（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测02函数的性质（教师版）

第第页第02课函数的性质考点01：判断函数单调性【例1】下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在定义域上单调递增，故B错误；对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；对于D：，函数在上单调递减，故D正确；故选：D【变式1】已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，确定函数的奇偶性和在上的单调性，再逐项判断作答.【详解】由，知函数是偶函数，由当时，，知在上单调递减，对于A，函数在上单调递增，A不是；对于B，指数函数不具奇偶性，B不是；对于D，当时，在上单调递增，D不是；对于C，函数是偶函数，当时，，而余弦函数在上单调递减，即在上单调递减，C是.故选：C【变式2】下列命题正确的是（

）A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同【答案】C【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断．【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；对于C：在是增函数，在是减函数，，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；设定义域为，取，则，当时，，即在上单调递减，当，，即在上单调递减，同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：C．考点02：求函数的单调区间【例2】函数的单调递减区间是（

）A．B．和C．D．和【答案】B【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B【变式3】函数的单调减区间为．【答案】【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.【详解】函数的定义域为R，令，函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的严格减区间为.故答案为：【变式4】已知函数的单调增区间为__________．【答案】.【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.【详解】解：令，由，可得，所以，解得，所以函数的定义域为，由余弦函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域上为单调递增函数，由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为.故答案为：考点03：函数的最值问题【例3】函数的最小值为________.【答案】【解析】根据函数解析式，先令，将问题转为求函数在上的最值问题，根据单调性，即可求解.【详解】因为，，令，则，所以令，，因为指数函数与一次函数都是增函数，所以也是增函数，所以时，.故答案为：.【变式5】函数y=+的最大值为__________.【答案】【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由，解得，即函数的定义域为，，当时，取得最大值，即.故答案为：【变式6】已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为______．【答案】【分析】将函数化为，,，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最大值，解方程即可得到所求值．【详解】解：函数，即，,，当时，不成立；当，即时，在,递减，可得为最大值，即，解得，成立；当，即时，在,递增，可得为最大值，即，解得，不成立；综上可得．故答案为：.考点04：恒成立问题与存在性问题【例4】不等式对满足的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为．【答案】.【分析】构造函数，原不等式等价为对于任意恒成立，从而只需满足即可，进而解不等式可得答案.【详解】不等式化为：对于任意的恒成立，令，要使对于任意恒成立，由于函数是关于的一条直线，则有，解得，故x的取值范围为.【变式7】若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数将问题转化为有解，计算即可.【详解】由题知，而，所以，又，所以.因为关于的不等式有实数解，即有实数解，所以，即.故选：A【变式8】若存在实数，使得不等式成立，则x的取值范围为．【答案】或【分析】原不等式可化为.设，根据的符号讨论，结合一次函数的单调性，即可得出答案.【详解】原不等式可化为.设，当时，恒成立，满足题意；当时，恒成立，不满足题意；当时，函数单调递增，要使不等式成立，则应有，即有，解得，或；当时，函数单调递减，要使不等式成立，则应有，即有，解得，.综上所述，x的取值范围为或.考点05：利用函数的单调性求参数的取值范围【例5】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.【详解】由题意，，在中，函数单调递增，∴，解得：，故选：C.【变式9】函数，对且，，则实数的范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先判断函数在区间的单调性，再结合二次函数的对称轴，列式求实数的范围.【详解】因为对且，，所以函数在区间单调递减，函数的对称轴是，所以，得.故选：B【变式10】函数，若对于任意，，当时，都有，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】首先将不等式变形，并构造函数，讨论的正负，结合函数在区间的单调性，求实数的取值范围.【详解】∵对于任意，当时，都有，∴，令，则在上单调递增，又∵，当时，满足题目条件，此时；当时，，时，，当时，等号成立，根据对勾函数单调性可知，有，∴，综上可知，.故答案为：．考点06：判断函数的奇偶性【例6】若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.【详解】若，则，则是偶函数，故A错误；若，则,则是偶函数，故B错误；若，则，则是奇函数，故C正确；若，则，则是偶函数，故D错误.故选：C【变式11】函数的奇偶性为（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【答案】C【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.【详解】函数的定义域为，则，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.故选：C.考点07：利用奇偶性求函数值或参数值【例7】若函数为奇函数，则___________.【答案】【分析】根据奇函数的性质，得到，求得，结合奇偶性的定义，即可求解.【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得，当时，，此时函数为奇函数，符合题意；当时，，则，即，此时函数为奇函数，符合题意，综上可得，实数的值为.故答案为：.【变式12】函数是偶函数，当时，，则________.【答案】【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【详解】因为当时，，所以当时，，所以，函数是偶函数，所以，所以，故答案为：.考点08：利用奇偶性求解析式【例8】已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为__________.【答案】.【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出，，再利用函数单调性和奇偶性即可求出不等式的解集.【详解】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；又，可得，所以；易知函数在上单调递增，所以不等式即为，根据函数单调性和奇偶性可得，解得.故答案为：【变式13】已知函数为上的奇函数，当时，，则时，_________．【答案】【分析】由奇函数性质可得时，，由条件求可得结论.【详解】因为函数为上的奇函数，所以对任意的，，所以当时，，，因为当时，，，所以，所以，故答案为：.考点9：单调性与奇偶性的综合问题【例9】已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，则当或时，；当时，，不等式化为或，所以或或，解得或或，即或，即原不等式的解集为；故选：C.【变式14】设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意结合的奇偶性和单调性的示意图，化简不等式为，数形结合，求得它的解集．【详解】由题意可得，奇函数在和上都为单调递增函数，且，函数图像示意图如图所示：

