【八年级上册数学华师大版】专题06 整式乘除能力提升题（解析版）

试卷第=page3131页，共=sectionpages3232页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题06整式乘除能力提升题华师版数学八年级上册期末考试，通常用“整式乘除能力提升题”，作为解答题的第五题。特别是与完全平方公式有关的能力提升题。1．图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的方法拼成一个边长为的正方形．(1)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法：；方法：．(2)观察图写出，，三个代数式之间的等量关系：．(3)根据（）中你发现的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)【详解】（1）根据图形可得：方法：；方法：．故答案为：，．（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，可得：．故答案为：．（3）∵，，．2．阅读下列材料，回答问题．随着数学学习的深入，数系不断扩充，为了解决这个方程在实数范围内无解的问题，我们引入一个新数i（i被称为虚数单位），规定，并且新数i满足交换律、结合律和分配律．例如：；．请根据以上材料．回答下列问题：(1)_____________；_____________；_____________；_____________．(2)计算：①

②【答案】(1)；(2)①，②【详解】（1）；；；；故答案为：；（2）解：①；②．3．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．解：设，则原方程变为，整理得，即，．，．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．(1)已知实数x，y满足，求的值．(2)在（1）的条件下，若，求和的值．【答案】(1)3；(2)，【详解】（1）解：设，则，∴，即，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴；，∴．4．根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式：______．(2)从图3可得______．(3)结合图4，已知，，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)11．【详解】（1）解：由题意可知：；故答案为：；（2）解：；故答案为：；（3）解：根据题意得：，而，，，∴．5．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．(1)如图，利用阴影面积的不同表示方法写出一个我们熟悉的数学公式：___________；(2)解决问题：如果，求的值；(3)类比第（2）问的解决方法探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．【答案】(1)；(2)49；(3)7．【详解】（1）解：方法一:通过观察可得，阴影部分的长为，宽也为，即阴影部分为一个正方形，则；方法二：边长为a的大正方形，减去2个长为a，宽为b的长方形，再加上多减掉一次的边长为b的小正方形，即为阴影部分的面积；则，；（2）解：，；（3）解：设，，，，，，所以长方形的面积为：．6．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题．(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．图1：______；图2：______；图3：______．其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，，求的值．解：∵，∴，又∵，∴，∴.即．类比迁移：(2)若，则______；(3)如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，阴影部分面积为______．【答案】(1)，，；(2)；(3)12．【详解】（1）解：图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为，故可得：；图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为，故可得：；图3中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为，故可得：故答案为：，，；（2）解：∵，∴，故答案为：28；（3）解：设，则，∵两正方形的面积和，∴，∵，∴，即：，∴，∴，故答案为：12．7．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积．(1)如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________．(2)若图中每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．(3)将图中边长为和的正方形拼在一起，三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．【答案】(1)；(2)42；(3)29【详解】（1）解：∵大长方形的面积，大长方形的面积=，∴，故答案为：；（2）由题意得：，∴，∴，∵，∴，∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为；（3）阴影部分的面积．8．如图1，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为的长方形.现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积.方法1：___________________________；方法2：___________________________；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于，的等式：__________________．.(2)已知图2的总面积为64，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为40，求的值.(3)用一张型纸板和一张型纸板，拼成图3所示的图形，若，求图3阴影部分的面积．【答案】(1)，,；(2)12；(3)【详解】（1）用两种方法表示出图2的总面积为和，关于，的等式，故答案为：，,；（2）由题意得，，，∴；故答案为12；（3）由题意得图3阴影部分的面积为：当，时，图3中阴影部分的面积为：．故答案为：．9．完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即：，又因为所以根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，，求的值；(2)若，求的值；(3)如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴；（3）解：设，，∵，∴，又∵，∴，由完全平方公式可得，，∴，∴，∴，答：阴影部分的面积为．10．阅读材料：若，求m、n的值．解：，∴，∴．∵，，∴，，∴．根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则______；______．(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且，求c的值．【答案】(1)2，0；(2)c=3【详解】（1）解：∵，∴，∴．∵，，∴，，∴．故答案为：2，0；（2）∵，∴，∴．∵，，∴，，∴．∵，即，∴．∵c是整数，∴．11．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值．解：因为，所以，即．又因为，所以．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．(1)若，，则．(2)若，，求的值．(3)如图，在长方形ABCD中，，，点E、F是BC、CD上的点，且，分别以FC、CE为边在长方形外侧作正方形和，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为200，则图中阴影部分的面积和为．【答案】(1)；(2)；(3)图中阴影部分的面积和为．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，解得：（2）∵，，∴，∴（3）∵由题意可得，，而，∴，∴，∴图中阴影部分的面积和为．12．图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．(1)将图中所得的四块长为，宽为的小长方形拼成一个正方形（如图），请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式，，之间的等量关系是______；(2)应用：想据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，，则______；(3)拓展延伸：将如图所得的四块长为，宽为的小长方形（如图）不重叠地放在长方形的内部（如图），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为，且图中小长方形的面积为，求的长．