2025高考数学一轮复习基础知识清单

第一章集合与常用逻辑用语、不等式一、集合1.集合的含义与表示(1)集合的概念把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.集合三要素:确定性、互异性、无序性.(2)常用数集及其记法N表示自然数集,N*或N+表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a∈M,或者a∉M,两者必居其一.(4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合的所有元素一一列举出来,写在花括号内表示集合.③描述法:{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素.④图示法:用数轴或Venn图来表示集合.(5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含任何元素的集合叫做空集().2.集合间的基本关系(1)子集、真子集、集合相等名称记号意义子集A⊆B(或B⊇A)A中的任一元素都属于B真子集AB(或BA)A⊆B,且B中至少有一元素不属于A集合相等A=BA中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A(2)已知集合A有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,2n-1个真子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集.3.集合的基本运算(1)并集:一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B.(2)交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B.(3)补集:∁UA={x|x∈U,且x∉A}.二、常用逻辑用语1.充分条件、必要条件与充要条件的概念(若A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q})若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件A⊆Bp是q的充分不必要条件p⇒q且qpABp是q的必要不充分条件pq且q⇒pBAp是q的充要条件p⇔qA=Bp是q的既不充分也不必要条件pq且qp—2.全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定:∃x∈M,﹁p(x).(2)存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定:∀x∈M,﹁p(x).全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.三、等式性质与不等式性质1.两个实数比较大小的方法作差法a-2.等式的性质性质1对称性:如果a=b,那么b=a;性质2传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;性质3可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;性质4可乘性:如果a=b,那么ac=bc;性质5可除性:如果a=b,c≠0,那么ac=b3.不等式的性质性质1对称性:a>b⇔b<a;性质2传递性:a>b,b>c⇒a>c;性质3可加性:a>b⇔a+c>b+c;性质4可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;性质5同向可加性:a>b,c>d⇒a+c>b+d;性质6同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;性质7同正可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2).四、基本不等式1.基本不等式:ab≤a+(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.(3)其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).(2)ba+ab≥(3)ab≤(a+b2(4)a2+b22≥以上不等式等号成立的条件均为a=b.3.利用基本不等式求最值(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P.(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2注意:利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.五、二次函数与一元二次方程、不等式1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.2.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-b没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠-b2Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}3.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g((2)f(x)g((3)f(x)g(x4.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).第二章函数一、函数的概念及其表示1.函数的概念(1)函数:设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.(2)一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.2.函数的表示法函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.4.常用结论(1)直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.(2)在函数的定义中,非空数集A,B,A即为函数的定义域,值域为B的子集.(3)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.二、函数的基本性质1.函数的单调性(1)单调函数的定义①增函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.②减函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.(3)∀x1,x2∈I且x1≠x2,有f(x1)-f(x2)x1-x2.函数的最值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:(1)∀x∈D,都有f(x)≤M,(2)∃x0∈D,使得f(x0)=M.那么称M是函数y=f(x)的最大值;类比定义可得y=f(x)的最小值.3.函数的奇偶性(1)偶函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.(3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于坐标原点对称.4.周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.对称性(1)对称轴:f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)图象关于直线x=a对称,f(a+x)=f(b-x)⇔对称轴x=a+(2)对称中心:f(a+x)+f(a-x)=2b⇔f(x)图象关于点(a,b)对称,f(a+x)+f(b-x)=0⇔对称中心(a+b2(3)对称性的四个常用结论①若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.②若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.③若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a+特别地,当a=b,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)时,y=f(x)的图象关于直线x=a对称.④若函数y=f(x)满足f(x)+f(2a-x)=2b,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,当b=0,即f(a+x)+f(a-x)=0或f(x)+f(2a-x)=0时,y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.6.常用结论(1)在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数.(2)函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(3)复合函数的单调性:同增异减.(4)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(5)函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).②若f(x+a)=1f③若f(x+a)=-1f三、幂函数1.幂函数的定义一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.常见的五种幂函数的图象3.幂函数的性质(1)幂函数在(0,+∞)上都有定义.(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增.(3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.(4)当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数.四、指数与指数函数1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na)n=a(a使n②当n是奇数时,nan=a;当n是偶数时,na(2)分数指数幂的意义①amn=na②a-mn=1am③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.(3)实数指数幂的运算性质:ar·as=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r,s∈R).2.指数函数的图象与性质项目0<a<1a>1图象性质定义域:R值域:(0,+∞)过定点(0,1)当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1在R上是减函数在R上是增函数3.常用结论(1)指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),(-1,1a)(2)如图所示是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则c>d>1>a>b>0,即在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.五、对数与对数函数1.