2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：一元函数导数及其应用（10题）VIP

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：一元函数导数及其应用（10题）一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•浙江模拟）已知函数f（x）＝x3﹣2x2+x+1，下列说法正确的是（）A．f(x+2B．方程f(x)=32有3C．当x∈[0，2]，f（x）∈[1，3] D．过点（0，1）作y＝f（x）的切线，有且仅有一条（多选）2．（2024•回忆版）设函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1，则（）A．当a＞1时，f（x）有三个零点 B．当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴 D．存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心（多选）3．（2024•广州二模）已知函数f(x)=lnx-A．f（x）的定义域为（0，+∞） B．f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为52C．f(1D．f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2＝1（多选）4．（2024•衡阳县校级模拟）已知函数f（x）满足x2f'(x)+2xf(x)=exxA．x＝2为f（x）的极值点 B．x＝1为x2f（x）导函数的极值点 C．x＝2为x3f′（x）的极大值点 D．x＝2为x3f′（x）的极小值点（多选）5．（2024•福建模拟）已知x=π4为函数f（x）＝asinx+bcosx（a≠0，b≠A．a＝b B．f(π4C．f（x）的图象关于直线x=5π4D．f（x）在区间(-（多选）6．（2024•太原三模）已知x1是函数f（x）＝x3+mx+n（m＜0）的极值点，若f（x2）＝f（x1）（x1≠x2），则下列结论正确的是（）A．f（x）的对称中心为（0，n） B．f（﹣x1）＞f（x1） C．2x1+x2＝0 D．x1+x2＞0（多选）7．（2024•金安区校级模拟）已知a＞0，且ea+lnb＝1，则下列说法正确的是（）A．lna+eb＜0 B．a+lnb＜0 C．ea+b＞2 D．a+b＞1（多选）8．（2024•临汾模拟）已知函数y＝f（x）在R上可导且f（0）＝﹣2，其导函数f′（x）满足：f'(x)-2f(x)eA．函数f（x）有且仅有两个零点 B．函数g（x）＝f（x）+2e2有且仅有三个零点 C．当0≤x≤2时，不等式f（x）≥3e4（x﹣2）恒成立 D．f（x）在[1，2]上的值域为[﹣2e2，0]（多选）9．（2024•织金县校级模拟）已知函数f(x)=x+2A．函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增 B．函数f（x）在（1，+∞）上单调递减 C．函数f（x）的极小值为13D．若f（x）＝m有3个不等实根x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝0（多选）10．（2024•酒泉模拟）已知函数f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，若当x＜0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，且f（1）＝0，则（）A．2f（e）＞ef（2） B．当m＜2时，f（m）＞mf（1） C．3f（﹣π）+πf（3）＜0 D．不等式f（x）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）

2025年高考数学复习之小题狂练600题（多选题）：一元函数导数及其应用（10题）参考答案与试题解析一．多选题（共10小题）（多选）1．（2024•浙江模拟）已知函数f（x）＝x3﹣2x2+x+1，下列说法正确的是（）A．f(x+2B．方程f(x)=32有3C．当x∈[0，2]，f（x）∈[1，3] D．过点（0，1）作y＝f（x）的切线，有且仅有一条【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】AC【分析】由f″（x）＝0可求出f（x）的对称中心，进而可判断A，求导得到f（x）的单调性和最值，进而可判断BC，分点（0，1）是切点和不是切点两种情况讨论，结合导数的几何意义可判断D．【解答】解：对于A，f（x）＝x3﹣2x2+x+1，则f′（x）＝3x2﹣4x+1，所以f″（x）＝6x﹣4，由f″（x）＝0，得x=2所以y＝f（x）关于（23，f（2所以f（x+23）+f（﹣x+23）＝2f（对于B，因为f（x）＝x3﹣2x2+x+1，所以f'（x）＝3x2﹣4x+1，令f′（x）＞0，得x＞1，或x＜令f′（x）＜0，得13所以f（x）在（1，+∞），(-∞，13)单调递增，在在x=13处有极大值，极大值为f（13又因为3127＜32，所以方程对于C，由B可知，f（x）在[0，13），[1，2]上单调递增，在[13，又因为f（0）＝1，f（13）=3127，f（1）＝1，f（2所以f（x）的最大值为3，最小值为1，即f（x）∈[1，3]，故C正确；对于D，若点（0，1）为切点，由f′（0）＝1，可得切线方程为y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0，若点（0，1）不是切点，设切点坐标为（x0，x03-2x02则切线的斜率k＝f′（x0）=3x0所以切线方程为y﹣（x03-2x02+x0又因为切线方程过点（0，1），所以1﹣（x03-2x02+解得x0＝1或0（舍去），所以切线方程为y﹣1＝0，即y＝1．综上所述，过点（0，1）作y＝f（x）的切线有2条，故D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．