物理光学（第6版）课件 第六章 6.4 透镜的傅里叶变换性质和成像性质

第3章光学成像系统的频率特性§3.1透镜的相位变换作用§3.1透镜的相位变换作用

几何光学中,透镜是折射成像元件,将物点变换为像点,物、像点均可在无穷远物理光学中,透镜是实现位相变换的元件,其前后表面的光场复振幅分布不同.需要首先解决:透镜的位相变换,透镜的F.T.性质基本假设透镜是薄的,忽略折射引起的光线的横向偏移透镜无吸收,完全透明,均匀,折射率为n,不改变光场振幅,

仅改变位相透镜孔径为无限大(以后再考虑孔径影响)§3.1透镜的相位变换作用无像差的正薄透镜对点光源的成像过程：P1P2qpSSSSSS’x-yO1O2z薄透镜近似：1.忽略折射引起的光线的横向偏移2.P1、P2面是同一x-y平面的前后表面从几何光学的观点看，图示的成像过程是点物成点像从波面变换的观点看：透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波。§3.1透镜的相位变换作用

P1P2qpSSSSSS’x-yO1O2z定义透镜的复振幅透过系数:

P1面是发散球面波分布：P2面是会聚球面波分布:略去常数位相因子透镜的复振幅透过率或相位变换因子为：

§3.1透镜的相位变换作用

由透镜成像的高斯公式:

f为透镜的像方焦距。透镜的相位变换因子可简单地表为此变换与入射波的复振幅无关,它实现变换:单位振幅的平面波垂直入射，P1面上的复振幅分布Ul(x,y)=1，在平面P2上造成的复振幅分布为:正透镜:f>0,表示一个向透镜后方f处的焦点F会聚的球面波。这是一个球面波的表达式负透镜，f<0,表示一个由透镜前方-f处的虚焦点F’发出的发散球面波。与几何光学的结果相同§3.1透镜的相位变换作用若考虑透镜的有限尺寸,可引入孔径函数P(x,y),(一般是圆域函数或矩孔函数),其中P(x,y)的坐标原点与透镜中心重合则:

透镜对光波的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定的，与入射光波复振幅Ul(x,y)的具体形式无关。Ul(x,y)可以是平面波的复振幅，也可以是球面波的复振幅，还可以是某种特定分布的复振幅.只要傍轴条件满足，薄透镜就会以上述形式对Ul(x,y)进行相位变换。§3.1透镜的相位变换作用任何衍射屏,若其复振幅透过率可写为 的形式,都可看成一个焦距为f

的透镜屏的复振幅透过率:问:1.是否类似透镜?2.焦距?3.成像的波长特性?例(P49,2.9题)解:#例(续)设a>0,分别考察圆括号中的三项:代表正透镜焦距f=k/2a=p/al代表负透镜焦距f=-k/2a=-p/al代表平镜,焦距f=∞,无焦度,仅衰减振幅circ(r0/l)是孔径函数P(x,y),代表直径为l的圆孔.

§3.1透镜的相位变换作用:例

讨论

此屏类似透镜,等效于平、凹、凸三个透镜,可作位相变换三个透镜的直径为2l,焦距分别为∞,-

/a

和

/a

.当单色平面波垂直入射时,有三部分出射光束(1)直接透过,循原方向传播(2)会聚到透镜后焦面处,与透镜距离为

/a

(3)从透镜前焦点

/a

处发散的球面波正、负透镜的焦距与波长有关,即有很大的色差.只有用单色光照明,才能得到清晰的像三个衍射级不能完全分开#、

3.2透镜的傅里叶变换性质

光学系统的一般描述光学系统由孔径和透镜组成,光波由一个平面向另一个平面传播孔径:真实开孔,屏,透明片等用复振幅透过率t(x0,y0)描述,y0x0U0(x0,y0,0-)U0(x0,y0,0+)t(x0,y0)U0(x0,y0,0+)=U0(x0,y0,0-)t(x0,y0)Ul

