北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A． B．ax2＋bx＋c＝0C．（x－1）（x＋2）＝1 D．3x2－2xy－5y2＝02．关于一元二次方程的一个根是0，则的值为（）A．1或 B．1 C． D．03．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．144．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则m2+4m+n＝（）A．﹣3 B．4 C．﹣4 D．55．如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准确的是（）A．矩形B．等腰梯形C．菱形D．对角线相等的四边形6．若，则的值是（）A． B． C．或 D．或7．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2．则花边的宽是（）A．2m B．1m C．1.5m D．0.5m8．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A． B． C． D．9．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2D．m≥且m≠210．某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（）A．2x2=9.5 B．2（1+x）=9.5C．2（1+x）2=9.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.511．用配方法将二次三项式a2+4a﹣5变形，结果是（）A．（a﹣2）2+9 B．（a+2）2+9 C．（a﹣2）2﹣9 D．（a+2）2﹣912．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是（）A． B． C． D．二、填空题13．方程（x﹣5）（2x﹣1）＝3的一般形式是_____．14．菱形的对角线长分别为24和10，则此菱形的周长为_____，面积为_____．15．有一个1万人的小镇，随机调查3000人，其中450人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一人，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率是_____．16．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，共有________家公司参加商品交易会．三、解答题17．解下列一元二次方程：（1）2（x+3）2＝x（x+3）．（2）x2﹣2x﹣3＝0．（3）2x2﹣9x+8＝0．18．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字，，，的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在一次函数的图象上的概率；（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足的概率.19．如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF⑴求证：四边形AECF是平行四边形；⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．20．如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形．连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．当四边形ABCD的对角线满足时，四边形EFGH为矩形；当四边形ABCD的对角线满足时，四边形EFGH为正方形；（2）探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明；（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？21．某校甲、乙、丙三人参加语文、数学、英语学科素养展示活动，每人限报一项，求甲报英语、乙报数学、丙报语文的概率．22．某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克；（1）为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？（2）通过涨价可以使利润达到10000元吗？如果能，应涨价多少元？如果不能，请说明理由．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）求证：DF∥AB，DF＝；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由．24．如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．（1）求证：四边形为矩形；（2）当°时，四边形是一个正方形．25．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？参考答案1．C【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程．根据定义即可求解．【详解】解：A选项含有分式，故不是；B选项中没有说明a≠0，则不是；C选项是一元二次方程；D选项中含有两个未知数，故不是；故选：C．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明确一元二次方程的定义．2．C【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a−1≠0，a2−1＝0，求出a的值即可．【详解】把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程，∴a−1≠0，即a≠1，∴a的值是−1．故选：C．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．3．A【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．4．B【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7，∴原式＝m2+3m+m+n＝7﹣3＝4，故选B．【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型．5．D【解析】试题分析：根据题意对各个选项进行分析从而得到最准确的答案．矩形，等腰梯形均能得到菱形但不够全面，菱形无法得到菱形，即只要对角线相等不管是什么形状均可，故选D．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．6．C【分析】先设x+y=t，则方程即可变形为t2-t-6=0，解方程即可求得t即x+y的值．【详解】解：设t=x+y，则原方程可化为：t（1-t）+6=0即-t2+t+6=0t2-t-6=0∴t=-2或3，即x+y=-2或3．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．7．B【解析】【分析】我们可设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据面积为18平方米，即长与宽的积是18平方米，列出方程解答即可．【详解】解：设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据题意列方程得8−2x5−2x解得x1=1，x2=5.5（不符合题意，舍去）．所以，花边的宽为1m．故选：B．【点睛】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．8．C【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.【详解】画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．故选C．9．C【解析】分析：本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．详解：∵关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，即（2m+1）2-4×（m-2）2×1＞0，解这个不等式得，m＞，又∵二次项系数是（m-2）2，∴m≠2，故M得取值范围是m＞且m≠2．故选C．点睛：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．10．D【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元即可得出方程．【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x则2014的教育经费为：2（1+x）万元，2015的教育经费为：2（1+x）2万元，那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．11．D【分析】二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．【详解】解：a2+4a﹣5＝a2+4a+4﹣4﹣5＝（a+2）2﹣9，故选：D．【点睛】本题考查了配方法的应用．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．12．C【解析】【详解】共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6;2、4、7;2、6、7;4、6、7共4种，其中能构成三角形的结果是2、6、7;4、6、7共2种，所以能构成三角形的概率==．故选C．13．2x2﹣11x+2＝0【分析】利用整式是乘法法则打开括号，然后移项、合并同类项，最后就可以得到方程的一般形式．【详解】解：（x﹣5）（2x﹣1）＝3，∴2x2﹣11x+5﹣3＝0，∴2x2﹣11x+2＝0．故答案为：2x2﹣11x+2＝0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其中一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．14．52120【分析】已知菱形的两条对角线的长，即可计算菱形的面积，菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理即可计算菱形的边长，即可解题．【详解】解：如图菱形对角线互相垂直平分，所以AO＝5，BO＝12，∴AB＝＝13，故菱形的周长为4×13＝52，菱形的面积为×24×10＝120．故答案为52、120．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理求AB的长是解题的关键．15．【分析】用看新闻的人数除以被调查的总人数即可得．【详解】解：在该镇随便问一人，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率是＝，故答案为．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．16．【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有x（x-1）份．【详解】设有x家公司参加，依题意得x(x−1)=45，整理得：x2−x−90=0，解得：x1=10,x2=−9(舍去)，答：共有10公司参加商品交易会.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程.17．（1）x＝﹣3或x＝﹣6；（2）x＝﹣1或x＝3；（3）x＝．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；

