北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明-测试卷带答案

第第页北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明评卷人得分一、单选题1．如图所示，线段的垂直平分线交线段于点，，则（）A． B． C． D．2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60° C．72° D．108°3．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1:以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2:以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3:连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是()A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC=BC⋅AH D．AB=AD4．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米5．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A．10 B．2 C．10或2 D．无法确定6．如图，有、、三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处B．在AC、BC两边垂直平分线的交点处C．在AC、BC两边高线的交点处D．在AC、BC两边中线的交点处7．如图，已知点到、、的距离相等，则下列说法：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③点在的平分线上；④点是、、的平分线的交点；其中正确的是（）A．①②③ B．①②③④ C．②③ D．④8．以下说法中，正确的命题是（）（1）等腰三角形的一边长为4cm，一边长为9cm，则它的周长为17cm或22cm；（2）三角形的一个外角等于两个内角的和；（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（4）等边三角形是轴对称图形；（5）如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（5）C．（2）（4）（5）D．（4）（5）9．如图,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠,使A与B重合,折痕为DE,则S△BCE：S△BDE等于（）A．2：5B．14：25C．16：25D．4：2110．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()A．50° B．60° C．70° D．80°评卷人得分二、填空题11．等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为_________________．12．如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=__°．13．如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有__种．14．点P（﹣1，3）关于y轴的对称点的坐标是_______．15．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积_____________.16．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积和是49cm2，则其中最大的正方形S的边长为_______cm．17．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30，AB=18，BC=12，则DE=________．18．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积=_________.评卷人得分三、解答题19．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．20．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F．(1)求证：BD=CE；(2)求锐角∠BFC的度数．21．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=15，BD=25，求AC的长.22．现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1)求线段BG的长；(2)现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)23．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明DA﹣DB=DC．24．如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.求证：CE=CF．25．“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公路的某直线路段MN上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN旁设立了观测点C．若某次从观测点C测得一汽车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200m．（1）求观测点C到公路MN的距离；（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：≈1.41，≈1.73）参考答案1．B【解析】【分析】根据“线段的垂直平分线交线段于点，”，可得∠ECD=∠A=50°，又∠BDC是△ACD的外角，根据外角的性质即可得出答案.【详解】∵线段的垂直平分线交线段于点∴AD=CD，∠AED=∠CED=90°又∵∴∠ECD=∠A=50°∵∠BDC是△ACD的外角∴∠BDC=100°故答案选择B.【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和三角形的外角.2．C【解析】【分析】根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．【详解】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选C．3．A【解析】【详解】解：如图连接CD、BD，∵CA=CD，BA=BD，

∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，

∴直线BC是线段AD的垂直平分线，

故A正确．

B、错误．CA不一定平分∠BDA．

C、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．

D、错误．根据条件AB不一定等于AD．

故选A．4．A【解析】【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．【详解】如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米．故选A．【点睛】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．5．C【解析】【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可．【详解】有两种情况：（1）当8是直角边时，第三边为斜边，长为；（2）当8是斜边时，第三边为直角边，长为；所以第三边的长为10或2.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理.对较长的边分两种情况（1）直角边（2）斜边，进行讨论是解题的关键.6．B【解析】【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理，满足条件的点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，即可得到答案.【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．∴超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．故选择：B.【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．7．B【解析】【分析】根据角平分线的性质定理进行判断即可．【详解】解：∵点P到AE，AD的距离相等，

∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；

∵点P到AE，BC的距离相等，

∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；

∵点P到AD，BC的距离相等，

∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；

∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，④正确，

故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的平分线上相等是解题的关键是解题的关键．8．D【解析】（1）等腰三角形两边长分别为4、9，则第三边长为9，故周长为22cm，错；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，错；（3）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，错；（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，正确；（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，此时可以证得三角形中有两个角相等，故为等腰三角形，正确。故（4）（5）正确，选D9．B【解析】试题分析：在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x=254，则EC=8﹣254=利用三角形面积公式计算出S△BCE=12BC·CE=12×6×74=214，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED=(254)2−52=154，利用三角形面积公式计算出S△BDE=12BD·DE=12×5×故选B．考点：翻折变换（折叠问题）10．D【解析】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+

∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．故选D．11．或【解析】【分析】分别计算当的角为顶角和底角时的情况即可.【详解】当的角为顶角时，底角当的角为底角时，另一个底角也为，顶角所以其他两个内角分别为或故答案为或12．80【解析】∵AB=BD=DC，∴∠A=∠BDA，∠DBC=∠C=40°，又∵∠BDA=∠DBC+∠C，∴∠A=∠DBC+∠C=40°+40°=80°.13．4【解析】【分析】结合图形，根据轴对称图形的概念解答即可．【详解】根据轴对称图形的概念可知，一共有四种涂法，如下图所示：故答案为：4．【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．14．（1，3）【解析】【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【详解】P（-1，3）关于y轴的对称点的坐标是（1，3），

