中考数学二轮复习冲刺第01讲 中考热点实数【挑战中考满分模拟练】（解析版）

第01讲中考热点实数【挑战中考满分模拟练】【温馨提醒】中考考点第一模块的“数”，包括有理数与实数等章节，但是涉及的知识点合计有45个考点。很多地市中考数学试卷的涉及实数模块的考题常常是中考第一题，命制原则以送分送到位为准。但是也有一些地市的命制以多个模块（不仅仅是实数）的多个知识点综合的考核，既可以综合实数模块的多个考点，又可以实数结合概率的知识点，还有需要注意涉及数轴的知识与其他知识点的综合运用，以及关注到数学文化的内容在考题中的渗透。所以这一部分的中考复习要扎实，要关注到基础概念的准确深入的理解，而不是死记硬背知识点。一．数轴（共4小题）1．（2022•青县一模）如图，数轴上﹣6，﹣3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（）A．﹣1 B．0 C．2.5 D．3【分析】利用两点间的距离，三边关系，推出第三边条的取值范围即可．【解答】解：可设B表示的数为x，x＞0，则BN＝6﹣x，AB＝x﹣（﹣3）＝x+3，∵△ABC中，AC＝AM＝﹣3﹣（﹣6）＝3；BC＝BN＝6﹣x，∴AC+BC＞AB，∴3+6﹣x＞x+3，∴0＜x＜3，故选：C．【点评】本题考查的数轴上的点表示的数，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．2．（2022•镇海区校级模拟）数轴上某一个点表示的数为a，比a小4的数用b表示，那么|a|+|b|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用比a小的数表示为b＝a﹣4，代入式子计算即可．【解答】解：∵b＝a﹣4，∴|a|+|b|＝|a﹣0|+|a﹣4|，表示的是a到0和4的距离的和，所以当a在0和4之间时，有最小值4．故选：B．【点评】本题考查的是绝对的和的最小值问题，解题的关键是把原式化成一个数到两个已知数的最小值问题．3．（2022•新河县一模）以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8．（1）写出点A和点B表示的数；（2）写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；（3）在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点对称的点表示的数．【分析】（1）利用AB间的距离和A、B互为相反数求值即可；（2）利用两点间的距离计算即可；（3）利用两点间的距离计算即可．【解答】解：（1）∵A对应刻度2，B对应刻度8，∴AB＝8﹣2＝6，∵A，B在数轴上互为相反数且A在左，B在右，∴A表示﹣3，B表示3；（2）∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，∴C表示的数为3﹣9.5＝﹣6.5；（3）因为点D到A的距离为2，所以点D表示的数为﹣1和﹣5．因为点D到B的距离为4，所以点D表示的数为﹣1和7．综上，点D表示的数为﹣1．所以点D关于原点对称的点表示的数为1．【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离是表示两个点的数差的绝对值，或用右边的数减去左边的数．4．（2022•孟村县二模）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A、B、C，其中AB＝4cm，BC＝2cm．以这条直线为基础建立数轴、设点A、B、C所表示数的和是p．（1）如果规定向右为正方向；①若以BC的中点为原点O，以1cm为单位长度建立数轴，则p＝﹣5；②若单位长度不变，改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且CO＝30cm，求p的值；并说明原点每向右移动1cm，p值将如何变化？③若单位长度不变，使p＝64，则应将①中的原点O沿数轴向左方向移动23cm；④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm建立数轴，则p＝．（2）如果以1cm为单位长度，点A表示的数是﹣1，则点C表示的数是5.【分析】（1）①建立数轴，确定原点，找到各点表示的数，相加即可；②同①，确定原点，找到各数即可；③同①，先设原点，表示各数，相加和为64，从而确定出原点即可；④单位长度为ncm，相当于把①中的单位长度除以n即可；（2）确定原点，表示各数，相加即可．【解答】解：（1）①BC中点为原点O，则C表示的数是1，B表示的数为﹣1，A表示的数为﹣5，∴p＝﹣5+（﹣1）+1＝﹣5，故答案为：﹣5；②∵CO＝30cm，∴C表示的数是﹣30，B表示的数是﹣32，A表示的数是﹣36，∴p＝﹣30+（﹣32）+（﹣36）＝﹣98，原点出右移1cm，则各点表示的数就﹣1，所以和就减少3，即p值减少3；③根据②可知，原点向右平移1cm，p就减少3；原点向左平移1cm，p就增加3，∵p值是64，相对增加，∴可设左移xcm，得，﹣5+3x＝64，∴x＝23，故答案为：左；23；④单位长度除以n，则表示的数除以n，所以和除以n，即p＝；故答案为：；（2）∵A点表示的数为﹣1，∴A点在原点左侧1cm处，∵AB＝4cm，BC＝2cm，∴C点到原点的距离为4﹣1+2＝5，∴C点表示的数是5，故答案为：5．【点评】本题考查了数轴上表示实数的方法，解题的关键是确定原点，计算点到原点的距离．二．绝对值（共2小题）5．（2022•鹤山市一模）下列两个数中，互为相反数的是（）A．+2和﹣2 B．2和 C．2和 D．