《工程力学》课件第7章

项目七圆轴扭转变形的强度和刚度问题7.1任务引入7.2解决任务的方法

7.3相关知识点介绍7.4知识拓展——圆轴扭转的应力公式推导

【教学提示】本项目主要解决圆轴扭转变形的强度和刚度问题，要求掌握圆轴扭转强度条件及其应用，了解圆轴扭转时的变形以及刚度条件。解决问题的方法也是研究材料力学的基本方法。在教学过程中，采用启发式教学和问题式教学相结合的方法，并结合实物录像、讨论课、课外作业、课外兴趣小组以及竞赛等环节进行教学。本项目任务的解决，可以逐步培养学生逻辑思维能力，有效地促进学生综合素质的提高。

【学习目标】掌握求解应力在截面上分布问题的思路及方法。正确理解、熟练掌握扭转剪应力、扭转变形、扭转强度和扭转刚度的计算。培养学生具有应用力学基本知识，通过观察和比较、分析和综合，对圆轴扭转变形的刚度和强度作出正确判断的初步能力；具有对圆轴扭转变形的受力状态和内力分布进行图形表达的能力；初步掌握圆轴扭转变形承载能力的计算方法，具有对简单问题进行计算的能力。

在工程实际中，尤其是在机械中的许多构件，其主要变形是扭转。例如：攻丝时(见图7-1)，要在手柄两端加上大小相等、方向相反的力，这两个力在垂直与丝锥轴线的平面内构成一个力偶，使丝锥转动，下面丝扣的阻力则形成转向相反的力偶，阻碍丝锥的转动。丝锥在这一对力偶的作用下将产生扭转变形。又如：齿轮传动轴(见图4-3)，当电机转动时，传动轴的A端轮上受到两个切向力的作用，这两个外力构成了一个垂直于轴向平面的力偶；7.1任务引入同样，B端齿轮则受到输出轮对它的切向力作用，可以简化为垂直于AB轴轴线的力偶，见图7-2。在这一对大小相等、转向相反的力偶的作用下，传动轴产生扭转。汽车中的传动轴(见图4-13)受力后也产生扭转变形。这些圆轴扭转变形后的强度和刚度问题是工程中必须解决的。

图7-1攻丝丝锥

图7-2齿轮传动轴

解决圆轴扭转问题的方法和解决拉(压)杆问题一样，即通过认识工程实例，建立力学模型。从分析外力入手，然后用截面法求出内力，再通过实验观察得到的结论，得出假设，并根据变形之间的物理关系，得到横截面上各点应力的分布规律，导出应力的计算公式，建立强度和刚度条件，最后应用强度和条件，可以解决校核强度、设计截面和确定许可载荷三种类型的问题。7.2解决任务的方法

模块一圆轴扭转的外力和内力

(一)计算简图与力学模型

由以上工程实例可以将受扭的杆件简化成以下力学模型，以便计算，如图7-3所示。7.3相关知识点介绍

图7-3圆轴扭转力学模型根据以上分析可以得到，杆件受到的集中力偶作用面垂直于其轴线时，有以下特点：

(1)构件特点：构件的轴向尺寸远远大于横向尺寸。

(2)受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等且方向相反的外力偶——扭转力偶。

(3)变形特点：杆的任意两个横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。这时任意两截面间有相对的角位移，这种角位移称为扭转角。图7-3中的

就是截面右端相对于截面左端的扭转角。

在工程实际中，还有不少构件，如电动机的主轴、钻机的钻杆、鼓风机的主轴等，它们的主要变形是扭转，但同时还可能伴随有弯曲、拉压等变形，不过后者不大时，往往可以忽略，或者在初步设计中，暂不考虑这些因素，将其视为扭转构件。常把以扭转变形为主的杆件称为轴。

(二)圆轴扭转的扭矩和扭矩图

1.外力偶矩

在工程实际中，一般不直接给出作用于轴上的外力偶矩的值，而是根据所给定轴的转速和它所传递的功率，通过下列公式确定：

(7-1)

