线性代数教案

第（1）次课授课时间（）

教学章节第一章第一、二、三节学时2学时

教材和

参考书1.《线性代数》（第4版）同济大学编

L教学目的：熟练掌握2阶，3阶行列式的计算；

掌握逆序数的定义，并会计算；

掌握〃阶行列式的定义；

2.教学重点：逆序数的计算；

3.教学难点：逆序数的计算.

1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；〃阶行列式的

定义

2.时间安排：2学时；

30教学方法：讲授与讨论相结合；

4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。

基本内容备注

第一节二、三阶行列式的定义

一、二阶行列式的定义

从二元方程组的解的公式，引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组H臼+=4

a21x2+a22x2=b2

用消元法,当%如-412a2i/0时，解得

可得到另一个行列式，用字母3表示，于是有

b.

D、=；"

b2a22

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：这

就是公式（2）中马的表达式的分子。同理将O中第二列的元

素a⑵a22换成常数项b2,可得到另一个行列式，用字母4

表示，于是有

D,=b[

a2\b2

按二阶行列式的定义，它等于两项的代数和：q也-％如这就

是公式（2）中々的表达式的分子.

于是二元方程组的解的公式又可写为

演二2

D其中DwO

P2

工2=~D

3xt-2x,=12

例1.解线性方程组.~.

2x1+x2=\

aX

\\\++。13工3=仇

同样，在解三元一次方程组（a2]x}+a22x2+a23x3=b2时，要用

。3内+。32%+。33工3=力3

到“三吩行列式”，这里可采用如下的定义。

二、三阶行列式的定义

—+%马+%3%3=仄

+

设三元线性方程组.。23工3=打

b

。314+。32工2+々33%3=3

用消元法解得

.一」。4塞十幺+%也——4%小—aiA^aa-多

1%A/33+为必知+%%心-%1立%-%/2*33-%如知

._。他%+恒®知也一。他3可一如2自3一曲知

“2—

+0120/31+°/21aM一0】】%032—aUa21aJi~^22^51

▼_%产地十°田尹31+加%。彗-外力尹号-。口出也~^2^31

勺一1

+4切曲1+//邱%-®知%一%小知_如心的

定义设有9个数排成3行3列的数表

a

2122

记

=aaa+aaa

D\\22yy]223i\+“13%1“32—”13422〃31—4l〃23a32一”12a21。33，称为

三阶行列式，则

D、31D.5

得-----------,Z-------------

D23D69D69

第二节全排列及其逆序数

弓I例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复的

三位数？

一、全排列

把n个不同的元素排成一列，叫做这〃个元素的全排列（简

称排列）.

可将〃个不同元素按1~〃进行编号，则〃个不同元素的全

排列可看成这〃个自然数的全排列.

〃个不同元素的全排列共有"!种.

二、逆序及逆序数

逆序的定义：取一个排列为标准排列，其它排列中某两个

元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称有一

个逆序.

通常取从小到大的排列为标准排列，即1~〃的全排列中取

123…1）〃为标准排列。

逆序数的定义:一个排列中所有逆序数的总数称为这个排

列的逆序数。

逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称

为奇排列，标准排列规定为偶排列.

例1:讨论1,2,3的全排列。

全排列123231312132213321

逆序数022113

奇偶性偶奇

逆序数的计算：设PP2…p〃为123…的一个全排列,则

其逆序数为fi+G+，・,+"以。

i=l

其中0为排在Pj前，且比Pj大的数的个数.

例2:求排列54321的逆序数。

解：t=O,t2=1J3=2,r4=3,r5=4,力=£匕=10.

jsl

(对于逆序数的计算介绍另一种算法)

第三节〃阶行列式的定义

下面可用全排列的方式改写二阶，三阶行列式.

二价行列式即""=〃1M22-《2。21

。21。22

41a\2L

=442一%%=Z(—1)乜/2〃,・

对42-

其中：①PR?是12的全排列，②/是pm?的逆序数，③

Z是对所有1,2的全排列求和。

三价行列式

aila\20I3

Z)=出1a22a23=a\\a22a33+^12^23^31+^13^21^32

a3\。32。33

—43a22。31一。11。23。32一。12。21。33

其中：①P[P2P3是1,2,3的全排列,②f是P[P2P3的逆序数,

③Z是对所有1,2,3的全排列求和.

%42%3

“21。22。23=2(—1)"pi"?'?/。」

41032033

其中：①PR…P”是L2，…,〃的全排列，②f是Pm…P”的逆

序数，③工是对所有1,2,…，〃的全排列求和。

0001

例1。计算对角行列式：°°2°(24)

0300

4000

例2o证明对角行列式(其对角线上的元素是4,未写出

的元素都为0)

44

n(n-l)

2=4/乜二(-1)丁44…儿

证明：按定义式

4423

=44=.-=44…4

一•.二4

4

%

4

「=(_])'=(一1)""(一1)皿44

4

44

n(n-l)

=3=(一1)244…4

例3.证明下三角行列式

证明：按定义式得

。330

a220

aM%。43='-=aa--a.

£>=%-22l}22nf)

aaa

42(3…nnq3n4…„n

以上，〃阶行列式的定:义式,是利用行列三1的第一行元素来定

义行列式1的，这个式勺上通常称为行列式羽彳第一行元素的展开

式。

小结：

1.二三阶行列式的定义；

回顾和小结

2o全排列及其逆序数；

3o〃阶行列式的定义。

思考题：

1-23|

1.计算三阶行列式-89

复习思考题或作业4-5q

题

2o求排列54321的逆序数.

作业题：

习题一：第1(1,3)、2(2,4,6)

1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全

排列及的定义概念，会计算二、三阶行列式；

实施情况及分析2o对其逆序数等方面的应用有待加强.