+2和|﹣2|【分析】根据相反数的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵+2的相反数是﹣2，故本选项符合题意；B、∵2的相反数是﹣2，∴﹣2与﹣不是互为相反数，故本选项不符合题意；C、∵2的相反数是﹣2，∴2与不是互为相反数，故本选项不符合题意；D、∵+2的相反数是﹣2，|﹣2|＝2，∴2与|﹣2|不互为相反数，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是实数的性质，熟知相反数的定义、算术平方根及立方根的定义是解答此题的关键．6．（2022•零陵区二模）如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合，若A＝B，则x﹣y的值是（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣1【分析】利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有＝0，从而得出别两种情况．讨论后即可得解．【解答】解：由题意知A＝{2，0，x}，由互异性可知，x≠2，x≠0．因为B＝{}，A＝B，由x≠0，可得|x|≠0，≠0，所以，即y＝0，那么就有或者，当得x＝，当无解．所以当x＝时，A＝{2，0，}，B＝{2，，0}，此时A＝B符合题意．所以x﹣y＝．故选：B．【点评】本题考查的是新定义下的探究型题目，关键是理解新定义的含义，再去探究题目．三．倒数（共2小题）7．（2022•秦淮区二模）﹣的相反数是，﹣的倒数是﹣3．【分析】根据相反数和倒数的定义分别进行解答即可得出答案．【解答】解：﹣的相反数是；﹣的倒数是﹣3；故答案为：，﹣3．【点评】此题考查了相反数和倒数，掌握相反数和倒数的定义是解题的关键；只有符号不同的两个数互为相反数；乘积是1的两个数互为倒数．8．（2022•市中区二模）的倒数是（）A． B． C． D．【分析】直接利用倒数的定义得出答案．倒数的定义：一个数与另一个数相乘，所得的积为1，那么这两个数互为倒数．【解答】解：的倒数是．故选：C．【点评】本题考查了倒数的定义，正确掌握相关定义是解题的关键．四．有理数大小比较（共1小题）9．（2022•市中区校级模拟）若a，b在数轴上表示如图所示，那么（）A．a＜b B．a﹣b＜0 C．|a﹣b|＝﹣（a﹣b） D．|b﹣a|＝a﹣b【分析】从数轴可知：b＜0＜a，且|b|＞|a|，再逐个判断即可．【解答】解：从数轴可知：b＜0＜a，且|b|＞|a|，A、a＞b，故本选项错误；B、a﹣b＞0，故本选项错误；C、|a﹣b|＝a﹣b，﹣（a﹣b）＝b﹣a，故本选项错误；D、|b﹣a|＝﹣（b﹣a）＝a﹣b，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．五．有理数的加法（共1小题）10．（2022•丽水二模）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的a﹣b的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【分析】根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得a、b的值，根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：根据幻方的性质，则a+9＝8+5，所以a＝4，而a+8＝5+b，则b＝7，故a﹣b＝4﹣7＝﹣3，故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得a、b，最后是有理数的加法．六．有理数的加减混合运算（共1小题）11．（2022•河北二模）请根据图示的对话解答下列问题．求：（1）a，b的值；（2）8﹣a+b﹣c的值．【分析】（1）根据相反数和绝对值求出a、b即可；（2）求出c的值，分别代入求出即可．【解答】解：（1）∵a的相反数是3，b的绝对值是7，∴a＝﹣3，b＝±7；（2）∵a＝﹣3，b＝±7，c和b的和是﹣8，∴当b＝7时，c＝﹣15，当b＝﹣7时，c＝﹣1，当a＝﹣3，b＝7，c＝﹣15时，8﹣a+b﹣c＝8﹣（﹣3）+7﹣（﹣15）＝33；当a＝﹣3，b＝﹣7，c＝﹣1时，8﹣a+b﹣c＝8﹣（﹣3）+（﹣7）﹣（﹣1）＝5．【点评】本题考查了有理数的加减，相反数，绝对值的应用，能求出b、c的值是解此题的关键．七．有理数的乘方（共3小题）12．（2022•江津区一模）定义：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．下列说法正确的序号有（）①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝2，则a＝2；④log264＝log232+log22A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④【分析】根据对数与幂的关系判断．【解答】解：∵61＝6．∴log66＝1．∴①错误．∵34＝81．∴log381＝4．∴②正确．∵log4（a+14）＝2．∴a+14＝42．∴a＝2．∴③正确．∵log264＝6，log232＝5，log22＝1．∴④正确．故选：D．【点评】本题考查对数的运算，找到对数与幂的关系是求解本题的关键．13．（2022•景县校级模拟）一根1米长的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（）A．（）5米 B．[1﹣（）5]米 C．（）5米 D．[1﹣（）5]米【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次截去后剩下的木棒长（）2米，以此类推第n次截去后剩下的木棒长（）n米．【解答】解：将n＝5代入即可，第5次截去后剩下的木棒长（）5米．故选：C．【点评】本题考查了乘方的意义．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；解题还要掌握乘方的运算法则．14．