2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：函数应用（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：函数应用（10题）一．选择题（共10小题）1．（2024•陕西模拟）已知函数f(x)=-14x-4，x≤A．（0，1） B．(1，3] C．(1，3) 2．（2024•贵州模拟）设方程3x•|log3x|＝1的两根为x1，x2（x1＜x2），则（）A．0＜x1＜1，x2＞3 B．x1＞1C．0＜x1x2＜1 D．x1+x2＞43．（2024•松江区校级模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a，bA．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强4．（2024•韶关二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是W＝（长+4）×（宽+4）．在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）A．10000 B．10480 C．10816 D．108185．（2024•思明区校级模拟）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（）A．10117万年 B．117万年 C．10205万年 D．205万年6．（2024•孝南区校级模拟）已知函数f（x）=ax+1-a，0≤x≤12x2-ax，1＜x≤2，若∀x1，x1∈[0，2]，A．（0，2] B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．（0，+∞）7．（2024•辽宁二模）已知函数f（x）＝2x+log2x，g(x)=(12)x-log2x，h（x）＝x3+logA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a8．（2024•青海二模）已知函数f(x)=12x-1，x＜0，1x+2，x≥0A．（﹣2，2） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）9．（2024•安徽模拟）已知函数f(x)=m1e2x-3+4x，x≥32，2e3-2x+A．8 B．10 C．12 D．1410．（2024•回忆版）设函数f（x）＝a（x+1）2﹣1，g（x）＝cosx+2ax（a为常数），当x∈（﹣1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点，则a＝（）A．﹣1 B．12 C．1 D．

2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：函数应用（10题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•陕西模拟）已知函数f(x)=-14x-4，x≤A．（0，1） B．(1，3] C．(1，3) 【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据题意，分析f（x）在（﹣∞，34]上的单调性，由函数单调性的定义可得关于a【解答】解：根据题意，当x≤34时，f（x）=-14x-4=-1若函数f(x)=-14x-4则当x＞34时，f（x）＝loga（4x）﹣1，一定在[34，+∞）上递增，必有a同时，有loga（4×34）﹣1解可得1＜a≤3，即a的取值范围为（1，3]故选：B．【点评】本题考查函数的单调性，涉及分段函数的解析式，属于基础题．2．（2024•贵州模拟）设方程3x•|log3x|＝1的两根为x1，x2（x1＜x2），则（）A．0＜x1＜1，x2＞3 B．x1＞1C．0＜x1x2＜1 D．x1+x2＞4【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数思想；转化思想；构造法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】问题转化为x1，x2为|log3x|＝（13）x的两根，构造函数f（x）＝|log3x|﹣（13）x，x＞【解答】解：因为3x•|log3x|＝1的两根为x1，x2即为|log3x|＝（13）x令f（x）＝|log3x|﹣（13）x，x＞0则f（1）=-13＜0，f（3）=2627＞0，f因为x1＜x2，所以0＜x1＜1＜x2＜3，A错误；因为|log3x2|-(13)x2=|log3x1|-(13)x1=0由0＜x1＜1＜x2＜3可得log3x2+log3x1＝log3（x1x2）=(1故0＜x1x2＜1，C正确；所以x1＜1x1+x2＜x2+1x2∈（故选：C．【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数在函数零点范围求解中的应用，还考查了零点存在定理的应用，属于中档题．3．（2024•松江区校级模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a，bA．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标 D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的图象与图象的变换．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】D【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力．【解答】解：设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝h（t），乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝g（t），对于A选项，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力h(t)=乙企业的污水治理能力g(t)=-g(t2)-g(t1)t2-t1．由图可知，h（t1）﹣h（所以h（t）＞g（t），即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；对于B选项，由图可知，h（t）在t2时刻的切线斜率小于g（t）在t2时刻的切线斜率，但两切线斜率均为负值，故在t2时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；对于C选项，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；对于D选项，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]时的污水治理能力最强，故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查读图和识图能力，属于中档题．4．（2024•韶关二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是W＝（长+4）×（宽+4）．在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式及其应用．【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】设长为x，宽为y，则xy＝10000，根据基本不等式即可求解．【解答】解：设长为x，宽为y，则xy＝10000，所以W＝（x+4）（y+4）＝xy+4（x+y）+16＝10016+4（x+y），因为x+y⩾2xy=200，所以W当且仅当x＝y＝100时，等号成立，所以最少费用为10816元．故选：C．【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于基础题．5．（2024•思明区校级模拟）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（）A．10117万年 B．117万年 C．10205万年 D．205万年【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】直接作商，然后利用取对数法进行化简求解即可．【解答】解：∵1万年用掉3×1015个二维码，∴大约能用2441设x=24413×1015，则lgx＝lg24413×1015=lg2441﹣（lg3+lg1015）＝441lg2﹣lg3﹣15≈即x≈10117万年．