2025年菁优高考数学解密之多选题

Page2025年菁优高考数学解密之多选题一．多选题（共25小题）1．（2024•屯溪区校级模拟）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则A．双曲线的离心率 B．若，则的渐近线方程为 C．若，则的渐近线方程为 D．若，则的渐近线方程为2．（2024•湖北模拟）在中，，，所对的边为，，，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是A．若，则 B．的最大值为 C． D．角的最小值为3．（2024•郴州模拟）如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是A．三棱锥的体积是定值 B．存在点，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则的轨迹的长度为4．（2024•随州模拟）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则A．异面直线与所成角的余弦值为 B．点为正方形内一点，当平面时，的最大值为 C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为 D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为5．（2024•宜春模拟）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有A．， B．， C． D．6．（2024•河池二模）若，则下列结论正确的是A． B． C． D．7．（2024•浙江模拟）已知随机变量，，其中，已知随机变量的分布列如下表12345若，则A． B． C． D．8．（2024•滁州模拟）已知事件，满足（A），（B），则下列结论正确的是A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么9．（2024•盐湖区一模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则10．（2024•江西模拟）已知定义在上的函数满足，当，，，时，．下列结论正确的是A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增11．（2024•盐湖区一模）抛物线的焦点为，，、，是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则A．若，则直线的斜率为或 B．若，则 C．若和不平行，则 D．若，则的最大值为12．（2024•保定三模）如图，在正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是A．，，，四点共面 B．平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面13．（2024•青岛模拟）已知动点，分别在圆和上，动点在轴上，则A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点作圆的切线，则切线长最短为14．（2024•江苏模拟）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则A．当时，平面 B．任意，，三棱锥的体积是定值 C．存在，，使得与平面所成的角为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为15．（2024•江西一模）下列说法正确的是A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是17 D．若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为1616．（2024•石家庄模拟）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人17．（2024•江西一模）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值可能是A． B． C．1 D．218．（2024•江西一模）已知正方体的棱长为1，是棱的中点，是平面上的动点（如图），则下列说法正确的是A．若点在线段上，则平面 B．平面平面 C．若，则动点的轨迹为抛物线 D．以的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，旋转过程中，三棱锥体积的取值范围为19．（2024•随州模拟）设正实数，满足，则下列结论正确的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值20．（2024•菏泽模拟）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为A． B． C． D．21．（2024•临沂二模）已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若和都为递增数列，则22．（2024•浙江一模）已知正方形在平面直角坐标系中，且，则直线的方程可能为A． B． C． D．23．（2024•泰安二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是A． B． C．为递减数列 D．的前5项和为24．（2024•九龙坡区模拟）已知样本数据，，的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是A．数据，，的平均数为6 B．数据，，的方差为9 C．数据，，，2的方差为1 D．数据的平均数为525．（2024•河南模拟）已知函数，下列说法正确的是A．的最小正周期为 B．点为图象的一个对称中心 C．若在上有两个实数根，则 D．若的导函数为，则函数的最大值为