（2022•西城区校级模拟）如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为10100，AB＝BC＝CD＝DE，则数1099所对应的点在线段（）上．A．AB B．BC C．CD D．DE【分析】先根据AB＝BC＝CD＝DE，计算出每一个线段的长度，再把AB的长度与1099﹣10进行比较即可．【解答】解：∵A点表示数为10，E点表示的数为10100，∴AE＝10100﹣10，∵AB＝BC＝CD＝DE，∴AB＝AE＝（10100﹣10），∴E点表示的数为＝（10100﹣10）﹣10，∵＝（10100﹣10）﹣10﹣1099＝×1099﹣＞0，∴（10100﹣10）﹣10＞0，∴数1099所对应的点在B点左侧，∴数1099所对应的点在AB点之间，故选：A．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出1099﹣10的大小是得出正确答案的关键．八．有理数的混合运算（共12小题）15．（2022•石景山区一模）如图，某建筑公司有A（1，3），B（3，3），C（5，3）三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M（1，5），N（3，1）两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于（a+b+c）吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有（a+c）吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a＞c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有（a+b+c）吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a：b：c＝3：2：1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序N﹣B﹣A﹣C（按运送的先后顺序依次排列即可）．【分析】通过计算，比较MA+AC与NA+AC的大小即可得出结论；按向三个工地运送水泥的顺序的路线分别计算总的“吨千米数”后，比较大小即可得出结论．【解答】解：∵MA＝2，NA＝2，AC＝4，∴MA+AC＜NA+ACM∴若公司安排一辆装有（a+c）吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a＞c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运，故答案为：M；∵A（1，3），B（3，3），C（5，3），N（3，1），∴NA＝NC＝2，NB＝AB＝BC＝2，∵a：b：c＝3：2：1，a＝3c，b＝2c．当按N﹣A﹣B﹣C运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×3c+2c＝（8+12）c≈24.97c；当按N﹣B﹣A﹣C线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4c＝24c；当按N﹣B﹣C﹣A线路运输时，总的“吨千米数”为：2×6c+2×4c+4×3c＝32c，∵24c＜24.97c＜32c，∴当按N﹣B﹣A﹣C线路运输时，总的“吨千米数”最小．故答案为：N﹣B﹣A﹣C．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，方案的优选，勾股定理，利用图形经过计算得出结论是解题的关键．16．（2022•利州区校级模拟）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]＝﹣2；②[x]+[﹣x]＝0；③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3；④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．其中正确的结论有①③（写出所有正确结论的序号）．【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．【解答】解：①[﹣2.1]+[1]＝﹣3+1＝﹣2，正确；②[x]+[﹣x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x+1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，0＜﹣x+1≤2，∴[x+1]＝0或1，[﹣x+1]＝0或1或2，当[x+1]＝0时，则﹣1≤x＜0，所以[﹣x+1]＝1或2，则[x+1]+[﹣x+1]的值为1或2；当[x+1]＝1时，则0≤x＜1，所以[﹣x+1]＝1或0；则[x+1]+[﹣x+1]的值为1或2；所以[x+1]+[﹣x+1]的值为1、2，故错误．故答案为：①③．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[x]表示不超过x的最大整数．17．（2022•路南区二模）洪洪同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键再输入“b”，就可以得到运算a★b＝|2﹣a2|﹣+1．（1）按此程序（﹣3）★2＝7.5；（2）若淇淇输入数“﹣1”加“★”键再输入“x”后，电脑输出的数为1，求x的值；（3）嘉嘉同学运用淇淇设置的在这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行，”你能说出嘉嘉在什么地方出错了吗？【分析】（1）根据新定义，代入代数式求值即可；（2）根据新定义列出方程求解即可；（3）根据分式有意义的条件解答．【解答】解：（1）原式＝|2﹣（﹣3）2|﹣+1＝|2﹣9|﹣+1＝7﹣+1＝7.5，故答案为：7.5；（2）根据题意得：|2﹣（﹣1）2|﹣+1＝1，解得：x＝1；（3）嘉嘉输入的第二个数为0，导致没有意义，所以该操作无法进行．