故选：A．【点评】本题主要考查对数的基本运算，利用取对数法进行化简求解是解决本题的关键，是基础题．6．（2024•孝南区校级模拟）已知函数f（x）=ax+1-a，0≤x≤12x2-ax，1＜x≤2，若∀x1，x1∈[0，2]，A．（0，2] B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．（0，+∞）【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】C【分析】由题知，该分段函数是增函数，因此只需f（x）在每一段上都是增函数，且在分界点x＝1处满足不减即可．【解答】解：因为对于∀x1x2∈[0，2]x1≠x2，都有f(x2)-f(x1)则函数y＝ax+1﹣a在[0，1]上单调递增，所以a＞0①；同时，y=2x2-ax在（1，2]上单调递增，则a2≤1且有1•a+1﹣a≤21﹣a，即1﹣a≥0③；联立①②③得0＜a≤1．故选：C．【点评】本题考查分段函数单调性，以及一次函数与指数函数单调性的判断，属于中档题．7．（2024•辽宁二模）已知函数f（x）＝2x+log2x，g(x)=(12)x-log2x，h（x）＝x3+logA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】函数零点的判定定理；对数函数的图象；函数的零点．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】D【分析】由三个函数的零点可以转化为求函数y＝log2x与函数y＝﹣2x，y＝﹣2﹣x，y＝﹣x3的交点，再通过数形结合得到a，b，c的大小关系．【解答】解：令f（x）＝2x+log2x＝0，则log2x＝﹣2x，令g(x)=(12)x-log2x=0令h（x）＝x3+log2x＝0，可得log2x＝﹣x3，如图所示：可得b＞c＞a．故选：D．【点评】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．8．（2024•青海二模）已知函数f(x)=12x-1，x＜0，1x+2，x≥0A．（﹣2，2） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】由指数函数和幂函数的性质可得f（x）在定义域R上单调递减，由此可得a2﹣1＜3，求解即可．【解答】解：因为当x＜0时，函数y=12x-1当x≥0时，y=1x+2在[0，其图象如图所示：所以f（x）在定义域R上单调递减．因为f（a2﹣1）＞f（3），所以a2﹣1＜3，解得﹣2＜a＜2．故选：A．【点评】本题考查了指数函数、幂函数的性质，考查了数形结合思想及转化思想，属于基础题．9．（2024•安徽模拟）已知函数f(x)=m1e2x-3+4x，x≥32，2e3-2x+A．8 B．10 C．12 D．14【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用f（x）的图象关于直线x=32对称，可知向左平移32个单位为偶函数，再利用g（﹣x）＝g【解答】解：依题意，g（x）＝f（x+32）当x＜0时，g(-x)=m由g（﹣x）＝g（x）可知m1解得m1＝2，m2＝﹣4，m3＝12，所以m1+m2+m3＝10．故选：B．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了偶函数的性质，得出g（x）为偶函数是关键，属于中档题．10．（2024•回忆版）设函数f（x）＝a（x+1）2﹣1，g（x）＝cosx+2ax（a为常数），当x∈（﹣1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点，则a＝（）A．﹣1 B．12 C．1 D．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】D【分析】设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax2﹣cosx+a﹣1，所求问题等价于h（x）在（﹣1，1）上恰有一个零点，由h（0）＝0即可求解．【解答】解：函数f（x）＝a（x+1）2﹣1，g（x）＝cosx+2ax，设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax2﹣cosx+a﹣1，则h（x）是偶函数，由曲线y＝f（x）与y＝g（x）在（﹣1，1）上恰有一个交点，得h（x）在（﹣1，1）上恰有一个零点，所以h（0）＝a﹣2＝0，解得a＝2．故选：D．【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．

考点卡片1．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=x用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=(x+1)当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．2．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．3．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论【命题方向】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．4．对数函数的图象【知识点的认识】5．函数的零点【知识点的认识】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解题方法点拨】解法﹣﹣二分法①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【命题方向】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．6．函数零点的判定定理【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．7．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．8．函数与方程的综合运用【知识点的认识】函数与方程的综合运用是指结合函数的性质和方程的解法解决复杂问题．【解题方法点拨】﹣函数性质：分析函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质．﹣方程求解：利用函数性质建立方程，求解方程根．﹣综合应用：将函数性质和方程求解结合，解决实际问题．【命题方向】常见题型包括函数性质和方程解法的综合运用，解决复杂的数学问题．9．分段函数的应用【知识点的认识】分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．【解题方法点拨】正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件8000100-p元，预计年销售量将减少p（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，年销售收入为8000100-p（11.8﹣p政府对该商品征收的税收y=8000100-p（11.8﹣p）p故所求函数为y=80100-p（11.8﹣p由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得80100-p（11.8﹣p）p≥化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）=8000100-p（11.8﹣p）（2≤p≤∵g(p)=8000100-p(11.8-p)=800(10+882100-p∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大．这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．【命题方向】修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．10．根据实际问题选择函数类型【知识点的认识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=kx（k＞0）型，增长特点是y随③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式