2025年菁优高考数学解密之多选题参考答案与试题解析一．多选题（共25小题）1．（2024•屯溪区校级模拟）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则A．双曲线的离心率 B．若，则的渐近线方程为 C．若，则的渐近线方程为 D．若，则的渐近线方程为【答案】【考点】求双曲线的离心率；双曲线的几何特征；求双曲线的渐近线方程【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用，可得，与渐近线斜率相比较即可构造不等式求得离心率，知正确；根据斜率关系可知直线为双曲线的一条渐近线，利用可构造方程求得正确；分别利用和可构造方程求得正误．【解答】解：对于，，，，，，，又与第二象限内的渐近线交于点，，即，，，正确；对于，由知：，又，，直线即为双曲线的一条渐近线，，，又，，，，，，，整理可得：，即，，，即，解得：，的渐近线方程为，错误；对于，，，，，整理可得：，即，，，的渐近线方程为，正确；对于，，，，，，，，整理可得：，，，即，的渐近线方程为，错误．故选：．【点评】本题考查双曲线离心率、渐近线的求解问题，解题关键是能够利用余弦定理和渐近线斜率构造关于，，的方程，进而求得双曲线的离心率和渐近线方程．是中档题．2．（2024•湖北模拟）在中，，，所对的边为，，，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是A．若，则 B．的最大值为 C． D．角的最小值为【答案】【考点】正弦定理【专题】转化思想；计算题；数学运算；解三角形；综合法【分析】对于，由余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．对于，由已知利用基本不等式可求得，进而根据三角形的面积公式即可求解．对于，由题意可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算，余弦定理即可求解．对于，利用基本不等式可求得，利用余弦定理可求，结合范围，利用余弦函数的性质即可求解．【解答】解：对于，若，，，由余弦定理，可得，可得，所以的面积为，故正确；对于，因为，可得，当且仅当时等号成立，此时，可得，所以的面积为，故正确；对于，因为边上的中点为，可得，所以两边平方，可得，可得，解得，故正确；对于，因为，可得，当且仅当时等号成立，所以，因为，可得，，所以的最大值为，故错误．故选：．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算以及余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．3．（2024•郴州模拟）如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是A．三棱锥的体积是定值 B．存在点，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则的轨迹的长度为【答案】【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【专题】转化法；立体几何；数学运算；转化思想【分析】对于：利用等体积转换即可求得体积为定值；对于：建立空间直角坐标系，设，，，得出，，利用向量夹角公式即可求解；对于：求出平面的法向量为，0，，利用向量夹角公式即可求解；对于：由可得，即可求解．【解答】解：对于，（定值），故正确；以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，1，，设，，，，则，对于，，与的夹角满足，故错误；对于，平面的法向量为，0，，直线与平面所成的角的正弦值为，故正确；对于，，2，，，由可得，化简可得，在平面内，令，得，令，得，所以的轨迹的长度为，正确．故选：．【点评】本题考查等体积法求体积以及空间向量的应用，属于中档题．4．（2024•随州模拟）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则A．异面直线与所成角的余弦值为 B．点为正方形内一点，当平面时，的最大值为 C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为 D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为【答案】【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；异面直线及其所成的角；球的体积和表面积【专题】立体几何；数学运算；空间角；对应思想；向量法【分析】对于：根据正方体的性质得出在△中即为异面直线与所成的角，即可判定；对于：取的中点，的中点，连接，，，得到，，即可证明面面，则根据已知得出轨迹为线段，则过作，此时取得最小值，即可判定；对于：过点、、的平面截正方体所得的截面图形为五边形，得出，，设，，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，得出，，，的坐标，则可根据，列式得出，，即可得出，，在△中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五边形的周长，即过点、、的平面截正方体所得的截面周长，即可判定；对于：取的中点，则，过作，且使得，则为三棱锥的外接球的球心，则为外接球的半径，计算得出半径即可求出球的表面积，即可判定．【解答】解：对于选项，，在△中即为异面直线与所成的角，，异面直线与所成的角的余弦值为．故正确；对于选项，过点、、的平面截正方体，平面平面，则过点、、的平面必与与交于两点，设过点、、的平面必与与分别交于、，过点、、的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得，如图过点、、的平面截正方体所得的截面图形为五边形，如图以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，，则，0，，，2，，，1，，，2，，，0，，，，，，，，，解得，，，，，在△中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即过点、、的平面截正方体所得的截面周长为．故正确；对于选项，取的中点，的中点，取的中点，连接，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，，面，面面，又面，面，轨迹为线段，在中，过作，此时取得最小值，在△中，，，，在△中，，，，在△中，，，，如图，在中，，即的最小值为，而的最大值为．故错误；对于选项，如图所示，取的中点，则，过作，且使得，则为三棱锥的外接球的球心，所以为外接球的半径，在中，，，．故项正确，故选：．【点评】本题考查线面角以及利用空间向量法解决球体相关问题，属于中档题．5．（2024•宜春模拟）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有A．， B．， C． D．【答案】【考点】元素与集合关系的判断【专题】综合法；综合题；集合；集合思想；数学运算【分析】由开点的定义和元素和集合的关系可求得结果．【解答】解：对于，对任意的，存在，使得，故正确；对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，，使得，当时，该式不成立，故错误；对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在，使得，故正确；对于，集合，，，当时，，时，使得不成立，故错误．故选：．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．6．（2024•河池二模）若，则下列结论正确的是A． B． C． D．