【八年级上册】第11章三角形单元测试（能力过关卷）（含答案）

第11章三角形单元测试（能力过关卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（阳西县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C的度数为（）A．100° B．80° C．60° D．40°2．（临沧期末）一个八边形的内角和度数为（）A．360° B．720° C．900° D．1080°3．（沐川县期末）下列长度的各组线段不能组成一个三角形的是（）A．2cm，2cm，1cm B．2cm，2cm，2cm C．2cm，2cm，3cm D．2cm，2cm，4cm4．（甘井子区期末）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE＝∠DAE，∠BDC＝∠DBC，则∠ADB＝（）A．18° B．36° C．72° D．108°5．（曹县期末）如图，在△ABC中，DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，连接DC，∠A＝70°，∠D＝38°，则∠DCA的度数是（）A．42° B．38° C．40° D．32°6．（广陵区校级期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A．三角形的稳定性 B．长方形的对称性 C．长方形的四个角都是直角 D．两点之间线段最短7．（盐湖区校级期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（）A．105° B．120° C．75° D．45°8．（长春期末）下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（）A． B． C． D．9．（浙江自主招生）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（）A．360° B．450° C．540° D．720°10．（雨花区校级期末）如图，△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，①线段BG是△ABD边AD上的中线；②线段CH是△ACH中AH边上的高；③△ABG与△BDG面积相等；④AB﹣AC＝BF；⑤∠2+∠FBC+∠FCB＝90°，其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（沐川县期末）一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形的内角和的度数是．12．（朝阳区校级期末）已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长为整数，则该三角形的周长最大值为．13．（昭通期末）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝75°，则∠BCD的度数为．14．（单县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为．15．（夏津县期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝．16．（沙坪坝区校级期中）将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝．17．（高淳区期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝25°，∠BDA'＝120°，则∠A'EC＝．18．（沙坪坝区校级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（曹县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠DAC，∠C＝2∠B，求∠ADB的度数．20．（靖江市月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．21．（嵩县期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由．22．（邗江区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，AE平分∠DAC．（1）若∠ADC＝116°，∠C＝26°，求∠BAE的度数．（2）若∠ADC＝m°，∠C＝n°，请探求∠BAE的度数与∠ADC、∠C度数之间的关系（用含m、n的代数式表示）．23．（淮阳区校级期末）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线．（1）若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的大小；（2）请说明∠BAC＞∠B．24．（朝阳区校级期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正n边形（n＞4），观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．（1）将下面的表格补充完整：正多边形的边数5678…∠α的度数…（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝120°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由；（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝125°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．25．（卧龙区期末）（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是；（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP=14∠CDN，∠CBP=14∠CBM26．（朝阳区校级期末）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝°；（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．第11章三角形单元测试（能力过关卷）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（阳西县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C的度数为（）A．100° B．80° C．60° D．40°【分析】由三角形的内角和定理可直接求解．【解析】∵∠A＝60°，∠B＝40°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，故选：B．2．（临沧期末）一个八边形的内角和度数为（）A．360° B．720° C．900° D．1080°【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．【解析】（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故选：D．3．（沐川县期末）下列长度的各组线段不能组成一个三角形的是（）A．2cm，2cm，1cm B．2cm，2cm，2cm C．2cm，2cm，3cm D．2cm，2cm，4cm【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．【解析】A、∵2+1＞2，∴能组成三角形；B、∵2+2＞2，∴能组成三角形；C、∵2+2＞3，∴能组成三角形；D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形．故选：D．4．（甘井子区期末）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE＝∠DAE，∠BDC＝∠DBC，则∠ADB＝（）A．18° B．36° C．72° D．108°【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠ADE＝∠DAE＝∠BDC＝∠DBC＝36°，从而求出∠ADB＝108°﹣72°＝36°．【解析】∵五边形ABCDE的内角都相等，∴∠BAE＝∠ABC＝∠EDC＝∠C＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠ADE＝∠DAE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，∴∠DAB＝∠BE﹣∠DAE＝72°，∠BDC＝∠DBC＝72°，∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠DBA＝36°．故选：B．5．（曹县期末）如图，在△ABC中，DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，连接DC，∠A＝70°，∠D＝38°，则∠DCA的度数是（）A．42° B．38° C．40° D．