2):点8(1,2)在直线广⑪上，

••o=2,

•9y—2%,

・・・4点的横坐标为1,C点的纵坐标为2,

:函数y=上的图象经过点4C,

k

2

・・.DC=k-2,

,/把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E,

ABE=BC=--\,NBED=NBCD=90°,

DC_k-2_[_DE

:.京―k]一~~BE，

2

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如图，过点。作轴，过点B作瓦天轴,

:・H,A,。三点共线，

工/HED+/BEF=90°,/BEF+AEBF=90°,

AHED=ZEBF,

•：/DHE=/EFB=9G。,

：.ADHES^EFB,

,PHHEDE2

**EF~BF~BE~'

VBF=1,DH=-

2

k

：.HE=2,EF=一,

4

：.HF=2+-,

4

由图知，HF=DC,

：.2+-=k-2,

4

(3)•..把矩形48co沿M)折叠，点。的对应点为E,当点£,/重合，

AC1BD,

二•四边形/BCD为矩形，

四边形48CD为正方形，/4BP=/DBC=45。,

4PL1

AAB=BC=CD=DA=---------=<2AP,AP=PC=BP=-AC,BPVAC,

sin4502

・・•轴，

・,・直线V为一，三象限的夹角平分线，

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，y=x,

当。。过点2时，如图所示，过点。作//〃X轴交〉轴于点〃,

/O〃x轴，

：.H,A,。三点共线，

:以点。为圆心，/C长为半径作。。，。尸=3近，

OP=OB+BP=AC+BP=24P+AP=314P=3后，

AP=叵，

AB=AD=y[2AP=2,BD=2AP=26，BO=AC=2AP=26，

'：48〃y轴，

ADHOSADAB,

.HOPHDO

""AB~AD~BD'

.HODH2亚+2近

,,2—2-272'

：.HO=HD=4,

：.HA=HD-DA=4-2=2,

••.Z（2,4）,

.•"=2x4=8,

当。。过点/时，根据4c关于直线对轴知，。。必过点C,如图所示，连/O,CO,过点。作"7〃x

轴交〉轴于点”，

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AO=OC=AC,

・・・力。。为等边三角形，

u：OPLAC,

：.ZAOP=-x60°=30°,

2

:.AP=tan30。xOP=匚乂36=R=PD,AC=BD=2AP=2&,

3

AB=AD=42AP=273,OD=BP+PD=3亚+a,

轴，

...ADHOS^DAB,

.HOPHDO

"AB~AD~BD

.HO_DH3V2+V6

"2V3-2A/3-276

HO=HD=3+43,

：.HA=HD-DA=3+6-26=3-右,

/（3一百,3+百），

k=（3-#'卜（3+6）=6,

：.当。。与^ABC的边有交点时，k的取值范围为6<^<8.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质,

矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助

线是解决此题的关键.

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9.(2024四川遂宁•中考真题)如图，48是。。的直径，/C是一条弦，点。是就的中点，DNLAB于

点、E,交/C于点尸，连结。8交/C于点G.

(1)求证：AF=DF；

⑵延长GD至点M,使DM=OG,连接

①求证：是。。的切线；

②若DG=6,DF=5,求。。的半径.

【答案】(1)证明见解析

(2)①证明见解析，②。。的半径为?20.

【分析】(1)如图，连接4D,证明工B=应5,可得N4RD=NCAD,证明而=介，可得N4DN=Z.ABD,

进一步可得结论；

(2)①证明乙4。8=90。=乙4。"，可得4D是MG的垂直平分线，可得4M=ZG,

AM=NAGD=AGAB+NB,ZMAD=ZGAD,而ZGAD=ZB,可得NMZD=ZB,进一步可得结论;

②证明可得AGDFSAGM4,求解4W=10,=-JAM2-MD2=8»结合

八,AD8ABAB一始小山

tanZAf=——=-=——=—,可得答案.

MD6AM10

【详解】(1)证明：如图，连接4D,

:点。是就的中点,

AD=CD>

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・•・ZABD=/CAD,

■:DN1AB,为。。的直径,

•*-AN=AD，

ZADN=NABD,

・・・ZADN=ACAD,

AF=DF.

(2)证明：①・・・/5为。。的直径，

JZADB=90°=ZADM,

・・・ZB+ZBAD=90°,

•・•DM=DG,

・・・40是MG的垂直平分线，

AM=AG,

：.AM=NAGD=ZGAB+ZB,ZMAD=NGAD,

而NGAD=ZB,

：.ZMAD=NB,

ZMAD+ABAD=/B+ABAD=90°,

・・・/BAM=90。,

*/AB为OO的直径，

・•・//是。。的切线；

②;DG=6,

：.DM=DG=6,

•；DN工AB,/跖18=90。，

・•・DE//AM,

：.AGDFS八GMA,

,DG_DF_6

"GM~AM~

'：DF=5f

：.AM=10,

•*-AD=4AM1-MD1=8，

tai*_ABAB

MD6~AM~10

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普=竺，

63

•••。。的半径为三20.

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弧与圆心角之间的关系，切线的判定与性质，相似三角形的判

定与性质，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键.

10.（2024•四川德阳•中考真题）已知。。的半径为5,B、C是。。上两定点，点A是。。上一动点，且

NBAC=60°,ZBAC的平分线交。。于点D.

（1）证明：点。为前上一定点；

⑵过点D作BC的平行线交AB的延长线于点F.