【点评】本题考查了有理数的混合运算，新定义，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．18．（2022•藁城区二模）定义新运算：f（a，b）＝，如f（5，3）＝52﹣32＝16，f（3，5）＝（3﹣5）2＝4，（1）求：的值．（2）计算：f（x，2x）．【分析】（1）根据新定义的运算进行求解即可；（2）分两种情况讨论，再结合新定义的运算，从而可求解．【解答】解：（1）f（﹣，﹣）＝（﹣）2﹣（﹣）2＝﹣＝﹣；（2）当x＜0时，f（x，2x）＝x2﹣（2x）2＝x2﹣4x2＝﹣3x2；当x≥0时，f（x，2x）＝（x﹣2x）2＝x2．故f（x，2x）＝．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，函数自变量的取值范围，解题的关键是理解清楚新定义的运算．19．（2022•路桥区一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩油菜．（1）求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；（2）该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．【分析】（1）用油菜种植面积除以收割机的台数，再除以一台收割机每天大约能收割的面积数，列出算式计算即可求解；（2）求出8台收割机每天的工作时间延长10%，收割3天的工作量，与收割任务的右边进行比较即可求解．【解答】解：（1）2000÷5÷40＝400÷40＝10（天）．答：该合作社按计划10天可收割完这些油菜；（2）该合作社能完成抢收任务．理由如下：40×（1+10%）×（5+3）×3＝44×8×3＝1056（亩），2000÷2＝1000（亩），∵1056＞1000，∴该合作社能完成抢收任务．【点评】本题考查了有理数的混合运算，关键是熟悉工作量，工作效率和工作时间的关系．20．（2022•桑植县模拟）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2②＝1；（﹣）③＝1；【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝（﹣）3，（）⑥＝54．（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33．【分析】【初步探究】（1）根据题目中的例子，可以计算出所求式子的值；【深入思考】（2）仿照给出的算式，可以计算出所求式子的值；（3）根据（2）中的计算过程和有理数的运算法则，可以计算出所求式子的值．【解答】解：【初步探究】（1）2②＝2÷2＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣2，故答案为：1，﹣2；【深入思考】（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，（）⑥＝÷÷÷÷÷＝×5×5×5×5×5＝54，故答案为：（﹣）3，54；（3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33＝144÷（﹣3）2×（﹣）4﹣（﹣3）4÷27＝144÷9×﹣81÷27＝16×﹣3＝1﹣3＝﹣2．【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答问题．21．（2022•定远县模拟）探究规律，完成下列题目．小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的法则进行运算的算式：（+5）❈（+2）＝+7；（﹣3）❈（﹣5）＝+8；（﹣3）❈（+4）＝﹣7；（+5）❈（﹣6）＝﹣11；0❈（+8）＝|+8|＝8；（﹣6）❈0＝|﹣6|＝6．小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也看明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：①两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．②特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，等于这个数的绝对值．．（2）计算：（﹣2）❈[0❈（﹣3）]＝﹣5．（括号的作用同在有理数运算中的作用）（3）我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）【分析】（1）①根据题意，可以写出两数进行❈（加乘）运算时的法则；②根据题目中的式子，可以写出0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算的法则；（2）根据（1）中的结果，可以写出所求式子的值；（3）先判断，然后举出例子即可．【解答】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：①两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，等于这个数的绝对值．故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值．（2）（﹣2）❈[0❈（﹣3）]＝（﹣2）❈3＝﹣5，故答案为：﹣5；（3）加法交换律在❈（加乘）运算中适用，如：（﹣2）❈3＝﹣5，3❈（﹣2）＝﹣5则（﹣2）❈3＝3❈（﹣2）．【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．22．（2022•东兴区校级二模）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣）④＝4；（2）下列关于除方说法中，错误的是：C．