湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题含答案

湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题含答案2024年高三上学期数学月考试题一、单选题（每题5分，共40分）1.设集合，则（）A. B. C. D.2.若，则复数的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.3.“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件4已知向量，满足，，，则（）A.2 B. C.4 D.165.已知，都是锐角，，，则（）A. B. C. D.6.有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（）①，且；②若第七局甲获胜概率不小于0.9，则不小于1992.A.①②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①②都是假命题7.已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（）A. B.C. D.8.已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（）A.466 B.467 C.932 D.933二、多选题（每题5分，共20分）9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.不共线，且，则.B.若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是C.已知，则在上的投影的坐标为D.已知点为的垂心，则10.如图，在三棱锥中，两两垂直，为上一点，，分别在直线上，，则：（）.A.B.C.若平面且到距离相等，则直线与的夹角正弦值为D.的最小值为11.如图，函数的部分图象，则（）A.B.将图象向右平移后得到函数的图象C.在区间上单调递增D.在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为12.如图，圆锥的底面直径和母线长均为6，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（）A.当时，直线与所成角的余弦值为B.当时，四面体的体积为C.当且面时，D.当时，三、填空题（每题5分，共20分）13.已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______.14.已知，且，则_____________.15.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.16.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____.四、解答题（共70分）17.已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且.（1）证明：数列为等比数列，并求实数的值；（2）若，数列前项和为，求证：；（3）当时，设集合，.集合中元素的个数记为，求数列的通项公式.18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的正弦值.19.已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．20.已知函数．（1）当时，判断在上的单调性，并说明理由；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：．21.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；（2）现从样本口罩中利用分层抽样方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；（3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值.22.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．（1）求椭圆的标准方程：（2）设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．2024年高三上学期数学月考试题一、单选题（每题5分，共40分）1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为，所以.故选：C.2.若，则复数的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法，化简整理为标准型，结合共轭复数与虚部的定义，可得答案.【详解】，则，所以复数的共轭复数的虚部是.故选：B.3.“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系求得，根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为，若直线与圆相切，则有，解得或.所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A4.已知向量，满足，，，则（）A.2 B. C.4 D.16【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式计算即得.【详解】由，得，而，因此，所以.故选：C5.已知，都是锐角，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用两角和与差的正弦公式展开，化切为弦得，代入即可求解.【详解】由题意，又，所以，即，所以，所以.故选：D6.有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（）①，且；②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992.A.①②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题 D.①②都是假命题【答案】A【解析】【分析】分别计算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得，从而求得，由于第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，可得，利用数列求通项公式的构造法，可得是首项为，公比为的等比数列，求出，解不等式即可求解.【详解】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：，摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，，摸次甲获胜概率：，所以，所以，第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，则，故①正确；由，设，解得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，则，即，所以，即，即，即，即，则，即，解得，所以不小于1992，所以②正确.