对数的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数,记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数,记作lnN.2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,aloga(2)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:①loga(MN)=logaM+logaN;②logaMN=logaM-logaN③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)对数换底公式:logab=log3.对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象定义域(0,+∞)值域R性质过定点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.5.常用结论(1)logab·logba=1,logambn=nm(2)如图给出4个对数函数的图象,则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.(3)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),(1a,-1)六、函数的应用1.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y=f(x)y=-f(x).②y=f(x)y=f(-x).③y=f(x)y=-f(-x).④y=ax(a>0,且a≠1)y=logax(a>0,且a≠1).(3)翻折变换①y=f(x)y=|f(x)|.②y=f(x)y=f(|x|).2.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.(4)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多有一个零点.(5)二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.3.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)与指数函数相关的模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与对数函数相关的模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与幂函数相关的模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)4.常用结论(1)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(2)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.第三章一元函数的导数及其应用一、导数的概念及意义、导数的运算1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f′(x0)或y′|xf′(x0)=limΔx→0(2)函数y=f(x)的导函数(简称导数)记作f′(x)或y′.f′(x)=y′=limΔx2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=0f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f′(x)=αxα-1f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f′(x)=axlnaf(x)=exf′(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f′(x)=1f(x)=lnxf′(x)=14.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);[f(x)g([cf(x)]′=cf′(x).5.复合函数的定义及其导数复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.6.常用结论区分在某点处的切线与过某点的切线(1)在某点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅有一条.(2)过某点的切线,该点不一定是切点,切线至少有一条.二、导数与函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a,b)内单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a,b)内单调递减f′(x)=0f(x)在区间(a,b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步,确定函数的定义域;第2步,求出导数f′(x)的零点;第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.3.常用结论(1)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则当x∈(a,b)时,f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则当x∈(a,b)时,f′(x)≤0恒成立.(2)若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则当x∈(a,b)时,f′(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则当x∈(a,b)时,f′(x)<0有解.三、导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3.常用结论对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.第四章三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类:按旋转方向不同分为(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.2.弧度制的定义和公式(1)定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式角α的弧度数公式|α|=lr角度与弧度的换算①1°=π180rad;②1rad=(180π弧长公式l=|α|r扇形面积公式S=12lr=123.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=yx(2)任意角的三角函数的定义(推广):设P(x,y)是角α终边上异于顶点的任意一点,其到原点O的距离为r,则sinα=yr,cosα=xr,tanα=(3)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.4.常用结论(1)象限角(2)轴线角二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:sinαcosα=tanα(α≠kπ+π2.三角函数的诱导公式(下表中k∈Z)公式一sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosαtan(α+k·2π)=tanα公式二sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα公式三sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式四sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα续表公式五sin(π2-α)cos(π2-α)公式六Sin(π2+α)cos(π2+α)温馨提示:诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2三、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.

(2)cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ.

(3)tan(α±β)=tanα2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα.

(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)tan2α=2tanα3.补充公式(1)辅助角公式:一般地,函数f(α)=asinα+bcosα(a,b为常数)可以化为f(α)=a2+b2sin(α+)(其中tan=ba)或f(α)=a2+b2cos(α-)((2)降幂公式:cos2α=1+cos2α2,sin2α=(3)升幂公式:1-cosα=2sin2α2,1+cosα=2cos2α(4)半角公式:sinα2=±1-cosα2,costanα2=±1-cosα1+cos四、三角函数的图象与性质1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x∈R,且x≠kπ+π2值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数增区间[2kπ-π22kπ+π2[2kπ-π,2kπ](kπ-π2kπ+π2减区间[2kπ+π2,2kπ+3π[2kπ,2kπ+π]无对称中心(kπ,0)(kπ+π2,0(kπ2对称轴方程x=kπ+πx=kπ无2.用“五点法”画y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个关键点ωx+0ππ3π2πx0ππ3π2y=Asin(ωx+)0A0-A03.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象的两种途径4.常用结论(1)对称性与周期性①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12(2)奇偶性若f(x)=Asin(ωx+)(A,ω≠0),则①f(x)为偶函数的充要条件是=π2+kπ(k∈Z).②f(x)为奇函数的充要条件是=kπ(k∈Z).(3)函数y=Asin(ωx+)图象的对称轴由ωx+=kπ+π2,k∈Z确定;对称中心由ωx+=kπ,k∈Z确定其横坐标.五、余弦定理和正弦定理1.余弦、正弦定理的内容及其变形在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径,则定理余弦定理正弦定理内容a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosCasinA=bsin变形cosA=b2cosB=c2cosC=a(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(3)a+b+2.三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha(2)S=12absinC=12acsinB=1(3)S=123.常用结论在△ABC中,常有以下结论:(1)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB,cosA<cosB.