2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：空间向量与立体几何（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：空间向量与立体几何（10题）一．填空题（共10小题）1．（2024•昌黎县校级模拟）二面角α﹣l﹣β的棱上有两个点A、B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则平面α与平面β的夹角为．2．（2024•随州模拟）已知a→=(-2，1，3)，b→=(-1，23．（2024•广州模拟）已知A，M，N是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则AM→⋅AN→的取值范围是4．（2024•普陀区校级模拟）正四面体ABCD的棱长为12，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当PA→⋅PD→取得最小值时，点P到AD的距离为5．（2024•苏州模拟）空间内四点A（0，0，0），B（1，0，0），C(12，32，0)，D可以构成正四面体，则点6．（2024•湖北模拟）已知菱形ABCD的边长为23，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C为钝二面角，且折后所得四面体ABCD外接球的表面积为64π，则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为7．（2024•沧州一模）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长与侧棱长之比为1：3，则平面DAB与平面A1BC1夹角的余弦值为．8．（2024•奉贤区三模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E1，E2，…，Ek为正方形ABCD边上的k个两两不同的点．若对任意的点Ei，存在点Ej（i，j∈{1，2，⋯，k}，i≠j）．使得直线A1A与平面A1EiEj以及平面C1EiEj所成角大小均为π6，则正整数k的最大值为9．（2024•丰台区二模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，DD1的中点，α为过直线MN的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是（填“①”或“②”），该结论是命题（填“真”或“假”）．①平面α截该正方体所得截面面积的最大值为33；②若正方体的12条棱所在直线与平面α所成的角都等于θ，则sinθ=310．（2024•房山区一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点（点P与点A，C1不重合）．给出下列结论：①存在点P，使得平面A1DP⊥平面AA1C1；②对任意点P，都有A1P＝DP；③△A1DP面积的最小值为36④若θ1是平面A1DP与平面A1B1C1D1的夹角，θ2是平面A1DP与平面BB1C1C的夹角，则对任意点P，都有θ1≠θ2．其中所有正确结论的序号是．

2025年高考数学复习之小题狂练600题（填空题）：空间向量与立体几何（10题）参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2024•昌黎县校级模拟）二面角α﹣l﹣β的棱上有两个点A、B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱l，若AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则平面α与平面β的夹角为60°．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．【答案】60°【分析】先设平面α与平面β的夹角为θ，因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以CA→⋅AB【解答】解：设平面α与平面β的夹角为θ，因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以CA→由题意得CD→所以|=36+16+64+2×所以cos(π-所以cosθ=1所以θ＝60°，即平面α与平面β的夹角为60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了二面角的夹角计算，属于中档题．2．（2024•随州模拟）已知a→=(-2，1，3)，b→=(-1，2【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】2．【分析】由向量垂直知向量的数量积为零，建立方程可得解．【解答】解：因为a→⊥(a(a→)2-λa→⋅b→=0，（﹣2）2+12+32﹣λ[（﹣2解得λ＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．3．（2024•广州模拟）已知A，M，N是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则AM→⋅AN→的取值范围是[-【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据正方体的性质可得a=AM→•AN→≤3cos＜AM→，AN→＞【解答】解：正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长d=1则|AM→|≤d，|AN→|≤d，故a=AM→•AN→而cos＜AM→，AN→＞∈[﹣1，1），故建立如图所示空间直角坐标系，取O（0，0，0），当M，N重合为（1，1，1）时，则a＝（1，1，1）•（1，1，1）＝3，取得最大值3；由对称性，设A在下底面，AM→=（x，y，z），由A在下底面知z≥0，c≥0，zc≥0，当且仅当M，N也在下底面时取等，此时A，M，N共面，设MN中点为E，则EM→a=AM→⋅AN→=（当且仅当A，E重合时取等，又因为|MN→|≤例如A(12，12，0)，M（1，0，0），N则a=AM→⋅AN→所以M，N不重合时，AM→⋅AN→的取值范围是[故答案为：[-12，【点评】本题考查空间向量与立体几何的综合应用，属中档题．4．（2024•普陀区校级模拟）正四面体ABCD的棱长为12，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当PA→⋅PD→取得最小值时，点P到AD的距离为【考点】点、线、面间的距离计算；平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；球；数学运算．【答案】32【分析】先根据正四面体的体积求出内切球的半径，取AD的中点为E，再根据数量积得到PA→⋅PD→=PE→2-36，可得当PE的长度最小时，PA→⋅PD→取得最小值，再求出球心O【解答】解：由正四面体ABCD的棱长为12，则其高为h=4则其体积为V=1设正四面体ABCD内切球的半径为r，则V=4×13如图，取AD的中点为E，则PA→显然，当PE的长度最小时，PA→设正四面体内切球的球心为O，可求得OA=h-则球心O到点E的距离d=O所以内切球上的点P到点E的最小距离为d-即当PA→⋅PD→取得最小值时，点P到故答案为：32【点评】本题主要考查了几何体的内切球问题，考查了向量的数量积运算，属于中档题．5．（2024•苏州模拟）空间内四点A（0，0，0），B（1，0，0），C(12，32，0)，D可以构成正四面体，则点【考点】空间中的点的坐标．