故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题关键是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得其概率是等比数列，从而得到，利用数列求和和极限的知识进行求解.7.已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分、讨论，根据没有零点求出的范围可得答案.【详解】时，，若无解，则或；时，，若无解，则，则.故选：D．8.已知函数在区间上有且仅有一个零点，当最大时在区间上的零点个数为（）A.466 B.467 C.932 D.933【答案】B【解析】【分析】方法一：根据的范围，确定的范围，结合已知条件以及函数的零点，得且，分别验证、、确定的范围，求出的最大值，代入函数解析式即可求解；方法二：利用换元的令，根据的范围，确定的范围，由，得出的范围，结合图象性质，以及已知条件，最终确定的最大值，代入函数解析式即可求解.【详解】方法一：由题意，函数，可得函数的周期为，因为，可得，又由函数在区间上有且仅有一个零点，且满足，且，可得，即，且，当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，解得，此时解集为空集，综上可得，实数的取值范围为.所以，得，，则，解得，令，则有，解得，即，因为，所以共有467个零点.方法二：由题意，函数，可得函数的周期为，因为，可设，则，又函数在区间上有且仅有一个零点，可得，所以，则由图象性质，可知，得，即.或者，得，即.所以最大为，得.，则，解得.令，则有：，解得：，即，因为，所以共有467个零点.故选：B【点睛】思路点睛：对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有个零点，需要确定含有个零点的区间长度，一般和周期相关.二、多选题（每题5分，共20分）9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.不共线，且，则.B.若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是C.已知，则在上的投影的坐标为D.已知点为的垂心，则【答案】BD【解析】【分析】求得三向量间的关系判断选项A；求得的取值范围判断选项B；求得在上的投影的坐标判断选项C；求得三者间的关系判断选项D.【详解】选项A：不共线，且，则，则即.判断错误；选项B：向量，且与的夹角为钝角，则，解之得或或则的取值范围是.判断正确；选项C：在上的投影向量为，则在上的投影的坐标为.判断错误；选项D：点为的垂心，则,则，则，由可得，则，即，由，可得，则,即，故.判断正确.故选：BD10.如图，在三棱锥中，两两垂直，为上一点，，分别在直线上，，则：（）.A.B.C.若平面且到距离相等，则直线与的夹角正弦值为D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】建系标点，设，根据向量垂直可得.对于A：根据向量垂直的坐标表示分析判断；对于B：利用坐标运算求模长即可；对于C：举反例说明即可；对于D：分析可知当时，取到最小值，结合向量的坐标运算求解.【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设，则，因为，则，解得.对于选项A：因为，且，可得，则，所以，故A正确；对于选项B：因为，所以，故B错误；对于选项C：因为，例如平面过的中点，且与平面平行，则到平面的均为距离，符合题意，此时平面的法向量，可得，此时直线与的夹角正弦值为，故C错误；对于选项D：设，则，，若取到最小值，则，可得，解得，则，，所以的最小值为，故D正确；故选：AD.11.如图，函数的部分图象，则（）A.B.将图象向右平移后得到函数的图象C.在区间上单调递增D.在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断.【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得，由，得，而，则，所以，A正确；对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误；对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，因此区间上单调递增，C正确.对于D，函数的图象对称轴为，当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小，此时，，当为偶数时，，而，当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1；当或时，函数在上单调，最大值与最小值的差最大，，当或时均可取到等号，所以最大值与最小值之差取值范围为，D正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.12.如图，圆锥的底面直径和母线长均为6，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（）A.当时，直线与所成角的余弦值为B.当时，四面体的体积为C.当且面时，D.当时，【答案】ACD【解析】【分析】对于A，算出各个线段长度，将异面直线通过转化化为同面直线，根据余弦定理求解即可；对于B，根据题意先计算出四面体的体积，又因四面体中一个底面积是原来的四分之一，故可求解；对于C，法一：根据中位线定理，即可判断，法二：构建空间坐标系，将各点表示出来，同时设平面的一个法向量为，根据向量运算法则，根据可求解；对于D，法一：求出所需线段，根据余弦定理可求出，代入求解即可，法二：解出，同时，根据，则，即可求解.【详解】由题意可知是边长为6的等边三角形，，，.时，为的中点，取得，为直线与所成角或其补角，又根据余弦定理可得，再根据余弦定理可求得,所以,，.则，故A正确；在中，，，得，，且，则四面体的体积为.，为的中点，为的中点，故四面体体积为四面体体积的四分之一，得四面体体积为，故B错误；对于CD选项：【法一】当时，取的中点，则，所以面过作交于，所以面，此时为的中点,又因相较于点，所以面面，得面，所以，故C正确；当时，，在面内过作交于，则面，面，故此时得到的，中，，由余弦定理得，，，得，则，故D正确.故选：ACD.【法二】则以为坐标原点，过点与垂直的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，，，，，得，，，对于C，，则，，设平面的一个法向量为，则，，可取.面时，得，解得故C正确.对于D，，由得，，.故D正确.故选：ACD.三、填空题（每题5分，共20分）13.已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解.【详解】因为的定义域为，，所以为奇函数.因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增.因为为R上的奇函数，所以在上单调递增，因为，所以不等式即为，则.因为，所以，即.因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式.14.已知，且，则_____________.【答案】或【解析】【分析】根据条件，利用换底公式得到，从而得到或，即可求解.【详解】因为，整理得到，解得或，所以或，故答案为：或.15.