(x’,y’)Ul’(x’,y’)透镜:实现位相变换:透镜光瞳函数：§3.2透镜的傅里叶变换性质

光学系统的一般描述

传播

光波由一个平面(x0,y0)向另一个平面(x,y)传播一段距离(z).y0x0U(x,y)U0(x0,y0)yxzz有限距离的传播用菲涅耳衍射处理.在空域有二种表达形式#

菲涅耳衍射公式

观察平面

孔径平面

空域

U(x,y)

U(x0,y0)F.T.表达:U(x,y)

§3.2透镜的傅里叶变换性质

光学系统的一般描述

上述基本单元和过程组成光学系统ylxlU(xi,yi)U0(x0,y0)yixizy0x0UlUl’did0分析时注意：确定坐标系：

一个特定平面用一组固定的xy坐标描述,不要混淆正确描述入射光波复振幅U(x,y) (平面波:垂直入射或斜入射;球面波:会聚或发散)光波由左向右传播,传播距离标绝对值遇到孔径:乘上透过率函数t(x,y),遇到透镜:乘上位相变换因子传播过程:

看成菲涅耳衍射,采用适当的形式在一定的几何关系下,可以得到傅里叶变换性质和成像性质#

§3.2透镜的傅里叶变换性质

1.物在透镜前Ul’Ulx’-y’∑p透镜前|后平面P1

|P2qpS’Sx-yzt

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:输入面输出面S:

单色点光源发出球面波照明物体t

(x0,y0)的前表面S’:S的共轭像点。注意：x-y平面不是t

(x0,y0)的像平面。要证明：t

(x0,y0)的傅里叶变换T(fx,fy)出现在x-y平面上。

§3.2透镜的傅里叶变换性质

1.物在透镜前

t

(x0,y0)的傅里叶变换T(fx,fy)出现在x-y平面上Ul’Ulx’-y’∑p透镜前|后平面P1

|P2x-yzqpS’St

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:输入面输出面基本思路直接写出发散球面波复振幅分布复振幅透过率菲涅耳衍射透镜位相变换菲涅耳衍射物像共轭关系：

§3.2透镜的傅里叶变换性质

1.物在透镜前

在傍轴近似下，单色点光源发出的球面波在物的前表面上形成的场分布为：透过物体，从输入面上出射的光场为：从输入平面出射的光场传播到透镜平面P1，为菲涅耳衍射：略去常数相位因子，Σ0为物函数所在的范围

P2

平面(紧靠透镜后)光场复振幅:透镜的光瞳函数

§3.2透镜的傅里叶变换性质

1.物在透镜前输出面上，即光源的共轭面上的光场分布为:

下面的步骤：

将Ul(x’,y’)的表达式代入,对位相因子进行代数运算和整理；利用物像共轭关系1/p+1/q=1/f，将位相因子进一步化简;先不考虑透镜有限孔径的影响，对∑p积分可扩展到无穷；利用概率积分公式

完成积分§3.2透镜的傅里叶变换性质

1.物在透镜前:结果输入平面位于透镜前，在光源共轭面上场分布的一般公式:

(3-2-2)照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此式中的q由照明光源位置p和焦距f决定。

§3.2透镜的傅里叶变换性质

1.物在透镜前:讨论输入平面位于透镜前，在光源共轭面上场分布的一般公式:

二次位相因子F.T.的核(1)d0=f,输入平面位于透镜前焦面:§3.2透镜的傅里叶变换性质

1.物在透镜前:讨论(1).

d0=f,输入平面位于透镜前焦面:只要照明光源和观察平面满足共轭关系，衍射场的复振幅分布是物函数的准确的傅里叶变换。观察面上空间频率与位置坐标的关系始终为fx=x/lf,fy=y/lf.当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，q=f，这时观察平面位于透镜后焦面。

§3.2透镜的傅里叶变换性质

1.物在透镜前:讨论(2)d0=0,输入面紧贴透镜:

