山东专用2025版高考数学一轮复习练案43第七章立体几何第二讲空间几何体的表面积与体积含解析VIP

PAGE2-[练案43]其次讲空间几何体的表面积与体积A组基础巩固一、单选题1．(2024·广东六校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)A．π＋eq\f(\r(3),3) B．2π＋eq\f(\r(3),3)C．2π＋eq\r(3) D．π＋eq\r(3)[解析]由三视图知，该几何体由圆柱与三棱锥组合而成，其体积为π＋eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×eq\r(3)＝π＋eq\f(\r(3),3).故选A.2．(2024·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(B)A．π B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)[解析]设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－(eq\f(1,2))2＝eq\f(3,4)，所以，圆柱的体积V＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4)，故选B.3．(2024·甘肃兰州部分校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A)A．(9＋eq\r(5))π B．(9＋2eq\r(5))πC．(10＋eq\r(5))π D．(10＋2eq\r(5))π[解析]由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋π×eq\r(22＋12)＝(9＋eq\r(5))π.4．(2024·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(C)A．2 B．4C．6 D．8[解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1cm,2cm，高为2cm，直四棱柱的高为2cm，故直四棱柱的体积V＝eq\f(1＋2,2)×2×2＝6cm3.5．(2024·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(D)A．60 B．30C．20 D．10[解析]由该几何体的三视图可得它的直观图为长、宽、高分别为5,3,4的长方体中的三棱锥A－BCD，如图所示．故该几何体的体积是V＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×5×3)×4＝10.故选D.6．(2024·贵州安顺联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(16,3)[解析]由三视图知该几何体的底面为正方形(对角线长为2)且有一条侧棱垂直底面的四棱锥，其高为2，∴该几何体的体积为eq\f(1,3)×(2×1)×2＝eq\f(4,3)，故选A.7．(2024·湖北武汉部分学校调研)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为(C)A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4[解析]由三视图可知几何体为棱长为1的正方体的内接正四面体，如图，又AD＝eq\r(2)，∴S表面积＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2eq\r(3).故选C.8．(2024·广东佛山质检)已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝eq\r(2)，E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P－BCE的外接球表面积为(C)A．10π B．5πC．eq\f(5π,2) D．eq\f(5\r(5)π,12)[解析]由题意翻折可得几何体P－BCE中：PB⊥PC，PB⊥PE，PC⊥PE.即三棱锥可以补成以PB，PC，PE为棱的长方体，其对角线为外接球的直径：eq\r(12＋12＋\f(\r(2),2)2)＝eq\f(\r(10),2)，故r＝eq\f(\r(10),4)，∴外接球的表面积为：4×π×eq\f(10,16)＝eq\f(5π,2)，故选C.9．(2024·陕西汉中质检)四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P－ABCD的侧面积等于4(1＋eq\r(2))，则该外接球的表面积是(B)A．4π B．12πC．24π D．36π[解析]依据三视图可在棱长为a的正方体中得到直观图，是一个四棱锥P－ABCD，如图所示：则四棱锥的侧面积为：S△PAB＋S△PAD＋S△PBC＋S△PDC＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a·eq\r(2)a＋eq\f(1,2)a·eq\r(2)，依据已知侧面积可得：(eq\r(2)＋1)a2＝4(eq\r(2)＋1)，解得：a＝2，设PC的中点为O，则OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝eq\f(1,2)eq\r(22＋22＋22)＝eq\r(3)，所以四棱锥的外接球的半径R＝eq\r(3)，所以该外接球的表面积为4πR2＝4π×(eq\r(3))2＝12π，故选B.二、多选题10．一个透亮密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，随意转动这个正方体，则水面在容器中的形态可以是(BCD)A．三角形 B．长方形C．正方形 D．正六边形11．(原创)两直角边长分别为6、8的直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体的体积可能为(ABC)A．96π B．128πC．eq\f(384,5)π D．eq\f(100π,3)12．