式中，Me为外力偶矩，单位是N·m；P为功率，单位是kW；n为转速，单位是r／min。

在确定外力偶矩的方向时，应注意输入功率的齿轮、胶带轮作用的力偶矩为主动力矩，方向与轴的转向一致；输出功率的齿轮、胶带轮作用的力偶矩为被动力矩，方向与轴的转向相反。

2.扭矩

设某轴的计算简图如图7-4(a)所示，现用截面法分析轴扭转时的内力。

将轴沿指定截面m—m切成两段，舍去右段，保留左段。由于作用于轴上的外力只有绕杆轴线的外力偶，所以横截面上只能有绕x轴的内力偶分量，称为扭矩，并用T来表示，其余的内力分量均为零，如图7-4(b)所示。扭矩的大小仍可依据保留段的平衡条件确定。

∑Mx＝0,T－Me＝0,T＝Me

图7-4右手螺旋法则

为了使取左段或取右段求得的同一截面上的扭矩相一致，通常用右手螺旋法则规定扭矩的正负：以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正(见图7-4(c))，反之为负(见图7-4(d))。

计算扭矩的简便法则是：轴上任一横截面的扭矩等于该横截面一侧轴段上所有外力偶矩的代数和；应用右手螺旋法则，左侧拇指指向向左或右侧拇指指向向右的外力偶矩产生正值扭矩，反之为负。

3.扭矩图

为了显示整个轴上各截面扭矩的变化规律，以便分析危险截面，通常横坐标表示轴各截面的位置，纵坐标表示相应截面上的扭矩，正扭矩画在横坐标轴的上面，负扭矩画在横坐标轴的下面，这种图形称为扭矩图。

下面举例说明扭矩的计算与扭矩图的绘制方法。

例7-1

如图7-5所示传动轴，转速n＝300r/min，A轮为主动轮，输入功率PA＝10kW，B、C、D为从动轮，输出功率分别为PB＝4.5kW，PC＝3.5kW，PD＝2.0kW。试求各段扭矩。

解

(1)计算外力偶矩。

(2)分段计算扭矩，分别为

T1＝MeB＝143.2N·m

T2＝MeB－MeA＝143.2－318.3＝－175.1N·m

T3＝－MeD＝－63.7N·m

(3)绘制扭矩图(见图7-5(f))。由图中可见绝对值最大的扭矩发生在AC段，其值为175.1N·m。

图7-5传动轴受力图模块二圆轴扭转的应力和变形

(一)圆轴扭转时的应力

1.圆轴扭转时的应力分布规律

圆轴在发生扭转变形时，如图7-6所示，横截面上不存在正应力，只存在切应力，且横截面上某点切应力的大小与该点到圆心的距离ρ成正比；切应力在圆心处为零，在圆轴表面最大；在半径为ρ的同一圆周上各点的切应力相等，其方向与其半径相垂直。

图7-6圆轴扭转时的应力分布图

2.切应力计算

等直圆轴扭转时横截面上任意一点的切应力计算公式为

(7-2)

式中，Tx为横截面上的扭矩；Ip为该截面的极惯性矩，单位为m4或cm4；ρ为该点到圆心的距离。

由式(7-2)可知，当ρ达到最大值R时，切应力为最大值

式中,R及Ip都是与截面几何尺寸有关的量，引入符号

得

(7-3)

式中，Wp称为扭转截面系数。可见，最大切应力与横截面上的扭矩Tx成正比，而与Wp成反比。Wp越大，

max越小，所以Wp是表示圆轴抵抗扭转破坏能力的几何参数，其国标单位为m3，常用单位为mm3。对于直径为d的圆截面：

(7-4)

对于内径为d，外径为D的空心圆截面，

＝d/D,故有

(7-5)

例7-2

轴AB如图7-7所示，传递的功率P＝7.5kW，转速n＝360r/min。轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D＝3cm，d＝2cm。试计算AC段横截面边缘处的切应力以及CB段横截面上内、外边缘处的切应力。