A：任何非零数的圈2次方都等于1B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1C：3④＝4③D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝（﹣）3，（）⑥＝54．（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝（）n﹣2．．（5）算一算：＝﹣2．【分析】（1）根据规定运算，直接计算即可；（2）根据圈n次方的意义，计算判断得结论；（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；（4）根据圈n次方的规定和（3）的结果，综合可得结论；（5）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2＝，（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×2×2＝4；故答案为：，4；（2）∵3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，∴3④≠4③．故选：C．（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，（）⑥＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1×5×5×5×5＝54；故答案为：（﹣）3，54；（4）（4）a÷a÷a÷…÷a＝a×××…×＝（）n﹣2．故答案为：（）n﹣2．（5）原式＝＝122÷32×（）4﹣34÷33＝24×32÷32×（）4﹣3＝1﹣3＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了新定义运算，掌握圈n次方的意义是解决本题的关键．23．（2022•广西模拟）计算：（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]．【分析】先算乘方，再算括号里面的减法，再算乘法，最后算减法．【解答】解：原式＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1+＝．【点评】此题考查有理数的混合运算，注意运算的顺序与符号的判定．24．（2022•桥西区校级模拟）对于四个数“﹣6，﹣2，1，4”及四种运算“+，﹣，×，÷”，列算式解答：（1）求这四个数的和；（2）在这四个数中选出两个数，填入下列□中，使得：①“□﹣□”的结果最小；②“□×□”的结果最大．（3）在这四个数中选出三个数，在四种运算中选出两种，组成一个算式，使运算结果等于没选的那个数．【分析】（1）将题目中的数据相加即可解答本题；（2）①根据题目中的数字，可以写出结果最小的算式；②根据题目中的数字，可以写出结果最大的算式；（3）本题答案不唯一，主要符合题意即可．【解答】解：（1）（﹣6）+（﹣2）+1+4＝﹣8+1+4＝﹣7+4＝﹣3；（2）由题目中的数字可得，①（﹣6）﹣4的结果最小；②（﹣6）×（﹣2）的结果最大；（3）答案不唯一，符合要求即可．如：﹣2﹣1×4＝﹣6；﹣6+4÷1＝﹣2；4﹣（﹣6）÷（﹣2）＝1；（﹣2）×1﹣（﹣6）＝4．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．25．（2022•镇海区校级模拟）定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），则x的值为56．【分析】根据题目中的新定义和（4，8）+（4，7）＝（4，x），可以求得x的值．【解答】解：设4m＝8，4n＝7，∵（4，8）+（4，7）＝（4，x），∴m+n＝（4，x），∴4m+n＝x，∴4m×4n＝x，∴8×7＝x，∴x＝56，故答案为：56．【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．26．（2022•沙坪坝区校级模拟）对于一个百位数字与十位数字之和为3的四位正整数m，其各数位上数字均不为零且小于9，交换千位与个位上的数字得到数m'，令，若F（m）为正整数，则称m为“三中全会”数．例如：对于8212，2+1＝3，F（8212）＝＝18，∵18是正整数，∴8212是“三中全会”数；对于3216，2+1＝3，F（3216）＝＝﹣9，∵﹣9不是正整数，∴3216不是“三中全会”数．（1）请判断6214，4127是否是“三中全会”数，并说明理由；（2）对“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字，去掉它的百位和十位后得到的两位数与m的百位、十位和个位上的数字之和记为G（m），若是整数，则称m为“南开全对”数，请求出所有“南开全对”数．【分析】（1）根据三中全会”数的定义进行判断即可；（2）由“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字可得到百位数字、十位数字分别为1，2，则可求得a＞b，再结合“南开全对”数的定义进行求解即可．【解答】解：（1）F（6214）＝＝6，∵6是正整数，∴6214是“三中全会”数；F（4127）＝＝﹣9，∵﹣9不是正整数，∴4127不是“三中全会”数；答：6214是“三中全会”数，4127不是“三中全会”数；（2）∵对“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字，∴其百位数字、十位数字分别为1，2，设它的千位数字、个位数字分别为a，b（a，b均不为零且小于9），则有：F（m）＝＝3a﹣3b，且3a﹣3b是正整数，∴a＞b，∵去掉它的百位和十位后得到的两位数与m的百位、十位和个位上的数字之和记为G（m），∴G（m）＝10a+b+1+2+b＝10a+2b+3，∴，若是整数，则称m为“南开全对”数，∵a＞b，a，b均不为零且小于9的整数，∴b的可能取值为整数1～7，a的可能取值为整数2～8，当是整数时，满足条件的a，b有：，，，当时，m＝2121，当时，m＝4123，当时，m＝7124．