此时，衍射物体的复振幅透过率与观察面上的场分布，不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。观察面上的空间坐标与空间频率的关系为fx=x/lq,fy=y/lq

，随q的值而不同。也就是说，频谱的空间尺度上能按一定的比例缩放，这对光学信息处理的应用将带来一定的灵活性，并且也利于充分利用透镜孔径。§3.2透镜的傅里叶变换性质

2.物在透镜后方,平面波照明∑p透镜前|后平面P1

|P2x’-y’Ul’t

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:输入面x-yzS’输出面f第一步：直接写出∑0前表面的光场分布：第二步：写出∑0后表面的光场分布：§3.2透镜的傅里叶变换性质

2.物在透镜后方,平面波照明∑p透镜前|后平面P1

|P2x’-y’Ul’t

(x0,y0)d0x0-

y0∑0:输入面x-yzS’输出面f第三步：由x0-y0平面传输到观察平面x-y上造成的场分布为（利用Fresnel衍射的F.T.表达式，注意z=f-d0

）：§3.2透镜的傅里叶变换性质

2.物在透镜后方对于平面波照明，得到：

对于球面波照明，得到：

仍为物体的F.T.,但

1.仍有二次位相因子

2.频谱面取值fx=xf/

(q-d0),fy=yf/(q-d0),随距离d0

而变.通过调整d0,可改变频谱的尺度

当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都是等价的。§3.2透镜的傅里叶变换性质

不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。透镜的作用:透镜将照明光波变换成会聚球面波,会聚点是照明点光源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身的像点)得到物的F.T.,但比例尺度改变.§3.2透镜的傅里叶变换性质：小结我们特别关注物在透镜前,q=f,d0=f

的特殊情形。此时

用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦面称为频谱面。§3.2透镜的傅里叶变换性质物理解释

后焦面上光场分布与频谱的对应关系物分布t

(x0,y0)是一个复杂结构,含有多种空频成分.它调制入射的均匀平面波,使透射光场携带物体的信息.透射光场的角谱代表物函数的频谱,即含有向不同方向衍射的许多平面波.其中向

角方向衍射的平面波分量经过透镜后聚焦到(0,yf)点.由几何关系易见:

yf=ftan

fsin

=fcosb

方向余弦(近轴近似)此平面波分量的空频fy=cosb

=yf/

f后焦面上(0,yf)点的复振幅,对应空频为(fx=0,fy=yf/

f)的平面波分量的振幅和位相.推广之,任意(xf,yf)点的复振幅,对应空频为(fx=xf/

f,fy=yf/

f)的平面波分量的振幅和位相.∴透镜的后焦面是物体的频谱面.#§3.2透镜的傅里叶变换性质

透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜后焦面上不同位置的点,对应物体衍射光场的不同空间频率分量xffx2fx2>

fx1fx1fx0xffx2fx1fx2>

fx1§3.2透镜的傅里叶变换性质

透镜的后焦面是输入物体的频谱面F.T.F.T.频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上.

§3.2透镜的傅里叶变换性质

变换的尺度问题对应于物的同一空频分量,变换的尺度随波长和焦距而变f1xf=lffx,yf=lffyl1l2l2>l1f2>f1f2§3.2透镜的傅里叶变换性质

3、透镜的孔径效应透镜光瞳函数为P(x,y)物体紧靠透镜：有效物函数为物在透镜后:透镜形成会聚球面波,在物面上形成投影光瞳函数:有效物函数为在频谱面上得到有效物函数的傅里叶变换。物在透镜前:投影光瞳函数更复杂一些，暂不讨论。x’-y’∑0S’d0x-yx0-y0∑pq例题

单位振幅的单色平面波垂直照明一个直径为5cm,焦距为80cm的透镜。在透镜的后面20cm的地方，以光轴为中心放置一个余弦型振幅光栅，其复振幅透过率为假定L=1cm,f0=100周/cm,l=0.6mm。画出焦平面上沿xf轴的强度分布。标出各衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间）的数值。x’-y’∑0S’d