中考数学压轴题及答案

中考数学压轴题及答案1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点.（1）求抛物线的解析式.（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。解：设抛物线的解析式为，依题意得：c=4且解得所以所求的抛物线的解析式为（2）连接DQ，在Rt△AOB中，所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=

7–5=2因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CAB即所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–=，所以t的值是（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO即所以QE=，DE=，所以OE=OD+DE=2+=，所以Q（，）设直线AQ的解析式为则由此得所以直线AQ的解析式为联立由此得所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0）…1分将A、B、C三点的坐标代入得……2分解得：……3分所以这个二次函数的表达式为：……3分（2）存在，F点的坐标为（2，－3）……4分理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：∴E点的坐标为（－3，0）……4分由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F，坐标为（2，－3）……5分（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，－3），直线AG为．……………8分设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．……9分当时，△APG的面积最大此时P点的坐标为，．……10分3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为………1分根据题意，得，解得∴抛物线的解析式为………2分⑵存在。…………3分由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y＝4－x。…………5分又P点(x,y)在抛物线上，∴，即…………6分解得，，应舍去。∴。……7分∴，即点P坐标为。……8分②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。……9分⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,得CB＝,CD＝,BD＝,………………10分∴,∴∠BCD＝90°,………………………11分设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，∵CF＝DF＝1,∴∠CDF＝45°,由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3），∴DM∥BC,∴四边形BCDM为直角梯形,………………12分由∠BCD＝90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。……………13分4.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC的面积；（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝36a－6b＋8,0＝4a＋2b＋8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3),b＝－\f(8,3)))∴所求抛物线的表达式为y＝－eq\f(2,3)x2－eq\f(8,3)x＋8（3）∵AB＝8，OC＝8∴S△ABC＝eq\f(1,2)×8×8=32（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,AB)即eq\f(EF,10)＝eq\f(8－m,8)∴EF＝eq\f(40－5m,4)过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝eq\f(4,5)∴eq\f(FG,EF)＝eq\f(4,5)∴FG＝eq\f(4,5)·eq\f(40－5m,4)＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝eq\f(1,2)（8－m）×8－eq\f(1,2)（8－m）（8－m）＝eq\f(1,2)（8－m）（8－8＋m）＝eq\f(1,2)（8－m）m＝－eq\f(1,2)m2＋4m自变量m的取值范围是0＜m＜8（5）存在．理由：∵S＝－eq\f(1,2)m2＋4m＝－eq\f(1,2)（m－4）2＋8且－eq\f(1,2)＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形．5.已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)．……2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0)，∴AB＝4．∴在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，∴∴b＝………………3分当时，∴………………4分∴…………5分⑶存在．……………6分理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分说明：少求一个点的坐标扣1分．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴点M的坐标为．……………12分说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．2014中考数学压轴题及答案40例（2）5.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：①四边形为平行四边形；②平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．（1）法一：由题可知．，，． （1分），即为的中点． （2分）法二：，，． （1分）又轴，． （2分）（2）①由（1）可知，，，，． （3分），又，四边形为平行四边形． （4分）②设，轴，则，则．过作轴，垂足为，在中，．平行四边形为菱形． （6分）（3）设直线为，由，得，代入得：直线为． （7分）设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，，解得．得公共点为．所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分）6.如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，∴m=-2×(-2)-1=3.………………（2分）∴B(-2,3)∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，∴点A的坐标为(4,0).设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).……（3分）将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.∴所求的抛物线对应的函数关系式为，即.（6分）（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，ABCODExyABCODExyx=2GFH在Rt△BGC中，BC=.∵CE=5，∴CB=CE=5.……（9分）②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.∴△DFB≌△DHE（SAS），∴BD=DE.即D是BE的中点.………………（11分）（3）存在.………………（12分）由于PB=PE，∴点P在直线CD上，∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.将D(0,-1)C(2,0)代入，得.解得.∴直线CD对应的函数关系式为y=x-1.