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的关系．九．科学记数法—表示较大的数（共2小题）27．（2022•瑞金市模拟）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系．去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将8200000用科学记数法表示为8.2×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将8200000用科学记数法表示为8.2×106．故答案为：8.2×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．28．（2022•沂源县二模）据统计，杭州市注册志愿者人数已达109万人，将109万人用科学记数法表示应为1.09×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将109万用科学记数法表示为1.09×106．故答案为：1.09×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．一十．科学记数法—表示较小的数（共1小题）29．（2022•莘县二模）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（）A．1.5×10﹣9秒 B．15×10﹣9秒 C．1.5×10﹣8秒 D．15×10﹣8秒【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：所用时间＝15×0.000000001＝1.5×10﹣8．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．一十一．用数字表示事件（共2小题）30．（2022•阿荣旗二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84 B．336 C．510 D．1326【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数．【解答】解：1×73+3×72+2×7+6＝510，故选：C．【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．31．（2022•随县一模）中国古代十进位制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．算筹计数的方法：如图，将个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出，将十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出．图1和图2都是借用算筹进行减法运算，例如：图1所示的图形表示的等式54﹣23＝31，34﹣3＝31，则图2所示的图形表示的等式为386﹣273＝113（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】根据算筹计数的方法，列出算式计算即可求解．【解答】解：图2所示的图形表示的等式为386﹣273＝113（答案不唯一）．故答案为：386﹣273＝113（答案不唯一）．【点评】本题考查了用数字表示事件，有理数的减法，关键是根据题意正确列出算式计算求解．一十二．平方根（共2小题）32．（2022•易县二模）一个数的平方根是a+4和2a+5，则a＝﹣3，这个正数是1．【分析】根据平方根的定义构建方程即可解决问题．【解答】解：∵一个数的平方根是a+4和2a+5，∴a+4+2a+5＝0，∴a＝﹣3，∴这个数的平方根是±1，这个数是1，故答案为﹣3，1．【点评】本题考查平方根的定义、一元一次方程等知识，解题的关键是记住平方根的定义，学会构建方程解决问题．33．（2022•贵阳模拟）若3﹣a和2a+3都是某正数的平方根，则某数为81或9．【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3﹣a+2a+3＝0，a＝﹣6，或3﹣a＝2a+3，解得a＝0，继而得出答案【解答】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∴3﹣a+2a+3＝0．解得：a＝﹣6∴3﹣（﹣6）＝3+6＝9．∵92＝81，∴这个数为81．或3﹣a＝2a+3，解得a＝0，∴这个数是9，故答案为：81或9．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．一十三．算术平方根（共2小题）34．（2022•雨花区模拟）面积为2的正方形的边长为．【分析】根据算术平方根解答即可．【解答】解：面积为2的正方形的边长为；故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，利用了开方运算，注意一个正数只有一个算术平方根．35．（2022•东明县三模）有一个数值转换器，原理如下：当输入的数是16时，则输出的数是．【分析】把16代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值．【解答】解：∵＝4，4是有理数，∴继续转换，∵＝2，2是有理数，∴继续转换，∵2的算术平方根是，是无理数，∴符合题意，故答案为：．【点评】本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数和无理数的区别．