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：（2）解：，∴，（3）解：设左下角的阴影周长为：右上角的阴影周长为：由题意得：化简得：，且即：13．在学习乘法公式的运用，我们常用配方法求最值，例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法：解：∵，∴当时，的值最小，最小值是0，∴∴当时，的值最小，最小值是1，∴的最小值是1．根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)填空：；(2)若，当______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断△ABC的形状，并求出该三角形的周长．【答案】(1)；；4；(2)；小；；(3)△ABC为等腰三角形，理由见解析，周长为14【详解】（1）解∶；；故答案为：；；4（2）解：∵，∴当时，的值最小，最小值是0，∴∴当时，的值最小，最小值是1，∴当时，y有最小值，这个值是；故答案为：；小；（3）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：∴，∴，∴，解得：，，∵，∴，∴当时，的值最大，最大值是0，∴，∴当时，的值最大，最大值是4，∴当时，有最大值，这个值是4，∴，∴，∴为等腰三角形，周长为．14．如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：．请你结合以上知识，解答下列问题：(1)写出图2所示的长方形所表示的数学恒等式______．(2)根据图3得到的结论，解决下面的问题：若，，求代数式的值．(3)小华同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个边长分别为和的长方形，则______，______，______．【答案】(1);(2);(3)，，【详解】（1）解：（1）根据图形，拼成的大长方形的面积为，各个小的长方形的面积为，则图2所示的长方形所表示的数学恒等式为，故答案为：；（2）解：由图③，拼成的大长方形的面积为，各个小的长方形的面积为，则图3所示的长方形所表示的数学恒等式为，∵，，∴，∴；（3）解：∵拼成的大长方形的面积为，各个小图形的面积分别为，，，∴，，，故答案为：，，．15．阅读下列材料：一般地，个相同因数相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．(1)计算以下各对数的值：________，________，________．(2)写出（1）、、之间满足的关系式________．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：________（且，，）(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【答案】(1);(2);(3);(4)见解析【详解】（1）解：∵∴，故答案为：；（2）∵，，，，∴，故答案为：；（3）由（2）的结果可得，故答案为：．（4）证明：设，，则∴∴即．16．我们知道，通过计算几何图形的面积可以解释代数恒等式的正确性，同样，利用几何图形的面积也可以解释不等式的正确性，请解答下列问题：(1)如图1，可以写出代数恒等式：_______；若，，则_______；(2)如图2，两个边长为、、的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，请根据梯形的面积推导、、之间的数量关系（要求写出推导过程）；(3)如图3，已知线段的长度、、、、、满足.试画出一个几何图形，并在图形中标出线段的长度、、、、、，使得该几何图形的面积可以解释不等式.（不要求尺规作图）【答案】(1)，45；(2)，推导过程见解析；(3)见解析．【详解】（1）解：由图①可得：，∵，，∴，∴，故答案为：，45；（2）解：，证明：图2中梯形的面积为：，将图2看成3个直角三角形的面积和可得：，∴，整理得：；（3）解：构造一个边长为k的正方形，如图所示：显然，根据图形可知，正方形内部3个长方形的面积和小于大正方形的面积，即．17．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．由图，利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可得等式：．(1)由图可得等式：____________．(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)已知正数、、和、、满足，试利用图形面积来说明．【答案】(1);(2)45;(3)见解析【详解】（1）解：，故答案为：；（2）由（1）得，，，，，，；（3）如图，根据图形可知，正方形内部的个矩形面积之和小于正方形的面积，故．18．【学习材料】拆项添项法在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如：例1分解因式：．解：原式例2分解因式：．解：原式．我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如例3把多项式写成的形式．解：原式【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：(1)分解因式：______；(2)运用拆项添项法分解因式：______；(3)判断关于x的二次三项式在______时有最小值；(4)已知（均为整数，m是常数），若M恰能表示成的形式，求m的值．【答案】(1);(2);(3)10;(4)m的值为18【详解】（1）解：故答案为：．（2）解：故答案为：．（3）解：∵∴当时，有最小值．故答案为：10．（4）解：∵若M恰能表示成的形式，∴，∴，答：m的值为18．19．分解因式：，以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”，根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：＝______．【我也可以】分解因式：．【拓展训练】已知，，为△ABC的三边长，若，试判断△ABC的形状．【答案】【跟着学】，；【我也可以】；【拓展训练】△ABC为等边三角形【详解】解：【跟着学】．故答案为：，解：【我也可以】解：【拓展训练】，，，∴，，∴，从而得到△ABC为等边三角形，20．有7张如图1规格相同的小长方形纸片，长为a，宽为b（），按如图2、3的方式不重叠无缝隙地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，那么矩形ABCD的面积为．（用含a、b的代数式表示）(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，．①用a、b、x的代数式直接表示AE②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？【答案】(1)或；(2)①；②【详解】（1）解：由题意得：,矩形ABCD的面积==，故答案为：或；（2）解：①；②∵右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，∴,∵当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，∴当x的值变化时，按照同样的放置方式，如果S的值始终保持不变，∴．21．对于形如可用“配方法”将它分解成的形式，如在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，它不会改变整个式子的值，其变化过程如下：像这种“因式分解”的方法称为“配方法”请完成下列问题：(1)利用“配方法”分解因式：；(2)已知是△ABC的三边长，且满足，求△ABC的周长；(3)在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由．【答案】(1);(2)12;(3)；见解析【详解】（1）解：原式（2）解：，，则，是△ABC的三边长，，；（3）解：∵，∴，∴22．我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：(1)已知，，是△ABC的三边且满足，判断的形状；(2)两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请你求出原来的多项式并将原式分解因式．【答案】(1)等边三角形;(2)【详解】（1）解：，，，，，，，∴△ABC为等边三角形；（2）解：设原多项式为其中、、均为常数，且．，，；又，，原多项式为，将它分解因式，得：．23．如图，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形如图．(1)图中的阴影部分的边长为___________；(2)观察图请写出，，之间的等量关系：___________；(3)若，求的值．【答案】(1);(2);(3)【详解】（1）解：阴影部分为边长为，故答案为：．（2）解：图中，用边长为的正方形的面积减去边长为的正方形等于个长宽分别、的矩形面积，∴，故答案为：．（3）解：由（2）得，把代入得，则．24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式的最小值．解：