故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．24【解析】本题主要考查了三角形.设三角形的三边是3x，4x，5x，根据周长公式可求得三边的长，再根据面积公式即可求得其面积．解：设三角形的三边是3x，4x，5x，则3x+4x+5x=24，解得x=2∴三角形的三边是6，8，10∴三角形的面积=1216．7cm．【解析】试题分析：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够得出最大正方形的面积=正方形A，B，C，D的面积和=49cm2，所以最大的正方形S的边长为7cm.．考点：1.勾股定理；2.正方形的面积.17．2【解析】【分析】过点D，作DF⊥BC，垂足为点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，根据S△ABC=•DE•AB+•DF•BC，代入数据即可求得DE的长．【详解】如图，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F，∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∵△ABC的面积是30，AB=18，BC=12，∴S△ABC=•DE•AB+•DF•BC，即×18×DE+×12×DE=30，∴DE=2．故答案为2．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等证得DE=DF是解决问题的关键.18．50.【解析】【分析】根据△ABC的三条角平分线交于O点，故点O到三角形各边的距离相等，即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，再把这三个三角形的面积加起来即为△ABC的面积.【详解】∵△ABC的三条角平分线交于O点，∴点O到三角形各边的距离相等，即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，h=5,∵△ABC的周长为20，即AB+AC+BC=20,∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=ABh+ACh+BCh=（AB+AC+BC）h=205=50.【点睛】此题主要考察三角形内角平分线的性质.19．∠B=20°.【解析】【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理，可先求得∠CAD的度数；再根据外角的性质，求∠B的读数．【详解】，，，是的外角，，，．【点睛】考查等腰三角形的性质，关键是根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理解答.20．(1)证明见解析；(2)∠BFC=60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AE=AD，再由∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，得出∠DAB=∠EAC，利用SAS可证得△EAC≌△DAB，从而可得出结论．（2）根据△EAC≌△DAB可得∠ECA=∠DAB，从而在△BFC中可得∠ECA+∠FBC=60°，结合∠ACB=60°，利用三角形的内角和定理可得出∠BFC的度数．【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AE=AD、AB=AC，又∵∠EAD=∠BAC=60°，∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠DAB=∠EAC，在△EAC和△DAB中，AE＝AD∠DAB＝∠EAC∴△EAC≌△DAB，即可得出BD=CE．（2）由（1）△EAC≌△DAB，可得∠ECA=∠DBA，又∵∠DBA+∠DBC=60°，在△BFC中，∠ECA+∠DBC=60°，∠ACB=60°，则∠BFC=180°-∠ACB-（∠ECA+∠DBC）=180°-60°-60°=60°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，一般线段的相等都要转为证三角形的全等，另外在解答第二问时，要注意运用等角代换求出未知角的和，这种思想经常在几何求解中运用．21．AC=30.【解析】【分析】过D作DE⊥AB,垂足为E，利用AD为∠CAB的角平分线得CD=DE，再证Rt△ACD≌Rt△AED,得AC=AE，然后在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC即可.【详解】过D作DE⊥AB,垂足为E,∵∠1=∠2,∴CD=DE=15,在Rt△BDE中,BE==20,∵CD=DE,AD=AD,∴Rt△ACD≌Rt△AED,∴AC=AE.在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2,即(AC+20)2=AC2+(15+25)2,解得AC=30.【点睛】此题主要考察角平分线的性质,及勾股定理列方程是解题的关键.22．（1）BG＝5；（2）答案见解析过程．【解析】试题分析：（1）由勾股定理即可得出答案；（2）由于蜘蛛只能在无盖的长方体表面爬行，所以有三种较短的路线，①蜘蛛先沿着对角线AF爬行，再沿着FG爬行到G；②蜘蛛先沿着AB爬行，再沿着对角线BG爬行到G，③蜘蛛按如图方式爬行，根据勾股定理三种情况下的距离，比较可知，第三种情况的距离最短，画出即可．试题解析：（1）BG=BC（2）由于蜘蛛只能在无盖的长方体表面爬行，所以有三种较短的路线，①蜘蛛先沿着对角线AF爬行，再沿着FG爬行到G，此时距离x1②蜘蛛先沿着AB爬行，再沿着对角线BG爬行到G，此时距离；③蜘蛛按如图方式爬行，此时距离x3∵x1>x考点：1．平面展开-最短路径问题；2．勾股定理．23．证明见解析．【解析】试题分析：根据等边三角形的性质，可得AB与BC的关系，BD、BE、DE的关系，根据三角形全等的判定，可得△ABE与△CBD的关系，根据全等三角形的性质，可得对应边相等，根据线段的和差，等量代换，可得证明结果．试题解析：△ABC和△BDE都是等边三角形∴AB=BC，BE