（2）利用因式分解法求解可得；

（3）利用公式法求解可得．【详解】解：（1）∵2（x+3）2＝x（x+3），∴2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，则（x+3）（x+6）＝0，∴x+3＝0或x+6＝0，解得x＝﹣3或x＝﹣6；（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，则x+1＝0或x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3；（3）∵2x2﹣9x+8＝0，∴a＝2，b＝﹣9，c＝8，则△＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17＞0，则x＝．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（1）表格见解析；（2）P（点落在一次函数的图象上）=；（3）P（）=．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出所确定的点（x，y）落在一次函数y=x﹣1的图象上的情况数，即可求出所求的概率；（3）找出所确定的数x、y满足y=x﹣1的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）列表如下：（2）所有等可能的情况有16种，其中所确定的点（x，y）落在一次函数y=x﹣1的情况有3种，分别为（﹣1，﹣2）；（﹣2，﹣3）；（﹣3，﹣4），则P（点落在一次函数的图象上）=；（3）∵小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足y>x−1的有：(−1,−1),(−2,−1),(−2,−2),(−3,−1),(−3,−2),(−3,−3),(4,−1),(−4,−2),(−4,−3),(−4,−4)，∴小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足y>x−1的概率为：.考点：1.列表法与树状图法2.一次函数图象上点的坐标特征．19．⑴证明见解析⑵5【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长【详解】⑴证明：如图∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC∴四边形AECF是平行四边形⑵解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC∴∠1=∠2分∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE∴BE=AE=CE=BC=520．（1）AC⊥BD，AC⊥BD且AC＝BD；（2）S△AEH+S△CFG＝S四边形ABCD，见解析；（3）1【分析】（1）若四边形EFGH为矩形，则应有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故应有AC⊥BD；若四边形EFGH为正方形，同上应有AC⊥BD，又应有EH=EF，而EF=AC，EH=BD，故应有AC=BD．

（2）由相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．（3）由（2）可得S▱EFGH=S四边形ABCD=1【详解】解：（1）若四边形EFGH为矩形，则应有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故应有AC⊥BD；若四边形EFGH为正方形，同上应有AC⊥BD，又应有EH＝EF，而EF＝AC，EH＝BD，故应有AC＝BD．（2）S△AEH+S△CFG＝S四边形ABCD．证明：在△ABD中，∵EH＝BD，∴△AEH∽△ABD．∴．即S△AEH＝S△ABD同理可证：S△CFG＝S△CBD∴S△AEH+S△CFG＝（S△ABD+S△CBD）＝S四边形ABCD．（3）由（2）可知S△AEH+S△CFG＝（S△ABD+S△CBD）＝S四边形ABCD，同理可得S△BEF+S△DHG＝（S△ABC+S△CDA）＝S四边形ABCD，故S▱EFGH＝S四边形ABCD＝1．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定和性质，相似三角形的性质．21．【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲报英语、乙报数学、丙报语文的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树形图由树形图可知所有可能情况共27中，其中甲报英语、乙报数学、丙报语文的情况有1中，所以甲报英语、乙报数学、丙报语文的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）5；（2）不能，见解析【分析】（1）首先设每千克应涨价x元，由题意，得涨价后每千克盈利（10+x）元，销量为（500-20x）千克，利用销量×每千克利润=总利润，根据等量关系列出方程，再解即可；

（2）设涨价x元时总利润为y元，根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值．【详解】解：（1）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x＝5或x＝10，∴为了使顾客得到实惠，所以x＝5．答：应该涨价5元；（2）设涨价x元时总利润为y元，由题意，得y＝（10+x）（500﹣20x），y＝﹣20x2+300x+5000，y＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，∴当x＝7.5时，y取得最大值，最大值为6125元．利润不能达到10000元，答：利润不能达到10000元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示涨价后的销量和利润，再找出题目中的等量关系，列出方程．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．见解析【分析】（1）先根据AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根据AE是△ABC的外角平分线，可求出AN∥BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四边形ADCE为矩形；

（2）根据四边形ADCE是矩形，可知F是AC的中点，由AB=AC