模考中的欧拉函数题（学生版）

一、单选题112024·山东·二模）欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如φ=2.已知bn=，n∈N*，是数列{bn}的前n项和，若Tn<M恒成立，则M的最小值二、多选题222024·湖北·模拟预测）对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数φ(n)以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如φ(9)=6（1,2,4,5,7,8与9互质则()A．若n为质数，则φ(n)=n-1B．数列{φ(n)}单调递增C．数列的最大值为1D．数列{φ(3n)}为等比数列332024·全国·模拟预测）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于或等于n且与n互质的正整数的数目．换句话说，φ(n)是所有不超过n且与n互素的数的总数．如：φ(5)=4，A.φ(n)的定义域为N*，其值域也是N*B.φ(n)在其定义域上单调递增，无极值点C．不存在n0∈N*，使得方程φ(n)=n0有D.φ(n)≤n-1，当且仅当n是素数时等号成立试卷第2页，共4页三、填空题442024高三下·全国·专题练习）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：④φ(2n+2)>φ(2n)，n是552024·贵州黔南·二模）欧拉函数φ(n)表示不大于正整数n且与n互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知φ,其中p1，p2，ⅆ,pr是n的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如φ=100×=40.若数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，3662024·河北·三模）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数φ(n)就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果m,n互素，则φ(mn)=φ(m)φ(n).请计算数列的前n项和Sn=.772024·湖北武汉·二模）欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数例如：φ(3)=2，φ(四、解答题82024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φ(n).n(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求φ(3)，φ(pq)与φ（p）和φ（q）的关系；n(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数p，q；②计算n=pq，欧拉函数φ(n)；③求正整数k，使得kq除以φ(n)的余数是1；④其中(n,q)称为公钥，(n,k)称为私钥.已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17)．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列{bn}，数列{cn}满足80cn=bn+47，求数列{tancn.tancn+1}的前n项和Tn.992024·浙江·二模）欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，(1)求a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；记bn=求数列{bn}的前n和Sn.10102024·湖北·模拟预测）欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合Xn={1,2,...,n-1}，欧拉函数φ(n)的值等于集合Xn中与n互质的正整数的个数；记M(x,y)表示x除以y的余数（x和y均为正整数(1)求φ(6)和φ(15)；试卷第4页，共4页(2)(2)现有三个素数p，q，e(p<q<e)，n=pq，存在正整数d满足M(de,φ(n))=1；已知对素