（多选）2．（2024•回忆版）设函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1，则（）A．当a＞1时，f（x）有三个零点 B．当a＜0时，x＝0是f（x）的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f（x）的对称轴 D．存在a，使得点（1，f（1））为曲线y＝f（x）的对称中心【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】AD【分析】先对f（x）求导，根据a的范围可判断f（x）的单调性，进而确定极值或极值点，可判断A、B；三次函数不存在对称轴，可判断C；a＝2时，f（x）＝2（x﹣1）3﹣6（x﹣1）﹣3，关于点（1，﹣3）中心对称，可判断D．【解答】解：由f（x）＝2x3﹣3ax2+1，得f'（x）＝6x（x﹣a），对于A，当a＞1时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（﹣∞，0）和（a，+∞）上单调递增；f（x）的极大值f（0）＝1＞0，f（x）的极小值f（a）＝1﹣a3＜0，所以f（x）有三个零点，故A正确；对于B，当a＜0时，f（x）在（a，0）上单调递减，在（﹣∞，a）和（0，+∞）上单调递增，x＝0是极小值点，故B错误；对于C，任何三次函数不存在对称轴，故C错误；对于D，当a＝2时，f（x）＝2x3﹣6x2+1＝2（x﹣1）3﹣6（x﹣1）﹣3，关于点（1，﹣3）中心对称，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数的性质，属于中档题．（多选）3．（2024•广州二模）已知函数f(x)=lnx-A．f（x）的定义域为（0，+∞） B．f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为52C．f(1D．f（x）有两个零点x1，x2，且x1x2＝1【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】BCD【分析】求出定义域可判断A；利用导数的几何意义可判断B；计算f（1x）+f（x）即可判断C；利用函数单调性以及零点存在性定理，根据选项C可判断D【解答】解：函数f(x)=lnx-则x＞0x-1≠0，可得x＞0且x≠1，即函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+f'则f'(2)=12+2(2-1)2=52，即f（f（1x）+f（x）＝ln1x-1x+11x-1+由f'(x)=1x+2(x-1)2＞0，可得f（又f(e)=lne-f(e所以函数f（x）在（e，e2）存在x0，使f(x由C可得f（1x0）＝﹣f（x0）＝所以f（x）在定义域内有两个零点，x1=1x0，x2＝x0，所以x1x2＝1故选：BCD．【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数零点个数的判断，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）4．（2024•衡阳县校级模拟）已知函数f（x）满足x2f'(x)+2xf(x)=exxA．x＝2为f（x）的极值点 B．x＝1为x2f（x）导函数的极值点 C．x＝2为x3f′（x）的极大值点 D．x＝2为x3f′（x）的极小值点【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】BD【分析】令F（x）＝x2f（x），利用导数的运算法则，确定f'【解答】解：由题意得，x2f'(x)+2xf(x)=e令F（x）＝x2f（x），即F(x)=e所以F(2)=4⋅由x2f'(x)+2xf(x)=e设g（x）＝ex﹣2F（x），则g'所以g（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，所以g（x）min＝g（2）＝0，所以g（x）≥0，又x＞0，所以f'(x)=ex-2F(x)x3≥0，即所以f（x）无极值，故A错误；对于B，F（x）＝x2f（x）的导函数为F'所以F''(x)=(x-1)exx2，当x＞1时，Fn（x）＞0，当0＜x＜1时，即F′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以x＝1为x2f（x）导函数F'(x)=e对于C，x3f′（x）＝ex﹣2F（x）＝g（x），由上可知g（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，所以x＝2为x﹣3f′（x）的极小值点，故C错误，D正确．故选：BD．【点评】本题主要考査导数知识的运用，考査函数单调性和极值，属于中档题．（多选）5．（2024•福建模拟）已知x=π4为函数f（x）＝asinx+bcosx（a≠0，b≠A．a＝b B．f(π4C．f（x）的图象关于直线x=5π4D．f（x）在区间(-【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】ABC【分析】由x=π4是导函数的零点，可得a＝b判断A选项；由f(π4-x)解析式判断奇偶性判断选项B【解答】解：f'(x)=acosx-bsinx，因为x=π4为函数f（x）＝asinx+bcosx所以f'(π4)=0，即22a-22b＝由于f(x)=asinx+bcosx=a(sinx+cosx)=2所以f(π4-x)=f(5π所以f（x）的图象关于直线x=5π4对称，由于a的正负未知，所以f（x）在区间(-π4故选：ABC．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数奇偶性、对称性的判断，属于中档题．（多选）6．（2024•太原三模）已知x1是函数f（x）＝x3+mx+n（m＜0）的极值点，若f（x2）＝f（x1）（x1≠x2），则下列结论正确的是（）A．f（x）的对称中心为（0，n） B．f（﹣x1）＞f（x1） C．2x1+x2＝0 D．