【八年级上册数学苏科版】第2章 轴对称图形（A卷知识通关练） -【单元测试】（解析版）

班级姓名学号分数第2章轴对称（A卷·知识通关练）核心知识1轴对称图形的概念1.熊猫“冰墩墩”和灯笼“雪容融”是2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物，以下“冰墩墩”和“雪容融”简笔画是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故本题选C。2.下列图形不是轴对称图形的是（）A．线段 B．长与不相等的长方形 C．等边三角形 D．圆【答案】C【解析】A．线段是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．角是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．三角形不一定是轴对称图形，故本选项符合题意；D．正方形是轴对称图形，故本选项不符合题意；故本题选C。3.下面图形中，对称轴最少的是（）A．正方形 B．长与不相等的长方形 C．等边三角形 D．圆【答案】B【解析】正方形有4条对称轴，长与宽不相等的长方形由2条对称轴，等边三角形由3条对称轴，圆有无数条对称轴，所以对称轴最少的是长与宽不相等的长方形；故本题选B。核心知识2．翻折变换（折叠问题）4.如图①是一个直角三角形纸片，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，如果C′为AB的中点，△BCD的面积为1，则△ABC的面积为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】∵△ABC为直角三角形，∴∠C＝∠BC′D＝∠AC′D＝90°，由折叠的性质得：△BCD≌△BC′D，∴S△BCD＝S△BC′D＝1，∵C′为AB的中点，∴AC′＝BC′，在△ADC′与△BDC′中AC'＝BC'∴△ADC′≌△BDC′（SAS），∴S△ADC′＝S△BCD＝S△BC′D＝1，∴△ABC的面积＝∴S△ADC′＋S△BCD＋S△BC′D＝3；故本题选B。5.将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝（）A．122022B．11+2【答案】C【解析】由题意可知，S1＝12，S2＝122，S3＝123，…，S2022＝1∵原来的正方形纸片面积为1，∴S1＋S2＋S3＋S4＋…＋S2022＝1−12故本题选C。6.如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C′的位置，C'D'与AD边相交于点G，若∠FEC＝56°，则∠AGC'＝_____．【答案】22°【解析】解：根据折叠的性质得，∠D′＝∠D＝90°，∠EFD′＝∠EFD，∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC＝56°，∴∠EFD＝180°−∠FEC＝124°，∴∠EFD′＝124°，∴∠GFD′＝∠EFD′−∠GFE＝68°，∴∠D′GF＝90°−∠GFD′＝22°，∴∠AGC'＝∠D′GF＝22°；故本题答案为：22°。核心知识3．角平分线的性质与判定7.如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）A．48cm2 B．54cm2 C．60cm2 D．66cm2【答案】B【解析】如图，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，∴OD＝OE＝OF＝3（cm），∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝12×AB×OF＋12×BC×OD＋12×AC×OE＝＝12×3×36＝54（cm2）；故本题选B。8.如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．【答案】证明过程详见解析【解析】证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中AB＝AC∴△ABD≌△ACD，（SAS），∴BD＝CD。9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）2【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC，在Rt△CDF与Rt△EDB中，DF＝DB∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB；（2）解：设CF＝x，则AE＝12−x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝ED，在Rt△ACD与Rt△AED中，AD＝AD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8＋x＝12−x，解得x＝2，即CF＝2。核心知识4．线段垂直平分线的性质与判定10.如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0B．3C．4D．5【答案】B【解析】连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7，∵P1P2＜OP1＋OP2，∴0＜P1P2＜3.4；故本题选B。11.在△ABC中，DE、MN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D、M，若DM＝2，BC＝5，则AD＋AM＝_____．【答案】3或7【解析】∵DE、MN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，AM＝CM，如图1，AD＋AM＝BD＋CM＝BC−DM＝5−2＝3，如图2，AD＋AM＝BD＋CM＝BC＋DM＝5＋2＝7，综上所述，AD＋AM＝3或7；故本题答案为：3或7。12.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC＝_____．【答案】100°【解析】连接AP，延长BP交AC于D，∴∠BPC＝∠PDC＋∠ACP＝∠BAC＋∠ABP＋∠ACP，∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点，∴PA＝PB＝PC，∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，∴∠BPC＝∠BAC＋∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＋∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°；故本题答案为：100°。13.