河南省商开大联考2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷

高考资源网（），您身边的高考专家高中数学精编资源欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。2/2高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。商开大联考2021—2022学年下学期期中考试高一数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:人教A版必修第二册第六章～第八章第3节.一、选择题:本题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复平面内的点M(1,2)对应的复数为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数在复平面对应点的特征进行判断即可.【详解】点M(1,2)对应的复数为.故选:B2.在△ABC中,AB＝AC,D,E分别是AB,AC的中点,则()A.与共线 B.与共线C.与相等 D.与相等【答案】B【解析】【分析】根据向量共线概念即可求解结果.【详解】因为与不平行,所以与不共线,A错因为D,E分别是AB,AC的中点,则与平行,故与共线,B正确;因为与不平行,所以与不相等,C错;因为,则D错.故选:B3.在中,,,则外接圆的半径为()A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】直接使用正弦定理进行求解即可.【详解】设R为外接圆的半径,故,解得.故选:A.4.设,是两个不共线向量,若向量与向量共线,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量与向量共线,由求解.【详解】因为,是两个不共线的向量,且向量与向量共线,所以,即,所以,解得,故选:D5.下列说法错误的是()A.球体是旋转体 B.圆柱的母线平行于轴C.斜棱柱侧面中没有矩形 D.用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台【答案】C【解析】【分析】利用球体的定义判断A;利用圆柱的结构特征判断B;举例说明判断C;利用正棱台的定义判断D作答.【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体,即球体是旋转体,A正确;由圆柱结构特征知,圆柱的母线平行于轴,B正确;如图,斜平行六面体中,若平面,则侧面四边形是矩形,C不正确;由正棱台的定义知,D正确.故选:C6.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则必为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理即可判断三角形形状.【详解】由余弦定理,得,因为,所以,所以为钝角三角形.故选:A7.在平行四边形中,E为上一点,,则()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的基本定理,再结合向量的线性运算即可求解.【详解】由题意得,,又,所以.故选:D.8.在中,已知,,,则()A.16 B.9 C.－9 D.－16【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出,再由数量积的定义及诱导公式计算可得;【详解】解:由余弦定理,可得,所以.故选:C.9.如图,飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内,在处测得目标的俯角为,飞行10千米到达处,测得目标的俯角为,这时处与地面目标的距离为().A.5千米 B.千米 C.4千米 D.千米【答案】B【解析】【分析】将题意转化为解三角形问题,利用正弦定理计算即可.【详解】根据题意可知,.在中,由正弦定理得,即.故选:B10.已知向量,满足,,则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直可求出,进而可以计算出向量在向量方向上的投影向量.【详解】依题意,,向量在向量方向上的投影向量为.故选:A11.如图,、为互相垂直的两个单位向量,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】用基底表示向量、,再利用平面向量数量积的运算可求得的值.【详解】由已知可得,,则,所以,.故选:C.12.在一个正三角形的三边上,分别取一个距顶点最近的十等分点,连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示,图中共有2个正三角形),然后在较小的正三角形中,以同样的方式形成一个更小的正三角形,如此重复多次,可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形),这个过程称之为迭代.如果在边长为27的正三角形三边上,分别取一个三等分点,连接成一个较小的正三角形,然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有7个正三角形),则图3中最小的正三角形面积为()

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系,进而可求出最小正三角形的边长,然后利用面积公式即得.【详解】设最大正三角形的边长为,则,其内部迭代出的正三角形的边长分别为,由余弦定理得,同理得,∴,∴最小的正三角形的面积.故选:C.二、填空题:本题共4小题.13.已知i为虚数单位,复数z满足,则z的虚部为______.【答案】1【解析】【分析】应用复数的除法求复数z即可.【详解】由题设,,故z的虚部为1.故答案为:1.14.下列四个等式:①;②;③;④.其中正确的是______.(填序号)【答案】①②③【解析】【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质,结合向量加法的运算法则逐一判断即可.【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的,③符合向量的加法法则,也是正确的,对于④,向量的线性运算,结果应为向量,故④错误,故答案为:①②③15.如图,是的直观图,其中,则的面积是______.

【答案】【解析】【分析】画出原图可得答案.【详解】由题意,得,∴,,∴的面积是.故答案为:

16.已知圆内接四边形ABCD中,,,,,则______.【答案】20【解析】【分析】根据圆的有关性质可知,,由勾股定理求出,连接BD,利用余弦定理分别求出和,根据列方程,解方程即可.【详解】如图,在圆内接四边形中,,所以,,因为,所以,又,所以,连接BD,在中,由余弦定理,得,在中,由余弦定理,得,又因为,所以,则,由,解得.故答案为:.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知一圆锥的底面半径为6cm.(1)若圆锥的高为8cm,求圆锥的体积;(2)若圆锥的母线长为10cm,求圆锥的表面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据圆锥体积公式,计算求解即可.(2)根据圆锥的表面积公式,计算求解即可.【小问1详解】据题意知,圆锥的体积.【小问2详解】圆锥的底面面积;圆锥的侧面积.故圆锥的表面积.18.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,.(1)若,求B;(2)若,求b.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)利用余弦定理进行求解;(2)用正弦定理求出或,分两种情况进行求解,得到或.【小问1详解】由余弦定理,得,又,∴.小问2详解】由正弦定理,得,∵,∴或.当时,,∴;当时,,∴.综上,或.19.已知复数是关于x的方程的一个解.(1)求a的值;(2)若复数满足,求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)把代入方程,然后计算即可求解.(2)根据共轭复数的定义,得到,进而可得,然后计算可求解.【小问1详解】由题意,得,即,所以,,解得.【小问2详解】由题意,得,.故.20.如图,在中,,.

(1)当,满足什么条件时,AC与BD互相垂直？(2)与有可能相等吗？为什么？【答案】(1)(2)有可能,理由见解析【解析】【分析】(1)根据向量的加法和减法运算,用表示,进而可以得到AC与BD互相垂直时,,需要满足的条件.(2)根据向量的模长公式,即可计算求解.【小问1详解】,,若,则.所以,得.因此当时,.【小问2详解】有可能.,,若,则.故当时,.21.已知向量,.(1)若,求;(2)若,求实数k的值;(3)若与的夹角是钝角,求实数k的取值范围.【答案】(1);(2);(3)且.【解析】【分析】(1)根据共线向量的坐标表示公式,结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可;(2)根据平面向量数量积的坐标表示公式,结合平面向量垂直的性质进行求解即可;(3)根据平面向量夹角和共线的性质进行求解即可.【小问1详解】因为向量,,且,所以,解得,所以;【小问2详解】由题意,得,因为,所以,解得;【小问3详解】因为与的夹角是钝角,则且与不共线.即且,所以且.22.已知中,D为BC中点,.(1)若,,求边AB的长;(2)若,求面积的最大值.【答案】(1)