(2)三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.(3)三角形的面积S=p(p-a)(p第五章平面向量、复数一、平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小称为向量的长度(模).(2)零向量:长度为0的向量,记作0.(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量,规定:零向量与任意向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算定义法则(或几何意义)运算律加法:求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法:求两个向量差的运算.向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差a-b=a+(-b)数乘:求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb(λ,μ为实数)3.常用结论(1)一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即A1A2→+A2A3(2)若F为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则OF→=12(OA→(3)若A,B,C是平面内不共线的三点,则PA→+PB→+PC→=0⇔P为△ABC的重心,AP→=13(4)对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.二、平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.(2)基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算的坐标表示及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x1(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=(x2-x1,y2-y1|AB→|=(3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若b≠0,则a,b共线⇔x1y2-x2y1=0.4.常用结论已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为(x1+x22,y1+y22);已知△ABC的顶点A(x1,y△ABC的重心G的坐标为(x1+x2三、平面向量的数量积及平面向量的应用1.向量的夹角已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作OA→=a,OB→=b,那么∠AOB称为向量a与b的夹角,向量夹角的取值范围是2.投影向量如图,设a,b是两个非零向量,AB→=a,CD→=b,考虑如下变换:过AB→的起点A和终点B,分别作CD→所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B1→3.平面向量的数量积已知两个非零向量a,b,θ为a,b的夹角,那么数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b.4.平面向量数量积的性质(1)若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cosθ(θ为a,e的夹角).(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当向量a,b同向时,a·b=|a||b|,当向量a,b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=a·(4)cosθ=a·(5)|a·b|≤|a||b|.5.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;(3)对任意λ∈R,(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).6.平面向量数量积有关性质的坐标运算若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(θ为a,b的夹角),则:(1)a·b=x1x2+y1y2;(2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0;(3)cosθ=a·b|7.常用结论有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角,则a·b>0;若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角,则a·b<0;若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π.四、复数1.复数的有关概念(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,a,b分别是它的实部和虚部.当且仅当b=0时,a+bi为实数;当b≠0时,a+bi为虚数;当a=0且b≠0时,a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).(4)复数的模:设复平面内的点Z表示复数z=a+bi(a,b∈R),向量OZ→的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b);(2)复数z=a+bi平面向量OZ→.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.(2)复数加法的运算律:设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:①交换律:z1+z2=z2+z1;②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(3)复数乘法的运算律:设z1,z2,z3∈C,则复数乘法满足以下运算律:①交换律:z1z2=z2z1;②结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);③乘法对加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.4.常用结论(1)(1±i)2=±2i;1+i1-i(2)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).(3)关于复数z的方程(不等式)在复平面上表示的图形①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环;②|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.第六章数列一、数列的概念1.数列的定义一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.3.数列的递推公式(1)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.(2)由递推公式求通项的常用方法:方法转化过程适合题型累加法(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an-a1an+1-an=f(n),f(n)可求和累乘法a2a1×a3a2×…an+1构造法由an+1=pan+q化为an+1+m=p(an+m),构造{an+m}为等比数列,其中m=q(p≠1)an+1=pan+q4.数列的前n项和数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,则an=S二、等差数列1.等差数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(n∈N*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=a+b22.等差数列的有关公式等差数列{an}的首项为a1,公差为d.(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.当d≠0时,等差数列{an}的通项公式an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数.(2)前n项和公式:Sn=na1+n(n-1)2d=n(a1+an)2.当d≠0时,等差数列{an3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.(5)若数列{an},{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn,Tn,则anbn(6)关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n,则S偶-S奇=nd,S奇S偶②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,S奇S偶4.【常用结论】(1)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.(2)在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.三、等比数列1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为an(n∈N*);(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an=a1qn-1.(2)前n项和公式:Sn=n3.等比数列的性质已知{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm.(3)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S4.【常用结论】(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an=cqn,这里c≠0,q≠0.(2)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0).(3)数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.①若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,T2nT②若数列{an}的项数为2n,则S偶S奇=q;若项数为2n+1,则S四、数列求和数列求和的基本方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)②等比数列的前n项和公式Sn=n(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.(5)倒序相加法:如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.(6)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.