如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）15【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝90°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，∠DEA＝∠DFA∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，∵AD是∠BAC的角平分线，∴AG⊥EF，EG＝FG，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵△AED≌△AFD，DE＝3，∴DF＝DE=3，∵AB＋AC＝10，∴△ABC的面积＝12AB•DE＋12AC•DF＝核心知识5．最短路线问题14.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【答案】C【解析】如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM＋PN最短，∵M′N与直线l交于点C，∴点P应选C点；故本题选C。15.如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小；故本题选D。16.如图，P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短（不写作法）．【答案】作图详见解析【解析】如图，作点P关于BC的对称点P′，连接P′Q，交BC于点M，点M是所求的点。17.如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．100°【答案】C【解析】如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点∴△PAB即为所求的三角形，根据对称性可知：∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，∵∠MON＝50°，∴∠P1OP2＝2∠MON＝100°，∵OP1＝OP2，∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，∴APO＝∠AP1O＝40°，BPO＝∠BP1O＝40°，∴∠APB＝∠APO＋∠BPO＝80°;故本题选C。核心知识6．等腰三角形的性质与判定18.已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为_____．【答案】65°或115°【解析】①如图，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝25°，∴∠A＝65°，即顶角的度数为65°；②如图，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝25°，∴∠BAD＝65°，∴∠BAC＝115°；故本题答案为：65°或115°。19.如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是_____．【答案】14【解析】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周长＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋DF＋AF＝AE＋EB＋AF＋FC＝AB＋AC＝14；故本题答案为：14。20.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为_____．【答案】8【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ACD＝2×12∵S△ABC＝12AB•CF，∴12∵AC＝AB，∴12∵DE＝4，∴CF＝8；故本题答案为：8。21.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）70°【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD＝CE∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠DEF＝180°−∠BED−∠CEF＝180°−∠BED−∠BDE＝∠B；（3）由（2）可知：∠DEF＝∠B，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠DEF＝180°−40°222.如图所示，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD，垂足为E，BE交AC于D，AE＝12【答案】证明过程详见解析【解析】证明：延长AE、BC交于点F，如图所示；∵AE⊥BD，∴∠BEF＝90°，又∠ACF＝∠ACB＝90°＝∠BEF，∴∠FAC＋∠AFC＝∠DBC＋∠AFC＝90°，∴∠FAC＝∠DBC，在△ACF和△BCD中，∠ACF＝∠BCD∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD,又AE＝12BD，∴AE＝12∵BE⊥AF，∴DE是AF的垂直平分线，∴AB＝BF，∴BD是∠ABC的平分线。核心知识7．等边三角形的性质与判定23.等边△ABC的边长为4，点D是BC边上的任意一点（不与点B，C重合），过点D分别作DE∥AC，DF∥AB，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF的周长是_____．【答案】8【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC=4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DF∥AB，DE∥AC，∴∠FDC＝∠B＝60°＝∠C，∠EDB＝∠C＝60°＝∠B，∴△BED和△FDC都为等边三角形，∴ED＝EB，FD＝FC，∴四边形AEDF的周长为AE＋ED＋AF＋FD＝AE＋EB＋AF＋FC＝AB＋AC＝2AB＝8；故本题答案为：8。24.如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．【答案】（1）30°；（2）证明过程详见解析【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°−∠EDF＝90°−60°＝30°；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°＝∠EDC，∴△DEC是等边三角形，∴CE＝CD，∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°，∴EC＝CF，∴C