一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果.【详解】标有数字的4只球排序共有种情况.要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况：①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况.②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出，其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为.故答案为：.16.已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点（其中在第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为_____.【答案】【解析】【分析】作出示意图，由切线性质结合双曲线定义可得两内切圆都与轴相切于，后设直线倾斜角为，由几何知识可得，后由两圆外切相关条件可得答案.【详解】设的内切圆的圆心为，的内切圆的圆心为，记边上的切点分别为，由切线的性质可得：，由双曲线定义可得：，即，则，又.则，又，则，即.同理可得，的内切圆也与轴相切于点.连接，则与轴垂直，设圆与相切于点，连接，过点作，记垂足为，则.设直线倾斜角为，则.在四边形中，注意到，又四边形内角和为，则，在中，，，则，则直线斜率，即.故答案为：.【点睛】结论点睛：双曲线上一点与两焦点形成的三角形的内切圆与x轴相切于双曲线顶点处.四、解答题（共70分）17.已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且.（1）证明：数列为等比数列，并求实数的值；（2）若，数列前项和为，求证：；（3）当时，设集合，.集合中元素的个数记为，求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据的关系，结合等比数列定义，即可证明结论；进而结合已知求出实数的值；（2）结合（1）可求出的表达式，进而可得表达式，继而推出只需证明，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可证明结论；（3）由题意可知中元素个数等价于满足的不同解的个数，利用反正思想推出，从而推出不等式共个不同解，即可得答案.【小问1详解】由题意得，两式相减可得，令可得，即.令可得，即，所以又.数列为首项为4，公比为2的等比数列.【小问2详解】由（1）可知，所以.，要证成立，只需证，即令，当时，单调递增,故，；【小问3详解】时，集合，即，中元素个数等价于满足的不同解的个数，如果，则，矛盾；如果，则，矛盾，又，，即，共个不同解，所以.【点睛】难点点睛：本题为数列的综合应用问题，解答的难点在于第二问，要注意列用类加的方法得出，从而要证成立，只需证，即，从而构造函数，结合导数解决问题.18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为等边三角形且垂直于底面.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）法一：先证，再由线面垂直的判定定理证明面，即可得证；法二：建系，由空间向量的坐标运算代入计算，即可证明；（2）法一：建系，由面面角的向量求法，代入计算，即可得到结果；法二：由面面角的定义，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】法一：证明：如图所示，取中点，为等边三角形，，又面垂直于底面，交线为，得面，又面.底面为直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得，又，得面，面，所以.法二：取中点，为等边三角形且垂直于底面，交线为，则，得面，又因为，，，可设，则以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，，得，，所以，得.【小问2详解】法一：由（1）知面，不妨设，则，以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，得，，，，，；设平面的一个法向量为，则，，可取；设平面的一个法向量为，则，即，可取.设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的正弦值为.法二：不妨设，为等边三角形且垂直于底面，交线为，底面为直角梯形，，，所以面，又，得面，面，得面面，交线为，取的中点，则，等边边长为2，则，，则面，则点到面的距离等于点到面的距离为，因为面，面，，均为直角三角形，，得，，.作，可得，所以平面与平面夹角的正弦值为.19.已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．【答案】（1）（2）存在，（3）4【解析】【分析】（1）根据作差得到，结合等比数列的定义计算可得；（2）假设存在实数，使得数列是等差数列，根据等差数列的定义作差得到，即可求出；（3）结合（2）可得的通项公式，即可得到，令，利用作差法说明单调性，即可求出的最大值.【小问1详解】因为①，②，②-①得，∴，而，∴，∴成首项为，公比为的等比数列，∴．【小问2详解】假设存在实数，使得数列是等差数列，∴为常数，∴，解得，∴存在使成等差数列，且公差为．【小问3详解】由（2）知，∴，∴不等式，即，令，则，∴在上单调递减，注意到，，∴时，，∴．20.已知函数．（1）当时，判断在上的单调性，并说明理由；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：．【答案】（1）在上单调递减，理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用多次求导的方法来判断出在上的单调性.（2）利用多次求导的方法，结合恒成立，列不等式来求得的取值范围.（3）根据（2）的结论，得到，求得的不等关系式，然后根据分组求和法以及等比数列的前项和公式证得不等式成立.【小问1详解】上单调递减，理由如下：当时，，，，所以函数在上单调递减，当时，，所以，所以，所以在上单调递减.【小问2详解】当时，恒成立①，当时，②，，设，时，，设，当时，，，要使①恒成立，由于②，则需恒成立，所以恒成立，所以，.此时，在上单调递增，，在上单调递增，，在上单调递增，使得恒成立.综上所述，的取值范围是.【小问3详解】由（2）可知，当，时，恒成立，即时，恒成立，下证：，时，，由上述分析可知，，即，则，所以，，即得证.【点睛】思路点睛：用导数分析单调性：首先对函数进行多次求导，通过分析导数符号来判断函数在不同区间的单调性，这一步为后续的不等式恒成立条件的推导奠定了基础.结合不等式求参数范围：通过设定不等式恒成立，结合函数的单调性，逐步推导出参数的取值范围.利用等比数列和斜率关系进行证明：在小问3中，通过对等比数列的求和以及利用斜率条件，成功证明了所需的不等式.21.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；（3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值.【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125；（2）分布列见解析，方差为（3）6【解析】【分析】（1）利用