∵动点P的坐标为(x，)，∴x-1=.………………（13分）解得，.∴，.∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，).…（14分）7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、C（，0）三点，且-=5．（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：（解析）解：（1）解法一：∵抛物线=－++经过点A（0，－4），∴=－4……1分又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，∴+=，=－=6 2分由已知得（-）=25又（-）=（+）－4=－24∴－24=25解得=± 3分当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴=－． 4分解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，即方程2－3+12=0的两个根．∴=， 2分∴－==5，解得=± 3分（以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分又∵=－－－4=－（+）+ 6分∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P必是直线=-3与抛物线=－--4的交点， 8分∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分8.已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．（1）写出直线的解析式．（2）求的面积．（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？（解析）解：（1）在中，令，， 1分又点在上的解析式为 2分（2）由，得 4分，， 5分 6分（3）过点作于点 7分 8分由直线可得：在中，，，则， 9分 10分 11分此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 12分2014中考数学压轴题及答案40例（5）16.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意知点的坐标为．设的函数关系式为．又点在抛物线上，，解得．抛物线的函数关系式为（或）．（2）与始终关于轴对称，与轴平行．设点的横坐标为，则其纵坐标为，，，即．当时，解得．当时，解得．当点运动到或或或时，，以点为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点不存在．理由如下：若存在满足条件的点在上，则，（或），．过点作于点，可得．，，．点的坐标为．但是，当时，．不存在这样的点构成满足条件的直角三角形．17.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x2＋bx＋c得 2分解得 3分∴该抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3． 4分（2）存在． 5分该抛物线的对称轴为x＝－＝－1∵抛物线交x轴于A、B两点，∴A、B两点关于抛物线的对称轴x＝－1对称．由轴对称的性质可知，直线BC与x＝－1的交点即为所求的Q点，此时△QAC的周长最小，如图1．将x＝0代入y＝－x2－2x＋3，得y＝3．∴点C的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，将B(－3，0)，C(0，3)代入，得解得∴直线BC的解析式为y＝x＋3． 6分联立解得∴点Q的坐标为(－1，2)． 7分（3）存在． 8分设P点的坐标为（x－x2－2x＋3）（－3＜x＜0），如图2．∵S△PBC＝S四边形PBOC－S△BOC＝S四边形PBOC－×3×3＝S四边形PBOC－当S四边形PBOC有最大值时，S△PBC就最大．∵S四边形PBOC＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC 9分＝BE·PE＋(PE＋OC)·OE＝(x＋3)(－x2－2x＋3)＋(－x2－2x＋3＋3)(－x)＝－(x＋)2＋＋当x＝－时，S四边形PBOC最大值为＋．∴S△PBC最大值＝＋－＝． 10分当x＝－时，－x2－2x＋3＝－(－)2－2×(－)＋3＝．∴点P的坐标为(－，)． 11分18.如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋，得0＝a(－2－1)2＋．∴a＝－ 1分∴该抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋即y＝－x2＋x＋． 3分（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点∴xD＝－＝1，yD＝－×12＋×1＋＝．∴点D的坐标为(1，)．如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝，AN＝3，∴AD＝＝6．∴∠DAO＝60° 4分∵OM∥AD①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．∴OP＝6∴t＝6（s） 5分②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．过点O作OE⊥AD轴于E．在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．∴t＝5（s） 6分③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．∴t＝4（s）综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝t． 8分∴S四边形BCPQ＝S△COB－S△POQ＝×6×－×(6－2t)×t＝(t－)2＋ 9分∴当t＝（s）时，S四边形BCPQ的最小值为． 10分此时OQ＝6－2t＝6－2×＝3，OP＝，OF＝，∴QF＝3－＝，PF＝．∴PQ＝＝＝ 11分19.如图，已知直线y＝－x＋1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E．（1）请直接写出点C，D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．解：（1）C(3，2)，D(1，3)； 2分（2）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)代入得解得 4分∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1； 5分（3）①当点A运动到点F（F为原B点的位置）时∵AF＝＝，∴t＝＝1（秒）．当0＜t≤1时，如图1．B′F＝AA′＝t∵Rt△AOF∽Rt△∠GB′F，∴＝．∴B′G＝·B′F＝×t＝t正方形落在x轴下方部分的面积为S即为△B′FG的面积S△B′FG∴S＝S△B′FG＝B′F·B′G＝×t×t＝t2 7分②当点C运动到x轴上时∵Rt△BCC′∽Rt△∠AOB，∴＝．∴CC′＝·BC＝×＝，∴t＝＝2（秒）．当1＜t≤2时，如图2．∵A′B′＝AB＝，∴A′F＝t－．∴A′G＝∵B′H＝t∴S＝S梯形A′B′HG＝(A′G＋B′H)·A′B′＝(＋t)·＝t－ 9分③当点D运动到x轴上时DD′＝t＝＝3（秒）当2＜t≤3时，如图3．∵A′G＝∴GD′＝－＝∴D′H＝－∴S△D′GH＝()(－)＝()2∴S＝S正方形A′B′C′D′－S△D′GH＝()2－()2＝－t2＋t－ 11分（4）如图4，抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积．∵t＝3，BB′＝AA′＝DD′＝∴S阴影＝S矩形BB′C′C 13分＝BB′·BC＝×＝15 14分20.已知：抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y＝x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（，），N（，）；（2）如图，将△NAC沿轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y＝x2－2x＋a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．