【答案】【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式【专题】转化思想；数学运算；转化法；不等式的解法及应用【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：，，，，即，故正确；不妨取，，，，，显然，故错误；，，，，即，故正确；，，，，，，正确．故选：．【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．7．（2024•浙江模拟）已知随机变量，，其中，已知随机变量的分布列如下表12345若，则A． B． C． D．【答案】【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列【专题】整体思想；概率与统计；综合法；数学运算【分析】由已知结合概率的性质及期望公式先检验，，然后再由期望及方差的性质即可求解．【解答】解：由，可得，由，可得，从而得：，，故正确，错误，，故项正确，因为，所以．，故错误．故选：．【点评】本题主要考查离散型随机变量及其分布列的求解，属于基础题．8．（2024•滁州模拟）已知事件，满足（A），（B），则下列结论正确的是A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么【答案】【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件【专题】数学运算；定义法；概率与统计；方程思想【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可．【解答】解：对于选项，，故错误；对于选项，如果，那么（A），故正确；对于选项，如果与互斥，那么（A）（B），故正确；对于选项，如果与相互独立，那么，故正确．故选：．【点评】本题考查互斥事件和独立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（2024•盐湖区一模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则【答案】【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】转化思想；逻辑推理；空间位置关系与距离；综合法【分析】根据空间中线线关系，线面关系，面面关系，即可分别求解．【解答】解：对选项，，，或与相交或与异面，选项错误；对选项，，，，选项正确；对选项，，，与内的某条直线平行，也平行该直线，又，，选项正确；对选项，，，，，选项正确．故选：．【点评】本题考查空间中线线关系，线面关系，面面关系，属基础题．10．（2024•江西模拟）已知定义在上的函数满足，当，，，时，．下列结论正确的是A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增【答案】【考点】函数的奇偶性；抽象函数的周期性【专题】函数的性质及应用；逻辑推理；转化法；转化思想【分析】令，可得；令及题意条件，可得（1）；令，可得当时，；令，可得①，令，可得②，由①②可得，进而可判断的正误；由及赋值即可判断的正误；由可得，解方程组即可判断的正误；令，，及函数的单调性即可判断的正误．【解答】解：令可得：；令可得：（1）（1）．因为当，，时，，所以（1），所以（1）．令可得：，即，又因为当，，时，，所以，所以，所以当时，．令，可得①，所以，，两式相加可得：．令，可得②．①②可得，化简可得，所以是奇函数，故正确；由，可得（2）（1），（3）（2），（4）（3），，，故错误；由可得解得，故正确；令，，可得．令，则，，因为当时，，所以，，所以，即，所以在上单调递增．因为在上为奇函数，所以在上单调递增，故正确．故选：．【点评】本题考查抽象函数的基本性质，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．11．（2024•盐湖区一模）抛物线的焦点为，，、，是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则A．若，则直线的斜率为或 B．若，则 C．若和不平行，则 D．若，则的最大值为【答案】【考点】直线与抛物线的综合【专题】数学运算；计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；综合法【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可判断选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断选项；利用三角形三边关系可判断选项；利用余弦定理、基本不等式可判断选项．【解答】解：易知抛物线的焦点为，对于选项，若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，因为，则在直线上，设直线的方程为，联立可得，则△，由韦达定理可得，，因为，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此时，直线的斜率为，对；对于选项，当时，则在直线上，，则，对；对于选项，当和不平行时，则、、三点不共线，所以，，错；对于选项，设，，当时，，由选项可得，所以，，即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，对．故选：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查圆锥曲线中的最值问题解决方法，是中档题．12．（2024•保定三模）如图，在正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是A．，，，四点共面 B．平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面【答案】【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行；平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】立体几何；综合法；转化思想；逻辑推理【分析】由题意可得过，，三点的平面为一个正六边形，判断出的真假；分别连接，和，，截面是等腰梯形，判断出的真假；分别取，的中点，，易证显然不平行平面，可判断出的真假；平面，可判断出的真假．【解答】解：对于：如图经过，，三点的平面为一个正六边形，点在平面外，所以，，，四点不共面，所以选项错误；对于：分别连接，和，，则平面即平面，截面是等腰梯形，所以选项正确；对于：分别取，的中点，，则平面即为平面，由正六边形，可知，所以不平行于，又，平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故选项错误；对于：因为，是等腰三角形，所以，所以，所以，因为，是，的中点，易证，由正方体可得平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故选项正确．