故不等式，即，即，结合的示意图可得它的解集为或故选：D．【变式15】已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据不等式，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果．【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，，所以当时，；当时，，所以由，可得或，即或，解得，得的取值范围为.故选：A．【变式16】已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________.【答案】【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】函数的定义域为,因为,所以,故函数为偶函数，当时,,且在上单调递减,当时,,且在上单调递减,而,故在上单调递减,且.则使得成立，需，所以且，所以且，所以且解得或，故答案为：.函数的性质随堂检测1.在下列函数中：①，②，③，④，在上为增函数的有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】根据范围直接去绝对值号，进而判断函数单调性，从而得解.【详解】因为，所以①在上单调递减，不符合题意；②在上为常函数，不符合题意；③在上单调递增，符合题意；④在上单调递增，符合题意；故符合题意的为③④.故选：B.2.“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据函数的单调性与导数的关系和必要不充分条件的判断即可求解.【详解】若在区间（1，2）上单调递减，所以在区间（1，2）上恒成立，所以在区间（1，2）上恒成立，所以，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，故选：C.3.设，则“”是“为奇函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】若为奇函数，则，，解得，经检验，符合题意，“”是“为奇函数”的充分不必要条件.故选：A．4．（多选）奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（

）A．当时，B．函数在上递减C．D．函数在上递增【答案】ABD【详解】解：根据图像可知：时，，在递减，在上递增，所以根据奇函数性质，当时，，A正确；当时，在递减，在上递增，故BD正确.由于在上递增，所以，故C错误.故选：ABD5.函数的单调递增区间是（

）A．B．∪C．和D．【答案】C【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，结合图象可求出函数的增区间.【详解】，函数图象如图所示，由图可知函数的递增区间为和，故选：C6．若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（

）A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是【答案】A【详解】由题意，奇函数在区间上是增函数，则函数在区间也为增函数，所以函数在区间上的最大值为，最小值为.故选：A.7．对于任意，函数的值恒大于零，则x的取值范围是（

）A．B．C．或D．【答案】C【分析】将函数的解析式变形为，并构造函数，由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围【详解】对任意，函数的值恒大于零,设，即在上恒成立.在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在轴上方，即，解得或.故选：C.8.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为__________．【答案】【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再结合对数函数的性质计算可得.【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上为增函数，所以在上单调递减，又，则，所以时，时，时，所以不等式等价于或，即或，即或，解得或，即不等式的解集为.故答案为：9.已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为________