解

(1)计算扭矩。轴所受的外力偶矩为

由截面法，可知各横截面上的扭矩均为

T＝M＝199N·m

图7-7轴AB受力图

(2)计算极惯性矩。AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为

(3)计算应力。AC段轴在横截面边缘处的切应力为

CB段轴横截面内、外边缘处的切应力分别为

(二)圆轴扭转时的变形

圆轴的扭转变形用扭转角来衡量。扭转角是指两个横截面绕轴线的相对转角，通常用

表示，如图7-8所示。

由

可知，相隔长度为l的两个横截面的扭转角为

对上式积分，便得相距为l的两个横截面间的扭转角为

图7-8圆轴的扭转变形对于等直圆轴，GIp为常量。若扭矩Tx也为常量，则上式积分为

(7-6)

这就是扭转角计算公式，扭转角单位为rad(弧度)。由此式可看出，扭转角

与扭矩Tx和轴长度的积成正比，与GIp成反比。GIp反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。

如果两截面之间的扭矩值Tx有变化，或者轴的直径不同，那么应该分段计算各段的扭转角，然后叠加。

例7-3

如图7-9(a)所示传动轴，已知M1＝640N·m，M2＝840N·m，M3＝200N·m，D＝40mm,d＝32mm,lAB＝400mm,lBC＝150mm,轴的切变模量G＝80GPa。试求截面C相对于截面A的扭转角。

解

(1)计算轴上各段的扭矩，画出扭矩图如图7-9(b)所示。

AB段T1＝－M1＝－640N·m

BC段T2＝－M1＋M2＝－640＋840＝200N·m

图7-9传动轴扭矩图

(2)计算扭转角。由于AC两截面间的扭矩M和截面Ip不同，故分段计算各段的相对扭转角，然后进行叠加。

AB段

BC段

故得

AC＝

AB＋

BC＝－0.013＋0.004＝－0.009rad模块三圆轴扭转的强度和刚度计算

(一)强度计算

圆轴扭转时的强度条件是：危险截面上的最大切应力

max不得超过材料的许用切应力［

］，即

(7-7)

式中，T、Wp分别为危险截面的扭矩与抗扭截面系数。许用切应力［

］由扭转实验测定，设计时可查阅有关手册。

应用扭转切应力强度条件，可以解决圆轴强度计算的三类问题，即刚度校核、截面设计和确定许用载荷。

例7-4

已知某一传动轴所传递的功率P＝80kW，其转速n＝582r/min，直径d＝55mm，材料的许用切应力［

］＝50MPa。试校核该轴的强度。

解

(1)计算外力偶矩。

(2)计算扭矩。该轴可认为是在其两端面上受一对平衡的外力偶矩作用，由截面法得扭矩

T＝M＝1312.7N·m

(3)校核强度。

所以，轴的强度满足要求。

例7-5

实心轴与空心轴如图7-10所示，通过嵌式离合器相联接而传递转矩，已知轴的转速n＝96r/min，传递的功率P＝7.5kW，材料的许用切应力［

］＝40MPa，空心轴的

＝d2/D2＝0.5。试设计实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。

解

(1)计算外力偶矩及扭矩。

图7-10嵌式传动轴

(2)设计轴的直径。由

可得

所以，取d1＝46mm，D2＝47mm。

(二)刚度计算

对于轴类构件，有时还要求不产生过大的扭转变形，如机床主轴若产生过大的扭转变形，将引起剧烈的扭转振动，影响工件的加工精度和表面光洁度；车床丝杆产生过大的扭转变形，将影响螺纹的加工精度。这类精度要求较高的轴，就需同时满足强度和刚度条件。圆轴扭转时的刚度条件是：最大的单位长度扭转角不得超过许用单位长度扭转角，即

(7-8)式中,

max为单位长度的最大扭角，单位为rad/m。在工程中许用单位长度扭角［

］的单位为°/m，因此

max的单位也应换算为°/m，上式改写成

(7-9)