故选：．【点评】本题考查直线与平面平行的证法及平面与平面垂直的证法，属于中档题．13．（2024•青岛模拟）已知动点，分别在圆和上，动点在轴上，则A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点作圆的切线，则切线长最短为【答案】【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数【专题】转化思想；直线与圆；数学运算；综合法【分析】项，根据圆的方程即可得；项，计算圆心距与半径之间的关系；项，根据对称性可得；项，利用勾股定理可得．【解答】解：的半径为，错误；圆和圆圆心距为，则圆和圆相离；项，作关于轴的对称点，则，所以，错误；项，点到圆的切线长最小时，轴，圆心到轴的距离为2，切线长的最小值为：，正确．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．14．（2024•江苏模拟）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则A．当时，平面 B．任意，，三棱锥的体积是定值 C．存在，，使得与平面所成的角为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为【答案】【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；直线与平面垂直【专题】立体几何；综合法；数学运算；转化思想；逻辑推理【分析】根据三垂线定理及线面垂直的判定定理，三棱锥的体积公式，线面角的求法，坐标法求点面距，即可分别求解．【解答】解：对选项，当时，与重合，根据三垂线定理易证，，从而可得平面，即平面，选项正确；对选项，与相交，到平面的距离不是定值，又的面积为定值，对任意，，三棱锥的体积不是定值，选项错误；对选项，当时，与重合，此时易知平面，当时，与重合，如图，设，连接，，易知平面，又平面，平面平面，且平面平面，在平面的射影为，与平面所成角为，又易知，存在，，使得与平面所成的角为，选项正确；对选项，正方体的外接球的球心为正方体的体心，且外接球的直径为正方体的体对角线，，，当时，为靠近的三等分点，建系如图，则，0，，，2，，，，，，1，，，，，设平面的法向量为，则，取，球心到平面的距离，平面截该正方体的外接球所得截面小圆半径，平面截该正方体的外接球所得截面小圆的面积为，选项正确．故选：．【点评】本题考查线面垂直的证明，三棱锥的体积变化问题，线面角的变化问题，球的截面面积的求解，三垂线定理的应用，坐标法的应用，化归转化思想，属难题．15．（2024•江西一模）下列说法正确的是A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是17 D．若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为16【答案】【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数【专题】综合法；数学运算；概率与统计；整体思想【分析】利用概率的定义即可判断；根据平均数求得的值，然后利用方差公式求解即可判断；根据百分位数的求法即可判断；利用方差公式求解即可判断．【解答】解：对于，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故正确；对于，数据1，2，，6，7的平均数是4，，这组数据的方差是，故错误；对于，8个数据50百分位为，第50百分位数为，故错误；对于，依题意，，则，所以数据，，，的标准差为16，正确．故选：．【点评】本题主要考查了平均数、百分位数和标准差的计算，属于基础题．16．（2024•石家庄模拟）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人【答案】【考点】图表示交并补混合运算【专题】集合；转化思想；数学运算；计算题；综合法【分析】作出韦恩图，数形结合求解．【解答】解：设参加100米、400米、1500米三个项目的集合分别为、、，则（A），（B），（C），，，，设，可得，解得，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人，故选：．【点评】本题考查韦恩图、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．（2024•江西一模）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值可能是A． B． C．1 D．2【答案】【考点】函数恒成立问题【专题】综合法；数学抽象；函数的性质及应用；函数思想【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案．【解答】解：因为，所以，即函数的图象关于直线对称．当时，为增函数；令，则，时，，，所以，所以为增函数，所以当时，为增函数．由对称性可知，当时，为减函数．因为恒成立，所以恒成立，即，解得．故选：．【点评】本题主要考查了函数的对称性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．18．（2024•江西一模）已知正方体的棱长为1，是棱的中点，是平面上的动点（如图），则下列说法正确的是A．若点在线段上，则平面 B．平面平面 C．若，则动点的轨迹为抛物线 D．以的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，旋转过程中，三棱锥体积的取值范围为【答案】【考点】棱柱的结构特征；平面与平面垂直；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行；命题的真假判断与应用【专题】运动思想；数形结合；数学运算；空间位置关系与距离；逻辑推理；综合法【分析】证明面面平行，可得线面平行判定；由直线与平面垂直可得平面与平面垂直判断；由双曲线的定义求出点的轨迹判定；由运动思想求得三棱锥体积的取值范围判断．【解答】解：在正方体中，由，且，可得四边形为平行四边形，则，同理可得，由面面平行的判定可得平面平面，若点在线段上，则平面，得平面，故正确；由正方体的结构特征可得平面，又平面，平面平面，故正确；为定值，满足的点在以为顶点，为轴的圆锥的侧面上，又在平面上，且平面，点的运动轨迹是双曲线，故错误；设，的中点分别为，，则点的运动轨迹是平面内以为圆心，为半径的圆，，，平面，则平面平面，设与圆的交点分别为，（点位于点，之间），可知当点分别位于点，时，点到平面的距离分别取到最小值和最大值，且距离的最小值，距离的最大值．的面积，，．三棱锥体积的取值范围为，故正确．故选：．【点评】本题考查正方体的结构特征，考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，综合性强，难度较大．19．