解：（1）M(1，a－1)，N(a，－a)． 4分（2）∵点N是△NAC沿轴翻折后点N的对应点∴点N与点N关于y轴对称，∴N(－a，－a)．将N(－a，－a)代入y＝x2－2x＋a，得－a＝(－a)2－2×(－a)＋a整理得4a2＋9a＝0，解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－∴N(3，)，∴点N到轴的距离为3．∵a＝－，抛物线y＝x2－2x＋a与y轴相交于点A，∴A(0，－)．∴直线AN的解析式为y＝x－，将y＝0代入，得x＝．∴D(，0)，∴点D到轴的距离为．∴S四边形ADCN＝S△ACN＋S△ACN＝××3＋××＝ 8分（3）如图，当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC．∴将点N向上平移－2a个单位可得到点P，其坐标为(a，－a)，代入抛物线的解析式，得：－a＝(a)2－2×a＋a，整理得8a2＋3a＝0．解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．∴P(－，) 10分当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分．∴OA＝OC，OP＝ON，点P与点N关于原点对称．∴P(－a，a)，代入y＝x2－2x＋a，得a＝(－a)2－2×(－a)＋a，整理得8a2＋15a＝0．解得a1＝0（不合题意，舍去），a2＝－．∴P(，－) 12分∴存在这样的点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(－，)或(，－)．2014中考数学压轴题及答案40例（6）21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值22.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？xyDCAOB②设△BCF的面积为SxyDCAOB23.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．24.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．25.如图1，已知抛物线y＝ax2－2ax－3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，－3)，且tan∠BAD＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）连结CD，求证：AD⊥CD；（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．26.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．27.已知：t1，t2是方程t2＋2t－24＝0，的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．21解：（1）点A的坐标为（4，8）． 1分将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2＋bx，得解得a＝－，b＝4．∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x． 3分（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝＝，即＝＝．∴PE＝AP＝t，PB＝8－t．∴点E的坐标为（4＋t，8－t）．2∴点G的纵坐标为－(4＋t)2＋4(4＋t)＝－t2＋8． 5分∴EG＝－t2＋8－(8－t)＝－t2＋t∵－＜0，∴当＝4时，线段EG最长为2． 7分②共有三个时刻． 8分t1＝，t2＝，t3＝40－． 11分22xxyDCAOBFMPE解：（1）A（－1，0），B（3，0），C（0，3）． 2分抛物线的对称轴是：x＝1． 3分（2）①设直线BC的解析式为：y＝kx＋b．将B（3，0），C（0，3）分别代入得：解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3．当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴E（1，2）．当x＝m时，y＝－m＋3，∴P（m，－m＋3）． 4分将x＝1代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝4，∴D（1，4）．将x＝m代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝－m2＋2m＋3∴F（m，－m2＋2m＋3）． ∴线段DE＝4－2＝2，线段PF＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3∵PF∥DE，∴当PF＝DE时，四边形PEDF为平行四边形．由－m2＋3m＝2，解得：m1＝2，m2＝1∴当m＝2时，四边形PEDF为平行四边形． 7分②设直线PF与x轴交于点M．由B（3，0），O（0，0），可得：OB＝OM＋MB＝3．则S＝S△BPF＋S△CPF 8分＝PFBM＋PFOM＝PFOB＝(－m2＋3m)×3＝－m2＋m（0≤m≤3）即S与m的函数关系式为：S＝－m2＋m（0≤m≤3）． 9分23解：（1）∵点D是OA的中点，∴OD＝2，∴OD＝OC．又∵OP是∠COD的角平分线，∴∠POC＝∠POD＝45°．∴△POC≌∠POD，∴PC＝PD； 3分（2）如图，过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．易知点F的坐标为（2，2），故BF＝2，作PM⊥BF．∵△PBF是等腰直角三角形，∴PM＝BF＝1．∴点P的坐标为（3，3）．∵抛物线经过原点∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx．又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0）∴解得∴过O、P、D三点的抛物线的解析式为y＝x2－2x； 7分（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE＋PD＝EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．∵抛物线y＝x2－2x的顶点E的坐标（1，－1），C点的坐标（0，2）设CE所在直线的解析式为y＝kx＋b则解得∴CE所在直线的解析式为y＝－3x＋2．联立，解得，故点P的坐标为（，）．△PED的周长即是CE＋DE＝； 11分（4）存在点P，使∠CPN＝90°，其坐标为（，）或（2，2）． 14分24解：（1）∵因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4）∴可设其对应的函数关系式为y＝a(x－2)2＋4． 1分又抛物线经过坐标原点O（0，0），∴a(0－2)2＋4＝0． 2分解得a＝－1． 3分∴所求函数关系式为y＝－(x－2)2＋4，即y＝－x2＋4x． 4分（2）①点P不在直线ME上，理由如下： 5分根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0）．设直线ME的解析式为y＝kx＋b，将M（2，4），E（4，0）代入，得解得．∴直线ME的解析式为y＝－2x＋8． 6分当t＝时，OA＝AP＝，∴P（，）． 7分∵点P的坐标不满足直线ME的解析式y＝－2x＋8∴当t＝时，点P不在直线ME上． 8分②S存在最大值，理由如下： 9分∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA＝AP＝t．∴P（t，t），N（t，－t2＋4t），∴AN＝－t2＋4t（0≤≤3）∴PN＝AN－AP＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t＝t(3－t)≥0 10分（ⅰ）当PN＝0，即t＝0或t＝3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD．∴S＝DC·AD＝×3×2＝3． 11分（ⅱ）当PN≠0时，