32°【分析】由DF∥AB可得到∠A与∠FEC的关系，利用三角形的外角与内角的关系可得结论．【解析】∵DF∥AB，∠A＝70°∴∠A＝∠FEC＝70°．∵∠FEC＝∠D+∠DCA，∠D＝38°，∴∠DCA＝∠FEC﹣∠D＝70°﹣38°＝32°．故选：D．6．（广陵区校级期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A．三角形的稳定性 B．长方形的对称性 C．长方形的四个角都是直角 D．两点之间线段最短【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解析】常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是三角形具有稳定性．故选：A．7．（盐湖区校级期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（）A．105° B．120° C．75° D．45°【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．【解析】由三角形的外角性质可得：∠1＝（90°﹣45°）+60°＝105°，故选：A．8．（长春期末）下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（）A． B． C． D．【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．【解析】根据三角形高线的定义，BC边上的高是过点A向BC作垂线垂足为D，纵观各图形，选项ABD都不符合题意，选项C符合题意．故选：C．9．（浙江自主招生）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（）A．360° B．450° C．540° D．720°【分析】由四边形ACEH中∠A+∠C+∠E+∠1＝360°、四边形BDFP中∠B+∠D+∠F+∠2＝360°，结合180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠G＝180°可得．【解析】如图，在四边形ACEH中，∠A+∠C+∠E+∠1＝360°，在四边形BDFP中，∠B+∠D+∠F+∠2＝360°，∵180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠G＝180°，∴∠A+∠C+∠E+∠1+∠B+∠D+∠F+∠2+180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠G＝360°+360°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝360°+180°＝540°．故选：C．10．（雨花区校级期末）如图，△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，①线段BG是△ABD边AD上的中线；②线段CH是△ACH中AH边上的高；③△ABG与△BDG面积相等；④AB﹣AC＝BF；⑤∠2+∠FBC+∠FCB＝90°，其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义，及外角与内角的关系可知．【解析】①因为G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；②因为CF⊥AD于H，所以CH是△ACH中AH边上的高，故正确；③因为G为AD中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确；④因为∠1＝∠2，CF⊥AD，可知∠AFC＝∠ACF，根据等角对等边得AF＝AC，故AB﹣AC＝BF正确，⑤因为∠1＝∠2，CF⊥AD于H，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，∠1+∠AFH＝∠1+∠FBC+∠FCB＝90°，所以∠2+∠FBC+∠FCB＝90°，故正确．所以正确的个数是5个．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（沐川县期末）一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形的内角和的度数是540°．【分析】由一个多边形的每一个外角都是72°，可求得其边数，然后由多边形内角和定理，求得这个多边形的内角和．【解析】∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数为：360÷72＝5，∴这个多边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．故答案为：540°．12．（朝阳区校级期末）已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长为整数，则该三角形的周长最大值为11．【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长的最大值．【解析】设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：4﹣2＜a＜2+4，即2＜a＜6，∵a为整数，∴a的最大整数值为5，则三角形的最大周长为2+4+5＝11．故答案为：11．13．（昭通期末）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝75°，则∠BCD的度数为100°．【分析】根据三角形的外角性质计算即可．【解析】∵∠BCD是△ABC的外角，∠A＝25°，∠B＝75°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝25°+75°＝100°，故答案为：100°．14．（单县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为120°．【分析】根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义计算即可．【解析】∵∠ECD是△BCE的外角，∠B＝35°，∠E＝25°，∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+25°＝60°，∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACD＝2∠ECD＝120°，故答案为：120°．15．（夏津县期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c．【分析】此题的关键是根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．【解析】∵a、b、c是三角形的三边长，∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a+c﹣a﹣b＝﹣a+b+c．故答案为：﹣a+b+c．16．（沙坪坝区校级期中）将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝55°．【分析】延长FD交MG于P点，延长AB角FP于Q点，根据三角形外角的性质得出∠FPM＝∠DNG+∠G＝∠DNG+50°，∠BQD＝∠GMB+∠FPM＝GMB+∠DNG+50°，根据四边形内角和定理即可得出答案．【解析】∵∠C＝30°，∠D＝45°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°，延长FD交MG于P点，延长AB交FP于Q点，∴∠QBE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴∠QDE＝＝180°﹣∠FDE＝180°﹣45°＝135°，∵∠FPM＝∠DNG+∠G＝∠DNG+50°，∴∠BQD＝∠GMB+∠FPM＝GMB+∠DNG+50°，∠BQD+∠QDE+BED+∠QBE＝360°，∴∠GMB+∠DNG+50°+135°+∠BED+120°＝360°∴∠GMB+∠BED+∠DNG＝55°，故答案为：55°．17．（高淳区期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A＝25°，∠BDA'＝120°，则∠A'EC＝70°．【分析】如图，利用折叠性质得∠ADE＝∠A′DE＝30°，∠AED＝∠A′ED，再根据三角形外角性质得∠CED＝55°，利用邻补角得到∠AED＝125°，则∠A′ED＝125°，然后利用∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED进行计算即可．【解析】如图，∵∠BDA'＝120°，∴∠ADA'＝60°，∵△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，∴∠ADE＝∠A′DE＝30°，∠AED＝∠A′ED，∵∠CED＝∠A+∠ADE＝25°+30°＝55°，∴∠AED＝125°，∴∠A′ED＝125°，∴∠A′EC＝∠A′ED﹣∠CED＝125°﹣55°＝70°．故答案为70°．18．（沙坪坝区校级期末）如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝32°或76°．