（2024•随州模拟）设正实数，满足，则下列结论正确的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【答案】【考点】基本不等式及其应用【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由，根据，逐一判断各选项即可．【解答】解：正实数，满足，对于，即有，可得，即有，即有时，取得最小值4，故正确；对于，由，可得有最大值，故错误；对于，由，可得时，取得最大值，故正确；对于，由可得，则，当时，取得最小值，故正确．综上可得，，均正确．故选：．【点评】本题考查了基本不等式及其应用，考查了转化思想，属于基础题．20．（2024•菏泽模拟）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为A． B． C． D．【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量的投影向量【专题】平面向量及应用；转化法；转化思想；数学运算【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，以及向量的数量积运算，即可求解．【解答】解：向量，则，向量在向量方向上的投影向量为，与夹角，则，解得，故，对于，满足，，符合题意，故正确；对于，，不符合题意，故错误；对于，，不符合题意，故错误；对于，满足，，符合题意，故正确．故选：．【点评】本题主要考查向量的投影公式，以及向量的数量积运算，是基础题．21．（2024•临沂二模）已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若和都为递增数列，则【答案】【考点】等差数列的前项和；等差数列的性质【专题】数学运算；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】根据题意，求得，结合，可判定错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定正确；由，求得，可判定正确；根据题意，求得任意的，，结合的正负不确定，可判定错误．【解答】解：对于中，由，，可得，所以，又由，所以错误；对于中，由，所以正确；对于中，由，所以，又因为，则，所以正确；对于中，因为为递增数列，可得公差，因为为递增数列，可得，所以对任意的，，但的正负不确定，所以错误．故选：．【点评】本题考查等比数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．（2024•浙江一模）已知正方形在平面直角坐标系中，且，则直线的方程可能为A． B． C． D．【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用直线的夹角公式求出结果．【解答】解：直线，整理得，由于直线的斜率为，设直线的斜率，利用直线的夹角公式，，解得或；故满足条件的直线方程只有，错误．故选：．【点评】本题考查的知识点：直线的方程，夹角公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．23．（2024•泰安二模）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是A． B． C．为递减数列 D．的前5项和为【答案】【考点】等差数列的前项和【专题】转化思想；数学运算；等差数列与等比数列；综合法【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可．【解答】解：等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于，，错误；对于，，正确；对于，，为递减数列，正确；对于，，所以的前5项和为，错误．故选：．【点评】本题主要考查等差数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．24．（2024•九龙坡区模拟）已知样本数据，，的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是A．数据，，的平均数为6 B．数据，，的方差为9 C．数据，，，2的方差为1 D．数据的平均数为5【答案】【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；用样本估计总体的离散程度参数【专题】定义法；数学运算；概率与统计；方程思想【分析】利用平均数、方差的定义和性质求解．【解答】解：样本数据，，的平均数为2，方差为1，对于，数据，，的平均数为，故错误；对于，数据，，的方差为，故正确；对于，数据，，，2的方差为，故错误；对于，样本数据，，的平均数为2，方差为1，，，，则数据的平均数为5，故正确．故选：．【点评】本题考查平均数、方差的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．（2024•河南模拟）已知函数，下列说法正确的是A．的最小正周期为 B．点为图象的一个对称中心 C．若在上有两个实数根，则 D．若的导函数为，则函数的最大值为【答案】【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性【专题】综合法；数学运算；三角函数的图象与性质；整体思想【分析】由三角函数的性质逐一判断出所给命题的真假．【解答】解：中，因为，所以函数的最小正周期，所以正确；中，因为，，所以不正确；中，，，可得，，当，时，有唯一解，当，，且时，两解，所以，时，有两解，所以正确；中，，所以，，所以当，时，即，，函数，所以正确．故选：．【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．Venn图表示交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．Venn图表示N∩（∁UM）为：．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】如图，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，则阴影部分表示的集合是（）解：由题意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，故阴影部分表示的集合是∁R（M∪N）＝[0，8]．3．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．4．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．5．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔．证明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，则∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．