2024-2025学年黑龙江省伊春市南岔县高二上册11月期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年黑龙江省伊春市南岔县高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.2.“”是“”（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，则的最小值是A. B. C. D.4.2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1～8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下：报价区间（单位：万元）3,4频数103640则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（）A.30 B.42 C.54 D.805.下列说法正确的是（）A.方程表示过点且斜率为k的直线B.直线与y轴的交点为，其中截距C.在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为D.方程表示过任意不同两点，的直线6.求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（）A. B.C. D.7.若过直线上一点M向圆Γ：作一条切线于切点T，则最小值为（）A B.4 C. D.8.已知点是椭圆焦点，点在椭圆上且满足，则的面积为A. B. C.2 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.袋内有个白球和个红球，有放回的从中抽取两次，每次从中随机取出一个球，则（）A.次取到的都是红球的概率为B.次取到的都是红球的概率为C.次取到的球恰好是一红一白的概率为D.次取到的球恰好是一红一白的概率为10.如图，在棱长为1的正方体中（）A.与的夹角为B.平面与平面夹角的正切值为C.与平面所成角的正切值D.点到平面的距离为11.已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1B.的最小值为C.若为直角三角形，则的面积为D.的范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两圆与上的点之间的最短距离是________.13.在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则__________.14.设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．16.已知圆：，直线过定点．（1）若与圆相切，求直线的方程；（2）若点为圆上一点，求的最大值和最小值．17.近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：A公司321B公司222利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．（1）比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小；（2）用频率估计概率，且假设A，B两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月A，B两公司至少有一家盈利的概率．18.如图所示，正方体棱长为，若是的中点，（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）直线与平面是否垂直？请说明理由：（3）求到平面的距离.19.已知，分别是椭圆的左，右焦点，，分是椭圆的上顶点和右顶点，且，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设经过的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．2024-2025学年黑龙江省伊春市南岔县高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解；【详解】因为，设向量与的夹角为所以，又因为，所以故选：B.2.“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据题意由得出或，然后根据充分和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得或，所以由可以得到，但由不一定得到，所以是的充分不必要条件.故选：A.3.已知，则的最小值是A. B. C. D.【正确答案】B【分析】将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案．【详解】因为，又，所以，当且仅当时取，故选B．本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．4.2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1～8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下：报价区间（单位：万元）3,4频数103640则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（）A.30 B.42 C.54 D.80【正确答案】C【分析】先设竞拍人员总数，再根据频率等于频数除以总数得出总数，根据低于5万元的人数计算求出不低于5万元得人数.【详解】设竞拍人员总数为，由解得；第三组的频数为报价低于5万元的人数为，

报价不低于5万元得人数为人.故选：C.5.下列说法正确的是（）A.方程表示过点且斜率为k的直线B.直线与y轴的交点为，其中截距C.在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为D.方程表示过任意不同两点，的直线【正确答案】D【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形逐一核对，即可求解.【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点Px1,y对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负可为0，所以B不正确；对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确；对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确.故选：D.6.求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】先计算出两圆的交点所在直线，进而求出线段的垂直平分线，与联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.【详解】与相减得：，将代入得：，即，设两圆和的交点为，则，，则，不妨设，所以线段的中点坐标为，因为直线的斜率为1，所以线段的垂直平分线的斜率为-1，所以线段的垂直平分线为，与联立得：，故圆心坐标为，半径，所以圆的方程为，整理得：故选：D7.