x1+x2＞0【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】AC【分析】令g（x）＝x3+mx，判断函数g（x）的奇偶性，再利用平移法可得f（x）的对称中心，从而判断A；对f（x）求导，利用导数判断函数的单调性，从而可得函数的极值点，结合已知对x1分类讨论，即可判断f（﹣x1），f（x1）的大小，从而判断B；由条件f（x2）＝f（x1）（x1≠x2），可得x12+x1x2+x22+m=0，对【解答】解：令g（x）＝x3+mx，定义域为R，则g（﹣x）＝（﹣x）3+m•（﹣x）＝﹣x3﹣mx＝﹣（x3+mx）＝﹣g（x），所以函数g（x）是定义域为R的奇函数，对称中心为（0，0），因为f（x）＝x3+mx+n（m＜0），定义域为R，所以f（x）＝g（x）+n，即函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象向上（n＞0）或向下（n＜0）平移|n|个单位得到，所以函数f（x）的对称中心为（0，n），故A正确；因为f（x）＝x3+mx+n（m＜0），定义域为R，所以f'（x）＝3x2+m，令f′（x）＝0，即3x2+m＝0，解得x=--m令f′（x）＞0，解得x＜--m令f'（x）＜0，解得--所以函数f（x）在(-∞，--m在(-所以函数f（x）的极大值点为--m3因为x1是函数f（x）的极值点，所以x1=--当x1=--所以x1函数f（x）的极大值点，﹣x1是函数f（x）的极小值点，所以f（x1）＞f（﹣x1）；当x1=-所以x1函数f（x）的极小值点，﹣x1是函数f（x）的极大值点，所以f（﹣x1）＞f（x1），故B错误；因为f（x1）＝f（x2），即x1即(x因为x1≠x2，所以x1当x1=-解得x2所以2x1＝﹣x2，所以2x1+x2＝0；当x1=--解得x2所以x2＝﹣2x1，所以2x1+x2＝0，故C正确；由C项分析可得x2＝﹣2x1，所以x1+x2＝x1﹣2x1＝﹣x1，当x1=-当x1=--m3故选：AC．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查逻辑推理能力，属于中档题．（多选）7．（2024•金安区校级模拟）已知a＞0，且ea+lnb＝1，则下列说法正确的是（）A．lna+eb＜0 B．a+lnb＜0 C．ea+b＞2 D．a+b＞1【考点】利用导数研究函数的单调性；对数的运算性质；对数值大小的比较．【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．【答案】BCD【分析】根据指数、对数的运算及指对函数的单调性举反例判断A，构造函数f（x）＝ex﹣x﹣1，利用导数判断单调性可得ex≥x+1，据此判断BC，a+b＝lnx+e1﹣x，令h（x）＝lnx+e1﹣x，x＞1，由导数确定h（x）＞h（1）＝1可判断D．【解答】解：由ea+lnb＝1，可得ea＝1﹣lnb，又a＞0，所以1﹣lnb＞1，解得0＜b＜1．当b=1e时，ea﹣1＝1，则a＝ln2，又ln2＞所以此时lna+eb＞﹣1+eb＞﹣1+1＝0，故A错误；令f（x）＝ex﹣x﹣1，则f′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）≥f（0），即ex≥x+1，由a＞0知，ea＞a+1，所以1＝ea+lnb＞a+1+lnb，所以a+lnb＜0，故B正确；由ex≥x+1，可得x≥ln（x+1），所以x﹣1≥lnx（x＝1时取等号），因为0＜b＜1，所以lnb＜b﹣1，1＝ea+lnb＜ea+b﹣1，所以ea+b＞2，故C正确；因为ea＝1-lnb=lneb令lneb=x，则b＝e1﹣x，x＞1，a+b＝lnx+e1令h（x）＝lnx+e1﹣x，x＞1，则h'(x)=令u（x）＝ex﹣ex，x＞1，则u′（x）＝ex﹣e＞0，所以u（x）在（1，+∞）上单调递增，所以u（x）＞u（1）＝0，所以h′（x）＞0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）＝1，所以a+b＞1，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，对数大小的比较和运算性质，考查了转化思想，属中档题．（多选）8．（2024•临汾模拟）已知函数y＝f（x）在R上可导且f（0）＝﹣2，其导函数f′（x）满足：f'(x)-2f(x)eA．函数f（x）有且仅有两个零点 B．函数g（x）＝f（x）+2e2有且仅有三个零点 C．当0≤x≤2时，不等式f（x）≥3e4（x﹣2）恒成立 D．f（x）在[1，2]上的值域为[﹣2e2，0]【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】AC【分析】对A：构造函数h(x)=f(x)e2x，根据题意，求得f（x），令f（x）＝0，即可求解后判断；对B：对f（x）求导分析其单调性，结合零点存在定理，即可判断；对C：对x的取值分类讨论，在不同情况下研究函数单调性和最值，即可判断；对【解答】解：令h(x)=f(x)e2x，则故h（x）＝x2﹣x+c（c为常数），又h（0）＝f（0）＝﹣2，故可得c＝﹣2，故h（x）＝x2﹣x﹣2，f（x）＝e2x（x2﹣x﹣2），对A：令f（x）＝0，即x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）＝0，解的x＝2或﹣1，故h（x）有两个零点，A正确；对B：f（x）＝e2x（x2﹣x﹣2），则f′（x）＝e2x（2x2﹣5），令f′（x）＞0，可得x∈故f（x）在(-∞，-令f′（x）＜0，可得x∈故f（x）在(-10又f(-又f（1）＝﹣2e2，故存在x1=1∈(-10综上所述，f（x）＝﹣2e2有两个根，也即g（x）＝f（x）+2e2有2个零点，故B错误；对C：f（x）≥3e4（x﹣2），即e2x（x2﹣x﹣2）≥3e4（x﹣2），e2x（x﹣2）（x+1）≥3e4（x﹣2），当x∈[0，2）时，x﹣2＜0，上式等价于e2x（x+1）≤3e4，令m（x）＝e2x（x+1），故可得m'（x）＝e2x（2x+3）＞0，故m（x）在[0，2）上单调递增，m（x）＜m（2）＝3e4，满足题意；当x＝2时，f（2）＝0，也满足f（x）≥3e4（x﹣2）；综上所述，当x∈[0，2]时，f（x）≥3e4（x﹣2）恒成立，故C正确；对D：由B可知，f（x）在[1，102)单调递减，在(102，2]单调递增，且f(102)=1-102e故f（x）在[1，2]上的值域为[1-102故选：AC．