6．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．7．函数的奇偶性【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．8．抽象函数的周期性【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．9．函数恒成立问题【知识点的认识】函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．【解题方法点拨】﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量【命题方向】题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴∀x∈R，m＜恒成立，∵x2+x+1＝（x+）2+≥，∴0＜≤，∴m≤0．10．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．11．正弦函数的奇偶性和对称性【知识点的认识】正弦函数的对称性正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．【解题方法点拨】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝．解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x＝，而函数y＝sint的对称轴为则，解得（k∈Z）则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为故答案为．这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x﹣看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．【命题方向】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．12．三角函数的最值【知识点的认识】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【解题方法点拨】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝+cos（2x+）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）＝+cos（2x+）．故答案为：+cos（2x+）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝∴当t＝时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【命题方向】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．13．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．14．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．15．平面向量数量积的含义与物理意义【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．注意：①表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．16．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．17．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．向量在向量上的投影向量是．【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．18．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．19．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．20．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的认识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱＝sh，V锥＝Sh．21．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体＝3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．22．平面的基本性质及推论【知识点的认识】平面的基本性质及推论：1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．【解题方法点拨】1．公理1是判定直线在平面内的依据．2．公理2及推论是确定平面的依据．3．公理3是判定两个平面相交的依据．23．异面直线及其所成的角【知识点的认识】1、异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．2、求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：24．空间中直线与直线之间的位置关系【知识点的认识】空间两条直线的位置关系：位置关系共面情况公共点个数图示相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内无异面直线不同时在任何一个平面内无25．空间中直线与平面之间的位置关系【知识点的认识】空间中直线与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线和平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线和平面平行无a∥α26．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．27．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．28．平面与平面之间的位置关系【知识点的认识】平面与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示两平面平行无α∥β两平面相交有一条公共直线α∩β＝l29．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．30．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成