若过直线上一点M向圆Γ：作一条切线于切点T，则的最小值为（）A. B.4 C. D.【正确答案】D【分析】要使最小，则圆心到直线的距离最小，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求解.【详解】圆Γ：的圆心坐标为，半径为2，要求的最小，则圆心到直线的距离最小，为，∴的最小值为，故选：D.本题主要考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属于基础题.8.已知点是椭圆的焦点，点在椭圆上且满足，则的面积为A. B. C.2 D.1【正确答案】D【详解】，所以，所以，，，解得：，所以三角形的面积为，故选D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.袋内有个白球和个红球，有放回的从中抽取两次，每次从中随机取出一个球，则（）A.次取到的都是红球的概率为B.次取到的都是红球的概率为C.次取到的球恰好是一红一白的概率为D.次取到的球恰好是一红一白的概率为【正确答案】AD【分析】利用独立事件的概率公式可判断AB选项；利用独立事件和互斥事件的概率公式可判断CD选项.【详解】记事件第次取到白球，事件第次取到红球，则事件与、与、与、与相互独立，且，，对于AB选项，次取到的都是红球为事件，其概率为，A对B错；对于CD选项，次取到的球恰好是一红一白为事件，其概率为，C错D对.故选：AD.10.如图，在棱长为1的正方体中（）A.与的夹角为B.平面与平面夹角正切值为C.与平面所成角的正切值D.点到平面的距离为【正确答案】BCD【分析】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个求解判断即可.【详解】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，对于A，设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，所以A错误，对于B，设平面的法向量为，因为，,所以，令，则，因为平面，平面的一个法向量为，所以，设平面与平面夹角为（为锐角），则，所以，所以，所以平面与平面夹角的正切值为，所以B正确，对于C，，平面的法向量为，设与平面所成角为，则因为为锐角，所以，所以，所以与平面所成角正切值，所以C正确，对于D，因为，平面的法向量为，所以点到平面的距离为，所以D正确，故选：BCD11.已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A.点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1B.的最小值为C.若为直角三角形，则的面积为D.的范围为【正确答案】ACD【分析】对于A,利用焦半径的范围求解即可；对于B，利用位于椭圆上顶点时最大求解即可；对于C，利用点坐标求的面积即可；对于D，设利用二次函数求的范围即可.【详解】对A，易知，则，故A正确；对B，位于椭圆上顶点时最大，此时最小，且故此时为等边三角形，，故B错误；对C，若为直角三角形，由B知，，所以或，不妨设，则此时点横坐标，代入，得，故的面积为：，故C正确；对D，,设则，由得：，故，故，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两圆与上的点之间的最短距离是________.【正确答案】【分析】判断两圆的位置关系，计算出圆心距，结合圆的几何性质可求得两圆上的点之间的最短距离.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆标准方程为，圆心为，半径为，圆心距为C1故两圆上的点之间的最短距离为.故答案为.13.在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则__________.【正确答案】【分析】根据长方体外接球得半径公式求出半径，再求出外接球体积及三棱锥体积，最后求出比列即可.【详解】由于，故.将三棱锥补形为边长分别为的长方体，则其外接球半径，故.故答案为.14.设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____．【正确答案】【分析】由，求得，过作，根据题意得到，根据，得到，整理得到，结合离心率的定义，即可求解.【详解】因为，不妨设点，其中，代入椭圆方程，可得，解得，所以，即，过作，因为原点到直线的距离为，即，由，可得，即，又由，整理得，即，因为，解得，即椭圆的离心率为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为，所以，解得：．【小问2详解】由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．16.已知圆：，直线过定点．（1）若与圆相切，求直线的方程；（2）若点为圆上一点，求的最大值和最小值．【正确答案】（1），；（2）最大值，最小值.【分析】（1）根据直线和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径列式子求得值；（2）将式子化简得到，转化为点点距，进而转化为圆心到的距离，加减半径，即求得最值.【小问1详解】①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意；②若直线斜率存在，设直线为，即．由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，即，解得．故所求直线方程为，．【小问2详解】，可以看作圆上的点与点距离的平方．把点代入圆的方程：，所以点在圆外．所以圆上的点到的最大距离为，最小距离为（其中为圆心到的距离），又，故最大距离为，最小距离为，所以，．17.近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：A公司321B公司222利润率，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．（1）比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小；（2）用频率估计概率，且假设A，B两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月A，B两公司至少有一家盈利的概率．【正确答案】（1）公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率；（2）.【小问1详解】A公司过去6个月平均每月的利润率为，B公司过去6个月平均每月的利润率为，因为，所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于B公司过去6个月平均每月的利润率．【小问2详解】A公司过去6个月盈利的频率为，B公司过去6个月盈利的频率为，用频率代替概率，可知A，B两公司未来某个月盈利的概率分别为．设A，B两公司盈利分别为事件，，由题知与相互独立，所以所求概率为．18.如图所示，正方体的棱长为，若是