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】(1【分析】由题意可知，正四面体的棱长为1，设D（x，y，z），根据AD＝BD＝CD＝1列出方程组，解出x，y，z的值即可．【解答】解：由题意可知，正四面体的棱长为1，设D（x，y，z），则x2+y2+所以D(1故答案为：(1【点评】本题主要考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式，属于基础题．6．（2024•湖北模拟）已知菱形ABCD的边长为23，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C为钝二面角，且折后所得四面体ABCD外接球的表面积为64π，则二面角A﹣BD﹣C的余弦值为-11【考点】二面角的平面角及求法；球的体积和表面积．【专题】数形结合；综合法；空间角；逻辑推理；数学运算．【答案】-11【分析】作出△ABD，△CBD的外心，根据线面垂直得到二面角的平面角，再通过余弦的定义和二倍角的余弦公式即可求出．【解答】解：如图，设O为四面体ABCD外接球的球心，半径为R，令O1，O2分别为正△ABD和正△CBD的外心，则4πR2＝64π，所以R＝4，所以OO1⊥平面ABD，OO2⊥平面CBD．因为BD⊂平面ABD，BD⊂平面CBD，所以BD⊥OO1，BD⊥OO2，因为OO1∩OO2＝O，所以BD⊥平面OO1O2，平面OO1O2交BD点于E，连接O1E，O2E，则BD⊥O1E，BD⊥O2E，因此∠O1EO2为二面角A﹣BD﹣C的平面角．设其大小为θ，因为EC=32×23=3，所以EO2＝1，O2C连接OE，则OE=13，所以cos所以cosθ=2cos故答案为：-11【点评】本题考查利用定义法求二面角，涉及几何体的外接球，属于中档题．7．（2024•沧州一模）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长与侧棱长之比为1：3，则平面DAB与平面A1BC1夹角的余弦值为31010【考点】二面角的平面角及求法．【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算．【答案】310【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面DAB与平面A1BC1的法向量，利用向量夹角公式即可求解．【解答】解：由已知正四棱柱ABCD﹣AB1C1D1，所以DA、DC、DD1，两两互相垂直，则以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为正四棱柱ABCD﹣AB1C1D1的底面边长与侧棱长之比为1：3所以令AB＝BC＝CD＝DA＝a（a＞0），则AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝3a，则D（0，0，0），B（a，a，0），A1（a，0，3a），C1（0，a，3a），D（0，0，3a），则DD1→=(0，易知DD1→设平面A1BC1的一个法向量是n→则n→⋅A令z＝1，则x＝y＝3，所以n→设平面DAB与平面A1BC1夹角为θ，则sinθ=|cos＜所以cosθ=1-si即平面DAB与平面A1BC1夹角的余弦值为310故答案为：310【点评】本题考查向量在立体几何中的应用，属于中档题．8．（2024•奉贤区三模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E1，E2，…，Ek为正方形ABCD边上的k个两两不同的点．若对任意的点Ei，存在点Ej（i，j∈{1，2，⋯，k}，i≠j）．使得直线A1A与平面A1EiEj以及平面C1EiEj所成角大小均为π6，则正整数k的最大值为8【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．【答案】8．【分析】先确定当A1A与平面A1EiEj所成角大小均为π6时，Ei，Ej满足的条件，同理确定当直线A1A与平面C1EiFj所成角大小均为π6时，Ei，Ej满足的条件，再考虑如何做出Ei，E【解答】解：如图，设Ei，Ej是正方形ABCD的两个点，且满足直线A1A与平面A1EiEj所成角大小均为π6过A作AH⊥EiEj于H，连接A1H，则∠AA1H为直线A1A与A1EiEj所成角，是π6∴AH=AA∴在平面ABCD中，以A为圆心，3为半径作圆，取H为圆上一点，过H作圆的切线，切线与正方形ABCD边的交点即为Ei，Ej，∵AA1∥CC1，∴CC1与平面C1EiEj所成角为π6∴以C为圆心，3为半径作圆，作该圆的切线，切线与正方形ABCD边的交线即为Ei，Ej，如图，∵AC＝32＞23，∴⊙A与⊙C相离，两圆有4条公切线，与正方形ABCD在这8个交点中，任选一个点Ei，存在点Ej（i，j∈{1，2，•••，8}，i≠j），使得直线A1A与平面A1EiEj以及平面C1EiEj所成角大小均为π6∴正整数k的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正方体的结构特征、直线与平面所成角等基础知识，考查运算求解能力，是难题．9．（2024•丰台区二模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，DD1的中点，α为过直线MN的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假．你选的结论是①（填“①”或“②”），该结论是假命题（填“真”或“假”）．①平面α截该正方体所得截面面积的最大值为33；②若正方体的12条棱所在直线与平面α所成的角都等于θ，则sinθ=3【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．【专题】对应思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】①；假（或②；真）．【分析】选①，根据四边形BDD1B的面积即可判断；选②，根据三棱锥A1﹣AD1B1为正三棱锥，利用等体积法求解AA1与平面AD1B1所成角的正弦值即可求解．【解答】解：若选①，显然平面BDD1B1是过直线MN的平面，此时四边形BDD1B1即为该平面截正方体所得截面，由于四边形BDD1B1的面积为BD⋅BB若选②，如图，连接AD1，AB1，B1D1，由题可得三棱锥A1﹣AD1B1为正三棱锥，所以A1A，A1B1，A1D1与平面AD1B1所成角均相等，故平面α∥平面AD1B1，设A1到平面AD1B1的距离为h，则V⇒h=所以AA1与平面AD1B1所成角的正弦值为hAA1=3故答案为：①；假（或②；真）．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10．（2024•房山区一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点（点P与点A，C1不重合）．给出下列结论：①存在点P，使得平面A1DP⊥平面AA1C1；②对任意点P，都有A1P＝DP；③△A1DP面积的最小值为36④若θ1是平面A1DP与平面A1B1C1D1的夹角，θ2是平面A1DP与平面BB1C1C的夹角，则对任意点P，都有θ1≠θ2．其中所有正确结论的序号是①②③．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征；平面与平面垂直．【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．【答案】①②③．【分析】①可通过线面垂直的判定定理找到点P；②③④都可以通过建立空间直角坐标系解决，其中通过向量的长度可以对②进行判断；利用两条直线所成的角和三角形面积公式可以判断③；求出三个面的法向量，并求出cosθ1和cosθ2，即可对④进行判断．