许用单位长度扭转角［

］的取值，根据载荷性质和工作条件等因素来确定，具体值可以从有关手册中查得。

利用刚度条件也可以求解三类问题。进行刚度计算时，若轴上各段扭矩不等、截面大小不一或材料不同，则应综合考虑上述因素，判断

max可能发生的部位，然后进行刚度计算。

例7-6

已知一传动轴受力如图7-11所示。若材料为45钢，G＝80GPa，［

］＝60MPa，［

］＝1°/m，试设计轴的直径。

解

(1)计算扭矩。由于轴上的外力偶矩多于两个，因此应分段应用截面法或根据求扭矩的一般规律，求出各段扭矩，作出扭矩图如图7-11所示。

图7-11传动轴的扭矩图

(2)强度计算。轴为等直圆轴，危险截面应在BC段，由强度条件

得

(3)刚度计算。由刚度条件

得

根据以上计算结果，为了同时满足强度和刚度条件，取轴的直径d＝68mm。

例7-7

阶梯轴图如图7-12(a)所示，直径分别为d1＝40mm，d2＝55mm。已知C轮输入转矩MC＝1432.5N·m，A轮输出转矩MA＝620.8N·m，轴的转速n＝200r/min，轴材料的许用切应力［

］＝60MPa，许用单位长度扭角［

］＝2°/m，切变模量G＝80GPa。试校核该轴的强度和刚度。

解作阶梯轴受力简图如图7-12(b)所示。

(1)作扭矩图(见图7-12(c))得

T1＝MA＝620.8N·m

T2＝MC＝1432.5N·m

由图7-12(c)可以看出，危险截面可能发生在AB段的d1截面处，也可能发生在BC段。

图7-12阶梯轴的扭矩图

(2)校核强度。

AB段

BC段

max＝

1＝48.5MPa<［

］

所以，轴的强度满足要求。

(3)校核刚度。

AB段：

BC段：

所以，轴的刚度也满足要求。

(三)提高圆轴强度和刚度的措施

在工程中，进行构件的设计时，常需要解决的问题是如何根据工程实际需要，在不增大构件成本的情况下，最大限度地提高其承载能力。其实质就是如何提高构件的强度和刚度。

由圆轴的内力分析、应力分析、强度和刚度的强度条件及材料的力学性质等知识可知，在工程实际中，可通过采用合理的材料、合理的加载方式、合理的截面形状等措施，以达到提高圆轴强度和刚度的目的。

1.合理的材料

从材料的力学性能可知：优质材料的强度指标较高，选用优质材料可有效地提高构件的强度；弹性模量E和切变模量G分别反映了材料抵抗拉(压)或剪切变形的能力，选用E和G较大的材料，通常会明显地提高构件的刚度。

需要指出的是，各类钢材的E、G和μ差异不大，对于由刚度条件控制的设计，选用优质钢材对提高构件的刚度无明显的作用。故这类构件不宜片面地选用优质钢材。

2.合理的加载方式

对传动轴进行设计时，在结构允许的情况下，应尽量避免将最大载荷布置在轴的端部，以降低圆轴扭转时横截面上的最大扭矩值。如图7-13(b)所示的载荷布置方案就比图7-13(a)所示的合理，可同时达到降低工作应力、减小变形和提高传动轴强度和刚度的目的。

图7-13传动轴的扭矩图

3.合理的截面形状

圆轴扭转时，圆环形截面为合理的截面形状。如汽轮机大轴、汽车的传动轴、车床主轴等都由空心轴制成。圆轴采用空心轴可以节省大量材料，减轻自重，提高承载能力，因为圆轴扭转时只有横截面边缘各点的切应力才可以达到许可应力，其他各点的应力均小于许可应力。圆心附近的应力很小，材料没有得到充分利用，如果将这部分材料移到离圆心较远的位置，使其成为空心轴，既节省了材料，又提高了抗扭截面系数和抗扭刚度。