第七章立体几何与空间向量一、立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点—轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆续表名称圆柱圆锥圆台球侧面展开图矩形扇形扇环—2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π(r′+r)l4.空间几何体的表面积与体积公式几何体名称表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=13S底·续表几何体名称表面积体积台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=13h(S上+S下+S球S=4πR2V=43πR5.【常用结论】(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).(2)直观图与原平面图形面积间的关系:S直观图=24S原图形,S原图形=22S直观图二、空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面的基本事实(1)基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.(2)基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.(3)基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.基本事实1,2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.3.空间两直线的位置关系共面直线4.异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:(0°,90°].5.基本事实4和等角定理基本事实4(平行公理):平行于同一条直线的两条直线平行.等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.6.【常用结论】(1)过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面.三、空间直线、平面的平行1.直线与平面平行的判定定理和性质定理项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)a⊄α性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)l⇒l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)a∥β性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行α∥β3.【常用结论】(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.四、空间直线、平面的垂直1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.(2)判定定理与性质定理项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直a,b性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°,一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°.(2)范围:[0°,90°].3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角.③二面角的平面角α的范围:[0°,180°].(2)判定定理与性质定理项目文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直l⊂β续表定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直α⊥β4.【常用结论】(1)三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.(2)三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.(3)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.五、空间向量及空间位置关系1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中,具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量长度相等而方向相反的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).项目向量表示坐标表示数量积a·ba1b1+a2b2+a3b3共线a=λb(b≠0,λ∈R)a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3垂直a·b=0(a≠0,b≠0)a1b1+a2b2+a3b3=0模|a|a夹角余弦值cos<a,b>=a(a≠0,b≠0)cos<a,b>=a4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm(λ∈R)平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m=05.【常用结论】(1)三点共线:在平面中A,B,C三点共线⇔OA→=xOB→+y(2)四点共面:在空间中P,A,B,C四点共面⇔OP→=xOA→+yOB→六、空间向量的应用1.向量法求空间角(1)异面直线所成的角若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cosθ=|cos<u,v>|=|u(2)直线与平面所成的角如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos<u,n>|=|u·n|u(3)平面与平面的夹角如图,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cos<n1,n2>|=|n1·n22.向量法求距离(1)点到直线的距离如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设AP→=a,则向量AP→在直线l上的投影向量AQ→=(a·u)u,在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ=|(2)点到平面的距离如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP→在直线l上的投影向量QP→的长度,因此PQ=|AP→·n|n||=第八章平面解析几何一、直线与方程1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.(3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.2.直线的斜率(1)定义:我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tanα.

(2)计算公式①经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k=y2②设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l上的两点,则向量P1P2→=(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的非零向量都是直线的3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y=kx+b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y-y0=k(x-x0)两点式过两点y-y与两坐标轴均不垂直的直线续表名称几何条件方程适用条件截距式纵、横截距xa+y不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线4.两条直线的位置关系直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0(其中l1与l3是同一条直线,l2与l4是同一条直线)的位置关系如表:位置关系l1,l2满足的条件l3,l4满足的条件平行k1=k2,且b1≠b2A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0垂直k1·k2=-1A1A2+B1B2=0相交k1≠k2A1B2-A2B1≠05.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件:点P1(x1,y1),P2(x2,y2).②结论:|P1P2|=(x③特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=x2(2)点到直线的距离点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|A(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=|C6.【常用结论】(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.(2)直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量a=(-B,A).(3)直线系方程①与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).②与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).③过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.(4)几种常用对称关系①点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).②点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).③点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).二、圆1.圆的方程(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心:(a,b),半径:r.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心:(-D2,-E2半径:122.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系:(1)|MC|>r⇔M在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外.(2)|MC|=r⇔M在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上.(3)|MC|<r⇔M在圆内,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内.3.