【解答】解：对于①，∵AC1⊥A1D，在AC1上取点P使AC1⊥DP，∵A1D∩DP＝D，A1D，DP⊂平面A1DP，∴AC1⊥平面A1DP，∵AC1⊂平面AA1C1，∴存在点P，使得平面A1DP⊥平面AA1C1，故A正确；对于②，以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C1（0，1，0），则AC1→=（﹣1，1，﹣1），A1A→=（0，0，1），设AP→=λAC1→=λ（﹣1，1，﹣1）＝（﹣λ，λ，﹣则A1P→=A1A→+AP→=（0，0，1）+（﹣λ，DP→=DA→+AP→=（1，0，0）+（﹣λ，λ，﹣λ）＝（∴|A1P|=(-λ|DP|=(1-λ∴A1P＝DP，故②正确；对于③，由②，得A1D→=（﹣1，0，1），A1P→=（﹣λ，λ，1﹣λ），cos＜Asin＜=1当且仅当λ=13时，等号成立，∴△A1DP面积的最小值为36对于④，平面A1B1C1D1的法向量为n1→=（0，0，1），平面BB1C1C的法向量为n2→=（设平面A1DP的法向量为n3→=（x，y则n3→⋅A1D→=-x+z=0n3→⋅A1P→则cosθ1=λ|n3→|，cosθ2=2λ-1|n3→|，令λ∵0＜λ＜1，∴λ=1∴存在点P，使得cosθ1＝cosθ2，而θ1，θ2不大于直角，∴θ1＝θ2，故④错误．故选：①②③．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、向量的的模、异面直线所成的角、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

考点卡片1．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．2．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点的认识】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→与b→垂直，有a→•b→=1【解题方法点拨】例：与向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：对于A：∵(-35，45)•（3，﹣4）对于B：∵(-35，45)•（﹣4，3对于C：∵(-35，45)•（4，3对于D：∵(-35，45)•（4，﹣3故选：C．点评：分别求出向量(-35，45)和A，B，C【命题方向】向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．3．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征棱柱1根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．4．球的体积和表面积【知识点的认识】1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．2．球体的体积公式设球体的半径为R，V球体=3．球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体＝4πR2．【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．5．平面的基本性质及推论【知识点的认识】平面的基本性质及推论：1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．【解题方法点拨】1．公理1是判定直线在平面内的依据．2．公理2及推论是确定平面的依据．3．公理3是判定两个平面相交的依据．6．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．7．空间中的点的坐标【知识点的认识】1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（x18．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量a→、b→，在空间中任取一点O，作OA→=a→，OB→=b→，则∠2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a→、b→，则|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→与b→的数量积，记作a→•b→（2）几何意义：a→与b→的数量积等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘积，或b→的长度|b→|与3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：(λa→)⋅b→=λ（a（2）分配律：a→4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号a→⋅b→（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当a→≠0→时，由a→⋅b→=【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a→|=利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a→⊥b→时，须指明（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a→，b→，c→【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1分析：通过2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→•b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案为：﹣7．点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．9．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直【知识点的认识】一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→⇔存在λ∈R共面向量定理若两个向量a→，b→不共线，则向量p→与向量a→，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p→空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量a→、b→、c不共面，那么对空间任一向量p→，存在有序实数组{x，y，z}使得p→=xa（2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积（1）a→•b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→⇔a→•b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐标运算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a数量积a→•b→=a1b1+a2b2+a共线a→∥b→⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→⇔a1b1+a2b2+a3b3夹角公式cos＜a→，10．直线与平面所成的角【知识点的认识】1、直线和平面所成的角，应分三