(2024·陕西商洛期末改编)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的每个顶点都在球的O球面上，若球OA．10 B．12eq\r(2)C．16 D．18[解析]设球O的半径为R，则4πR2＝12π，得R＝eq\r(3).设正四棱柱的底面边长为x，高为h，则正四棱柱的体对角线即为球O的直径，则有eq\r(2x2＋h2)＝2R＝2eq\r(3)，即2x2＋h2＝12，由基本不等式可得12＝2x2＋h2≥2eq\r(2)xh，xh≤3eq\r(2)，当且仅当h＝eq\r(2)x时，等号成立，因此，该四棱柱的侧面积为4xh≤4×3eq\r(2)＝12eq\r(2)，即四棱柱的侧面积得取值范围为(0，12eq\r(2)]，故选ABC.三、填空题13．(2024·天津高考)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为eq\f(1,3).[解析]本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积．四棱锥的底面BB1D1D为矩形，其面积为1×eq\r(2)＝eq\r(2)，又点A1究竟面BB1D1D的距离，即四棱锥A1－BB1D1D的高为eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，所以四棱锥A1－BB1D1D的体积为eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).另解：VA1－BB1D1D＝VABD－A1B1D1－VA1－ABD＝eq\f(2,3)VABD－A1B1D1＝eq\f(1,3).14．(2024·海南天一大联考)已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为eq\f(2\r(2)π,3)，设线段AB为底面圆的一条直径，一质点从A动身，沿着圆锥的侧面运动，到达B点后再回到A点，则该质点运动路径的最短长度为__6__.[解析]圆锥的高为eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，∴V圆锥＝eq\f(π,3)×2eq\r(2)×12＝eq\f(2\r(2)π,3)，圆锥底面周长为2π，侧面绽开图扇形的圆心为eq\f(2π,3)，如图，则质点运动的最短路径为虚线所示的折线，长度为6.15．(2024·辽宁省朝阳市重点中学模拟)表面积为4eq\r(3)的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为eq\r(6)π.[解析]如图所示，将正四面体补形成一个正方体，设正四面体棱长为a，则4×eq\f(\r(3),4)a2＝4eq\r(3)，解得a＝2，∴正方体的棱长是eq\r(2)，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴2R＝eq\r(6)，∴R＝eq\f(\r(6),2)，∴球的体积为eq\f(4,3)π(eq\f(\r(6),2))3＝eq\r(6)π.故答案为：eq\r(6)π.B组实力提升1．(2024·吉林市五地六校适应性考试)若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__8π__.[解析]作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半 径为r，则BC＝2r，所以轴截面的面积为S正方形ABCD＝(2r)2＝4，解得r＝1，因此，该圆柱的外接球的半径R＝eq\f(BD,2)＝eq\r(2)，所以球的表面积为S＝4π(eq\r(2))2＝8π.故答案为8π.2．(2024·山东维坊期末)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面面积为eq\f(9,8)，若截面把正方体分成体积之比为2︰1的两部分，则eq\f(A1K,KB1)＝eq\f(\r(5)－1,2).[解析]K为A1B1的中点时，截面为ACMK(M为B1C1的中点)是等腰梯形，且KM＝eq\f(\r(2),2)，AK＝CM＝eq\f(\r(5),2)，AC＝eq\r(2)，SACMK＝eq\f(9,8).若截面把正方体分成体积为2︰1的两部分时，VK－BCMB1＝eq\f(a＋1a,6)＝eq\f(1,6)，(B1K＝B1M＝a)，解得a＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴KB1＝1－a＝eq\f(3－\r(5),2).∴eq\f(A1K,KB1)＝eq\f(3－\r(5),\r(5)－1)＝eq\f(\r(5)－1,2).3．(2024·江西上饶二模)已知下图为某几何体的三视图，则其体积为(C)A．π＋eq\f(2,3) B．π＋eq\f(1,3)C．π＋eq\f(4,3) D．π＋eq\f(3,4)[解析]几何体为半圆柱与四棱锥的组合体(如图)，半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为1，故几何体的体积V＝eq\f(1,2)×π×12×2＋eq\f(1,3)×22×1＝π＋eq\f(4,3).故选C.4．(2024·江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(D)A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．4 D．eq\f(16,3)[解析]如图，依三视图知该几何体为正方体中的三棱锥D－ABC，连接DF，过A作AE⊥DF，则AE为底面DBC上的高，由三视图可得S△DBC＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2)，AE＝eq\r(2)，所以其体积V＝eq\f(1,3)×8eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(16,3).故选D.5．(2024·河北省衡水中学调研)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称