①判断。尸与OO的位置关系，并说明理由；

②若“BC为锐角三角形，求。尸的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

（2）①。下与。。相切，理由见解析；②。尸的取值范围为％尸＜5行.

2

【分析】（1）由/A4c的平分线交。。于点。，NB4c=60。,可得而=①，结合8、C是。。上两定点,

可得结论；

（2）①如图，连接OD,证明ODLBC,结合BC〃DF,可得ODLD万，从而可得结论；

②分情况讨论：如图，当N48c=90。时，可得。尸=80=孚；如图，连接AD,当44c8=90。，可得

DF=2BQ=573,从而可得答案.

【详解】（1）证明：的平分线交。。于点。，ZBAC=60°,

：.ZBAD=ZCAD=30°,

工BD=CD，

'：B、C是。。上两定点，

...点。为灰^的中点，是一定点;

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(2)解：①如图，连接OD,

,:BD=CD，

：.OD1BC,

•：BC//DF,

：.ODLDF,

,：0。为半径，

。尸是。。的切线；

②如图，当N48C=90。时,

二/C为直径，AC=10,

,/ABAC=60°,

：.44c8=30°,

,,AB—5，BC=>/102-52=5-\/3)

ZBQD=90°=ZFQD=NABC=ZFBQ,

四边形BED。为矩形，

/.。尸=8Q=W；

如图，连接AD,当N/1C3=9O。,

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A

VZACB=90%ODLBC,

：.0D//AC,

：./BOD=ABAC=60°,

OB=OD,

：.ABOD为等边三角形,

OQ=QD,

同理可得：BQ二当,

・・,BC//DT,

:.AOBQS^OFD,

,OQ=BQ_=]_

,,OD~DF~2’

：.DF=2BQ=573,

当AABC为锐角三角形，DF的取值范围为速＜。尸＜56.

2

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键.

11.（2024・四川泸州•中考真题）如图，“BC是。。的内接三角形，A8是。。的直径，过点3作。。的切

线与/C的延长线交于点D,点E在。。上，AC=CE,CE交AB于点、F.

(1)求证：ZCAE=ZD

⑵过点C作CGL/8于点G,若。4=3,8。=3后，求尸G的长.

【答案】（1）证明见解析

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【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角得到/SCO=90。，则/D+NCBO=90。，由切线的性质推出

DABC+^CBD=90°,则NNBC=N。，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到/£=ZABC,

ZCAE=ZE,据此即可证明/C4E=/D；

(2)由勾股定理得40=3&，利用等面积法求出3c=2百，则/C=2",同理可得CG=2近，则NG=4,

进而得到BG=2；如图所示，过点C作_L4E于H,则AE=2AH,证明AACBsACHA,求出AH=242>

贝!]/£=4亚；设户G=x,则/尸=4+x,证明尸，推出0尸=生回土其，在Rt^CG尸中，

476+

由勾股定理得—=(2后『+/,解方程即可得到答案.

【详解】（i）证明：・・・/5是。。的直径，

・•・ZACB=90°,

：.ZBCD=90°f

：.ZD+ZCBD=90°；

•：BD是。。的切线，

：・£ABD=90°,

：.DABC+£CBD=90°,

J/ABC=ZD,

・：AC=AC'

：.NE=/ABC,

•・•AC=CE,

：.ZCAE=ZE,

・•・ZCAE=ZD；

（2）解：04=3,

JAB=2OA=6,

在RtA^Z）中，由勾股定理得AD=yjAB2+BD2=亚+0亚丁=3c,

82加=-ABBD=-ADBC,

/\ADU22

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AC=S!AB2-BC2=J6y2国=276，

同理可得CG=2c，

AG=yjAC2-CG2=^（276）2-（272）2=4，

BG=2；

如图所示，过点C作CH_L/E于〃，贝ijNE=2/H,

由（1）可得NZ3C=/G4〃，/ACB=NCH4=9Q°,

：.AACBsLCHA,

.AHACnnAH2c

BCAB2736

AH=2V2，

AE=4日

设尸G=x,贝lj/尸=4+x,

VZE=ZCBF,ZEAF=ZBCF,

/\AEFs/\CBF,

.CFBCanCF_2A/3

AFAE4+x4后

・4^/6+戈x

••CJT=-------------，

4

在RtaCGF中，由勾股定理得CT”=CG2+BG2,

4^/6+加x、

4

解得x=1或x=4（舍去）,

【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直

径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的

关键.

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12.(2024・四川南充・中考真题)如图，正方形48co边长为6cm,点£为对角线/C上一点，CE=2AE,

点、P在AB边上以1cm/s的速度由点/向点2运动，同时点。在8C边上以2cm/s的速度由点C向点3运

动，设运动时间为［秒(0<Z<3).

(1)求证："EPSACEQ.

⑵当尸。是直角三角形时，求/的值.

(3)连接当tanN/Q£=；时，求△ZE。的面积.

【答案】(1)见解析

(2)6-26秒或2秒

(3)4cm2

【分析】(1)根据正方形性质，得到/尸4石=/。位=45。，再题意得到7m=/3,从而得到AZEPSACE。；

CECQ

(2)利用题目中的条件，分别用/表示EP二尸。2、EQ2,再分别讨论当NE尸。=90。、/尸石。=90。和

NPQE=90。时，利用勾股定理构造方程求出t即可；

(3)过点/作交C8的延长线于点凡连接