的最小值是．(1)若则=；(2)若代数式的最小值是3，求k的值；(3)已知a、b、c是的三边长，且满足下列关系式：，求c的取值的范围；(4)已知满足，试比较代数式与的大小．【答案】(1)3;(2)±2;(3)2＜c＜8;(4)【详解】（1）解：，，；故答案为：3；（2）解：的最小值为3，，；（3）解：，，，，a、b、c是△ABC的三边长，，；故的取值的范围是：；（4）解：，，，，即．25．阅读材料利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如根据以上材料，解答下列问题．(1)分解因式（利用公式法）：；(2)已知△ABC的三边长a，b，c，且满足，求△ABC的最大边c的取值范围．(3)已知，，试比较P，Q的大小．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵c是最大边，∴；（3）解：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴．26．阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是：，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题：(1)计算所得多项式的一次项系数为．(2)如果计算所得多项式不含一次项，求的值；(3)如果，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：一次项系数为，故答案为：；（2）解：根据题意，得一次项系数，解得；（3）解：的一次项系数为，．27．已知张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按图的方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为．设．(1)用、、的代数式表示

___________

．(2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则、应满足的数量关系是什么？(3)在（）的条件下，用这张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（都是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的、的值．【答案】(1)；(2)；(3)的最小值为，此时拼成的大正方形的边长为，且【详解】（1）解：记左上角阴影部分的面积为，右下角阴影部分的面积为，左上角阴影部分长方形的长为，宽为，∴．右下角阴影部分长方形的长为，宽为，∴．∴．（2）解：当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关，∴，即、满足的关系是：．（3）解：拼成的大正方形的面积为：张边长为