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)项目相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>rd=rd<r4.圆与圆的位置关系(☉O1,☉O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|)项目图形量的关系外离d>r1+r2外切d=r1+r2相交|r1-r2|<d<r1+r2内切d=|r1-r2|续表项目图形量的关系内含d<|r1-r2|5.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2r2(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,联立,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+k2·6.【常用结论】(1)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(2)圆的切线方程常用结论①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.②过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.(3)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.(4)两个圆系方程①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防丢解).三、椭圆1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2a2图形性质范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=ca∈a,b,c的关系a2=b2+c2(a>c>0,a>b>0)3.椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.(1)当P为短轴端点时,θ最大,S△(2)S△F1PF2=12|PF1||PF2(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.(4)|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦点三角形的周长为2(a+c).四、双曲线1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2y2a2图形性质焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c范围x≤-a或x≥a,y∈Ry≤-a或y≥a,x∈R对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;实半轴长:a,虚半轴长:b渐近线y=±bay=±ab离心率e=ca∈a,b,c的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)3.【常用结论】(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为2b(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2=(5)与双曲线x2a2-y2b五、抛物线1.抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦点(p2,0(-p2,0(0,p2(0,-p2准线方程x=-px=py=-py=p对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=13.【常用结论】(1)通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.(2)抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F(p2,0)的距离|PF|=x0+p六、直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0;直线与圆锥曲线相切⇔Δ=0;直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0.特别地,①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.2.弦长公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),则|AB|=(=1+k2|x1-x=1+或|AB|=1+1k2|y1=1+1第九章统计、成对数据的统计分析一、随机抽样、统计图表1.总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体,在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.2.简单随机抽样(1)简单随机抽样:分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.(2)简单随机样本:通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.(3)简单随机抽样的常用方法:抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.3.分层随机抽样(1)分层随机抽样的概念一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.(2)比例分配的分层随机抽样所获得样本的均值与方差利用比例分配的分层(两层)随机抽样获得的样本中,第一层的样本量为n1,均值为x1,方差为s12;第二层的样本量为n2,均值为x2,方差为s22,则总的样本均值x=n1n1+n2x1+n2n1+n2x2,总的样本方差s24.统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.(2)作频率分布直方图的步骤①求极差;②决定组距与组数;③将数据分组;④列频率分布表;⑤画频率分布直方图.5.【常用结论】(1)利用比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取,若各层应抽取的个体数不都是整数,可以进行一定的技术处理,比如将结果取成整数等.(2)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距,不要和条形图混淆.二、用样本估计总体1.百分位数一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.2.平均数、中位数和众数(1)平均数:x=1n(x1+x2+…+xn(2)中位数:将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).(3)众数:一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).3.方差和标准差设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为x,则这组数据的标准差和方差分别是s=1n[(x1-x)2+(x(x2-x)2+…+(xn-x)2].4.【常用结论】(1)若x1,x2,…,xn的平均数为x,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为mx+a.(2)数据x1,x2,…,xn与数据x1′=x1+a,x2′=x2+a,…,xn′=xn+a的方差相等,即数据经过平移后方差不变.(3)若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2.三、成对数据的统计分析1.变量的相关关系(1)相关关系的分类:正相关和负相关.(2)线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.2.样本相关系数(1)相关系数r的计算变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下:r=∑i(2)相关系数r的性质①当r>0时,称成对样本数据正相关;当r<0时,称成对样本数据负相关;当r=0时,成对样本数据间没有线性相关关系.②样本相关系数r的取值范围为[-1,1].当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.3.一元线性回归模型(1)我们将y＾=b＾x+b(2)决定系数R2=1-∑i=1n(yi-y＾4.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d记n=a+b+c+d,则随机变量χ2=n((2)独立性检验基于小概率值α的检验规则是:当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为X和Y独立.下表给出了χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828第十章计数原理、概率、随机变量及其分布一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.两个计数原理(1)分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.(2)分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.2.两个计数原理的区别与联系项目分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立,不重不漏步步相依,缺一不可3.【常用结论】(1)分类加法计数原理的推广:完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.(2)分步乘法计数原理的推广:完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.二、排列与组合1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,用符号An(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,用符号Cn3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(2)Cnm=AnmAmm性质(1)0!=1;Ann=(2)Cnm=Cnn-m4.排列数、组合数常用公式(1)Anm=(n-m+1)(2)Anm=n(3)(n+1)!-n!=n·n!.(4)kCnk=n(5)Cnm+Cn-1m+…+三、二项式定理1.二项式定理二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cn(n∈N*)二项展开式的通项Tk+1=Cnkan-kbk,它表示第二项式系数展开式中各项的二项式系数为Cn2.二项式系数的性质(1)Cn0=1,Cnn=1,Cn+1m=C(2)二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时,第n2+1项的二项式系数最大,最大值为Cnn2,当n为奇数时,第n+12项和第(3)各二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2Cn1+Cn3+C四、随机