2023-2024学年广西防城港市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西防城港市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数1+2i3−4i的共轭复数为(

)A.−15+25i B.−2.对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形(如图)，则原图形的面积是(

)A.2

B.2

C.223.进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上)，在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是35.用计算机生成了20组随机数，结果如下：

116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027

若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是(

)A.35 B.12 C.13204.已知单位向量a，b满足|a−b|=2a⋅b，则A.22b B.14b 5.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcosC+ccosB=b，且a=ccosB，则△ABC是(

)A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形6.在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为(

)A.0.125 B.0.1 C.0.075 D.0.057.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1A.2

B.157

C.177

D.8.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，则tan∠BAC：tanA.1：2：3

B.1：2：4

C.2：3：4

D.2：3：6二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n

B.若α//γ，β//γ，则α//β

C.若m//α，n//α，且m⊂β，n⊂β，则α//β

D.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n10.如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若AP=λAB+μAEA.满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B.满足λ+μ=1的点P有且只有一个

C.满足λ+μ=3的点P有且只有一个 D.满足λ+μ=32的点11.已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA与SB互相垂直，△SAB的面积为2，SA与圆锥底面所成的角为30°，则下列说法正确的是(

)A.圆锥的高为1 B.圆锥的体积为3π

C.圆锥侧面展开图的圆心角为3π D.二面角S−AB−O三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.他们从3～6岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、x份.因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本.若在7～12岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在16～18岁年龄段的问卷中抽取的份数为______．13.已知复数z满足|z−1+2i|=1，则|z|的最小值为______．14.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且a3GA+b5四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(3,4)，b=(1,x)．

(1)若a⊥(a−b)，求|a+2b|；

(2)16.(本小题15分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第75百分位数；

(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．17.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b−c=2acosC．

(1)求角A的大小；

(2)若D点在线段BC上，且AD平分∠BAC，若BD=2CD，且AD=3，求a．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，AD=2．

(1)证明：AM⊥平面PCD；

(2)若二面角M−BC−D为π6，求异面直线AB与PC所成角的正切值．19.(本小题17分)

在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态.记第n次抽奖中奖的概率为Pn．

(1)求P2，P3；

(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有Pn=aPn−1+bPn−2+cPn−3，试确定a，b参考答案1.B

2.C

3.B

4.D

5.D

6.D

7.C

8.A

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.120份

13.514.2π315.解：(1)由题意a−b=(2,4−x)，

因为a⊥(a−b)，则a⋅(a−b)=6+4(4−x)=0，得x=112，

则a+2b=(5,15)，所以|a+2b|=25+225=51016.解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，

∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

∴a=0.030．

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，

设第75百分位数为m，

由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84；

(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，

成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，

故z−=10×54+66×2010+20=62．

所以两组市民成绩的总平均数是62，

s2=117.解：(1)由2b−c=2acosC，得2sinB−sinC=2sinAcosC，即2sin(A+C)−sinC=2sinAcosC，

可得2sinAcosC+2cosAsinC−sinC=2sinAcosC，整理得sinC(2cosA−1)=0，

因为△ABC中，sinC>0，所以2cosA−1，可得cosA=12，结合0<A<π，得A=π3；

(2)因为∠BAC=π3，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=π6，

由S△ABD+S△ACD=S△ABC，得12AD⋅ABsinπ6+12AD⋅ACsinπ6=12AB⋅ACsinπ3，

即18.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，由底面ABCD为矩形，得CD⊥AD，

由侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，

得CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，则CD⊥AM，

又侧面PAD是正三角形，M是PD的中点，则PD⊥AM，

又PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD．

(2)如图，

在平面PAD内，过点M作MH⊥AD，垂足为H，显然MH=32，

由侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，得MH⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，

则BC⊥MH，过H作HN⊥BC，垂足为N，连接MN，显然MH∩HN=H，

MH，HN⊂平面MNH，则BC⊥平面MNH，而MN⊂平面MNH，

因此BC⊥MN，

则∠MNH即为二面角M−BC−D的平面角，其大小为π6，

在Rt△MHN中，tan∠MNH=MHNH=33，则NH=32，

由NH//CD，DH//CN，得四边形CDHN为平行四边形，则CD=32，

由AB/​/CD，得∠PCD(或其补角)为异面直线AB与PC所成角，

由(1)知CD⊥平面PAD19.解：(1)P2=13×13+23×23=59，

P3=P2×13+23×13×1+13×23×2