【分析】分两种情况进行讨论：当OP′平分∠E′OF′时，当OQ′平分∠E′OF′时，分别依据角的和差关系进行计算即可得到m的值．【解析】∵∠AOP＝40°，OE平分∠AOP，∴∠EOP=12∠AOP而△EOF以以每秒6°绕逆时针转，PQ以以每秒9°绕O顺时针转①如图1中，当OP′平分∠E′OF′时，∠E′OP′＝20°+（6°+9°）m=12∠EOF则m＝2，∠COP′＝90°﹣40°﹣2×9°＝32°；②如图2中，当OQ′平分∠E′OF′时，则有6m+9m+20°＝360°﹣130°．则m＝14，∠COP′＝9°×14﹣（90°﹣40°）＝76°，故答案为：32°或76°．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（曹县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠DAC，∠C＝2∠B，求∠ADB的度数．【分析】设∠DAC＝x，则∠BAD＝∠B＝x，∠C＝2x，则x+2x+2x＝180°，解方程即可．【解析】∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B＝∠DAC，∠C＝2∠B，设∠DAC＝x，则∠BAD＝∠B＝x，∠C＝2x，∴x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，∴∠DAC＝36°，∠C＝72°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝36°+72°＝108°．20．（靖江市月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．【分析】（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm；（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm．【解析】（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，即BE＝AE+AC，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴10﹣AE＝AE+6，∴AE＝2cm．（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．故AE长为1cm或3cm．21．（嵩县期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由．【分析】根据三角形两边之和大于第三边即可求解．【解析】AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．22．（邗江区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，AE平分∠DAC．（1）若∠ADC＝116°，∠C＝26°，求∠BAE的度数．（2）若∠ADC＝m°，∠C＝n°，请探求∠BAE的度数与∠ADC、∠C度数之间的关系（用含m、n的代数式表示）．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝64°，根据三角形外角的性质得到∠BAD＝26°，根据角平分线的定义得到∠DAE＝19°，于是得到结论；（2）方法同（1）．【解析】（1）∵∠B＝90°，∠C＝26°，∴∠BAC＝64°，∵∠ADC＝116°，∴∠BAD＝26°，∴∠DAC＝64°﹣26°＝38°，∵AE是∠DAC的角平分线，∴∠DAE＝19°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝26°+19°＝45°；（2）∵∠B＝90°，∠C＝n°，∴∠BAC＝90°﹣n°，∵∠ADC＝m°，∴∠BAD＝m°﹣90°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝（90°﹣n°）﹣（m°﹣90°），∵AE是∠DAC的角平分线，∴∠DAE=12∠DAC=12（180°﹣∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝m°﹣90°+12（180°﹣n°﹣m°）=12m°23．（淮阳区校级期末）如图，已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线．（1）若∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，求∠B的大小；（2）请说明∠BAC＞∠B．【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义可得∠ACD＝∠ECD，然后根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得∠BAC＞∠ACD，∠ECD＞∠B，从而得解．【解析】（1）∵∠ACE＝150°，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠ACE﹣∠BAC＝150°﹣100°＝50°；（2）∵CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠BAC是△ACD的外角，∴∠BAC＞∠ACD，∴∠BAC＞∠ECD，∵∠ECD是△BCD的外角，∴∠ECD＞∠B，∴∠BAC＞∠B．24．（朝阳区校级期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正n边形（n＞4），观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．（1）将下面的表格补充完整：正多边形的边数5678…∠α的度数36°60°540°790°…（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝120°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由；（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝125°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据正多边形内角和公式求出每一个内角，根据等腰三角形的性质求出相应的角的度数，探求∠α形成的规律．（2）根据（1）得结论列出方程，求出方程的解即可；（3）根据（1）得结论列出方程，求出方程的解，解不能为分数．【解析】（1）∵是正五边形，∴∠ABC＝∠BAE＝（5﹣2）180°÷5＝108°．∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理可得，∠DAC＝36°，∴∠α＝36°．同理可得正六边形∠α＝60°，正七边形∠α=540°7正八边形∠α＝90°．故答案为：36°、60°、540°7、90°．（2）存在正十二边形，使其中的∠α＝120°．理由：由（1）得，∠α＝180°﹣2×360°n∴120°＝180°﹣2×360°n解得，n＝12．（3）不存在．理由：由（1）得，∠α＝180°﹣2×360°n∴125°＝180°﹣2×360°n解得，n＝13111．∵n为正整数，∴不存在一个正n边形，使其中的∠α＝125°．25．（卧龙区期末）（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP=14∠CDN，∠CBP=14∠CBM【分析】（1）根据两个等式，可以得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系．（2）根据第（1）问结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再根据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和．这样就可以确定∠E的度数．（3）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根根四边形内角和，就可以确定∠P的度数．【解析】（1）∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠D．故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D．（2）根据第（1）问的结论，可知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，∴∠EDA+∠DAE＝115°．∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°．（3）根据第（1）问的结论，可得：∠CDN+∠CBM＝∠ABC+∠ADC，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠CDN+∠CBM＝360﹣（∠A﹣∠C）＝180°．∵∠CDP=14∠CDN，∠CBP=14∴∠CDP+∠CBP=14（∠CDN+∠CBM∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+45