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点、不等式恒成立和值域问题，其中解决问题的关键是能够构造函数h(x)=f(x)e2x，准确求出（多选）9．（2024•织金县校级模拟）已知函数f(x)=x+2A．函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增 B．函数f（x）在（1，+∞）上单调递减 C．函数f（x）的极小值为13D．若f（x）＝m有3个不等实根x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝0【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间；利用导数求解函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】BCD【分析】根据导函数求出函数的单调性判断A，B选项，再求极小值判断C，根据方程根求和即可得出D选项．【解答】解：对于A，f'(x)=x令f′（x）＞0，解得x∈令f′（x）＜0，解得x∈则函数f（x）在(-∞，-3-1)上单调递增，在(对于B，在（1，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B正确；对于C，x∈(-1，3-1)所以当x＝﹣1时，f（x）取极小值f(-1)=1对于D，f（x）＝m⇒mx3﹣x+4m﹣2＝0，故mx3﹣x+4m﹣2＝m（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）=m[x根据待定系数法得x1+x2+x3＝0，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）10．（2024•酒泉模拟）已知函数f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，若当x＜0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，且f（1）＝0，则（）A．2f（e）＞ef（2） B．当m＜2时，f（m）＞mf（1） C．3f（﹣π）+πf（3）＜0 D．不等式f（x）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】ACD【分析】构造函数g(x)=f(x)x，其中x≠【解答】解：构造函数g(x)=f(x)x，其中x≠因为函数f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），所以g(-x)=f(-x)-x=当x＜0时，g'（x）=f'(x)x-f(x)x所以函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，由偶函数性质可得g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为f（1）＝0，则g(1)=f(1)1=0，则g（﹣1）＝g（1对于A：因为e＞2，所以g（e）＞g（2），即f(e)e＞f(2)2，2f（e）＞ef（对于B：不妨取m＝1，则f（1）＝0，mf（1）＝0，故B错误；对于C：因为偶函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（﹣π）＝g（π）＞g（3），即f(-π)-π整理可得3f（﹣π）+πf（3）＜0，故C正确；对于D：当x＜0时，由f（x）＞0可得g（x）=f(x)x＜0＝g又因为函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以﹣1＜x＜0，当x＞0时，由f（x）＞0可得g(x)=f(x)又因为函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x＞1，综上所述，不等式f（x）＞0解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．

考点卡片1．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞0loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n2．对数值大小的比较【知识点的认识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）3．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f'(x)+m（Ⅲ）求证：ln22解：（Ⅰ）f'(x)=a(1-x)当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(x)=x∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g'(2)（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln24．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B5．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．6．利用导数求解函数的极值【知识点的认识】1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．2、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