一十四．非负数的性质：算术平方根（共1小题）36．（2022•佛山二模）已知a、b、c都是实数，若+|2b+|+（c+2a）2＝0，则＝1．【分析】利用非负数的意义求得a，b，c值，将a，b，c值代入运算即可．【解答】解：∵+|2b+|+（c+2a）2＝0，≥0，|2b+|≥0，（c+2a）2≥0，∴a﹣2＝0，2b+＝0，c+2a＝0，∴a＝2，b＝﹣，c＝﹣4．∴＝＝＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了非负数的应用，利用非负数的意义求得a，b，c值是解题的关键．一十五．无理数（共1小题）37．（2022•河南模拟）写一个大于﹣2小于﹣1的无理数﹣．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：写一个大于﹣2小于﹣1的无理数﹣（答案不唯一），故答案为：﹣．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．一十六．实数与数轴（共1小题）38．（2022•城厢区校级一模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列选项正确的是（）A．|c|＞|a| B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c C．a+b+c＝0 D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|【分析】根据数轴可得：a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，再根据绝对值，有理数加减法逐项判定即可．【解答】解：由数轴可知，a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，∴|c|＜|a|，故A选项错误；∵b≠c，∴2b≠2c，∴c﹣a≠b﹣a+b﹣c，故B选项错误；∵a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，a，b，c不是整数，且不确定，∴a+b+c的值不能确定为0，故C选项错误；∵|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|﹣|b﹣c|＝c﹣a﹣（c﹣b）＝b﹣a，∴|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|，故D选项正确；故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，掌握在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．一十七．实数大小比较（共1小题）39．（2022•桂平市二模）在下列四个实数中，最小的实数是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【分析】利用实数大小比较的法则解答即可．【解答】解：∵正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，∴四个实数中，最小的实数是﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了实数大小的比较，正确利用实数大小比较的法则是解题的关键．一十八．估算无理数的大小（共2小题）40．（2022•沙坪坝区校级模拟）估计的值在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行计算，并估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：原式＝+＝+2，∵25＜30＜36，∴5＜＜6，∴7＜+2＜8．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．41．（2022•鄂州一模）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：（结论不需要证明）．例如：．根据以上阅读，请解决下列问题：【基础训练】（1）求的值．【能力提升】（2）设，求S的整数部分．【拓展升华】（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），其中，且y+z＝3yz．当取得最小值时，求x的取值范围．【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；（2）将进行化简，再确定整数部分；（3）将原式化简为|+3|+|﹣3|，再根据|+3|+|﹣3|取最小值时，确定x的取值范围．【解答】解：（1）＝＝|1++|＝；（2）＝++…+＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣＝2020﹣＝2019，故整数部分为2019；（3）由题意得，＝|++|+|﹣﹣|＝|+|+|﹣|，又y+z＝3yz，原式＝|+3|+|﹣3|，因为|+3|+|﹣3|取最小值，所以﹣3≤≤3，而x＞0，因此，x≥，答：x的取值范围为x≥．【点评】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点．一十九．实数的运算（共12小题）42．（2022•盐池县二模）计算：﹣tan60°﹣|﹣2|＝﹣6．【分析】利用负整数指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：原式＝﹣4﹣﹣（2﹣）＝﹣4﹣﹣2+＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，正确使用实数法则进行运算是解题的关键．43．（2022•秦淮区一模）计算（）0＝1，2﹣1＝．【分析】原式利用零指