第（2）次课授课时间（）

教学章节第一章第四、五节学时2学时

教材和

参考书《线性代数》（第4版）同济大学编

1.教学目的：掌握对换的概念；掌握九阶行列式的性质，会利用〃阶行列

式的性质计算”阶行列式的值；

2.教学重点：行列式的性质；

3.教学难点：行列式的性质.

1.教学内容：对换；行列式的性质；

2.时间安排：2学时；

3.教学方法：讲授与讨论相结合；

4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.

基本内容备注

第四节对换

对换的定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素

不动，这种作出新排列的彳续叫做对换.

将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.

伊］：4•••〃/••乃----%…qbabi・・・b0

定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇

偶性.

推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，

偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。

证明：由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的

变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0）,因此知推论成

立

定理2:〃阶行列式为：

许品…《3

%a22…。23z

V（|V）。小…%

••・•・♦••••••=ZT

%a*…%

其中f为PR…P”的逆序数.

（以4阶行列式为例，对证明过程作以说明）

(补充)定理3〃阶行列式也可定义为

%%2…弓3

“21022…43”、

=Z(-1)aa^-a

•・••••••••piqp

册见2…册

其中P1P2…P”和0%…么是两个〃级排列，/为行标排列逆

序数与列标排列逆序数的和。

练习：试判断怎外/42a56%和一%久怎%%%是否都是

六阶行列式中的项。

第五节行列式的性质

转置行列式的定义

孙心…时%如%

记D=°”""…a2nDr-ana22•••an2(0)

•♦・・・♦♦・・・♦•■••■••・・・・・・

an\an2…ann为“%”…%n

行列式。『称为行列式D的转置行列式(依次将行换成列)

一、〃阶行列式的性质

性质1:行列式与它的转置行列式相等。

由此知，行与列具有同等地位。关于行的性质，对列也同

样成立，反之亦然.

jr.abac

如1：D=DT=

cdbd

以々表示第/行，j表示第7列.交换两行记为工一力

交换i,j两列记

作q—c「

性质2:行列式互换两行（列），行列式变号。

推论：行列式有两行（列）相同，则此行列式为

零.

性质3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数k,

等于用数k乘以该行列式。

推论：行列式的某一行（列）所有元素的公因子

可以提到行列式符号外.

性质4：行列式中有两行（列）的元素对应成比例，

则此行列式为零。

性质5:若行列式中某一行（列）的元素都是两数之

和，则此行列式等于两个行列式之和.

性质6：把行列式某一行（列）的元素乘以数Z再加

到另一行（列）上，则该行列式不变.

二、九阶行列式的计算：

2-512

-37-14

例1。计算0=,007

D-yz/

4-612

2-5121-5221-522

-37-14-17-34呼02-16

角子：D=

5-9272-957嬴0113

4-6121-6420-120

1-5221-522

r

2j_003o__0-120八

=-9•

一00330030

0-1200003

abbb。+3方a+3b«+3力a+3b

babbr*babb

例2.9=

bbabbbab

bbbabbba

111

rx—1111

1

a+3bba7b*oa-b0(

=(〃+3b),二(a+3b)

bb7b/=2,3,4,00a-b

bb2a000a--b

=(a+3b)(a-b)。

（推广至〃阶，总结一般方法）

p+qq+rr+pPq

例3o证明：A+44+44+Pi=2P\<7i八。

“2+%%+R弓+P2P2%r2

pq+rr+pqq+rr+p

左端，列

证明:Pi5+。r+<7id+44+Pi

性质5\+Pi

P292+Gr2+P2%%+Gr2+Pi

Pq+rrqr〃qrqrP

P\5+4+%r\4+Pl=Pl%+%P\

Pi%+弓r2%r2弓+P2Pl%r2%GPi

Pqr

2Pldq。

Pi%ri

例4。计算2〃阶行列式。

ab

ab

ab

D==(ad-be)"

cd

cd

cd

(利用递推法计算)

即…

0

aa

例5。D=k\…kk

cn…如…配

%…Cnkbnl…幻

b\\…纵

…a\k

=det[%)=,D2=det0.)=

曲…%久…

证明：D=D。

小结：

对换和〃阶行列式的性质与计算

回顾和小结

1o对换的定义及两个定理；

2,〃阶行列式的性质与计算；

思考题：

1.把排列54132作一次对换变为24135,问

相当于作几次相邻对换？把排列12345作偶

数次对换后得到的新排列是奇排列还是偶排

复习思考题或作业

题列？

Qaba

计算：

2oa0a[yo

D=

ba0a

aba0

作业题：

习题一：第3,4(2,4),5(2,4,5)

1o通过学习学员掌握了〃阶行列式的定义和

对换的概念；

实施情况及分析2o对利用〃阶行列式的定义和对换等方面的

应用有待加强.

第（3）次课授课时间（）

教学章节第一章第六节学时2学时

教材和

参考书1o《线性代数》（第4版）同济大学编;

1.教学目的：了解余子式和代数余子式的概念；掌握行列式按行（列）

展开;

2.教学重点：行列式按行（列）展开；

3.教学难点：行列式按行（列）展开。

1.教学内容：行列式按行（列）展开；

2.时间安排:2学时；

3.教学方法：讲授与讨论相结合；

4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。

基本内容备注

第六节行列式按行（列）展开

定义在〃阶行列式中，把元素为所处的第，•行、第j列划去,

剩下的元素按原排列构成的拉-1阶行列式，称为陶.的余子式，记

为%;而％=（-1产/称为%的代数余子式.

引理如果〃阶行列式中的第，行除与外其余元素均为零，

4…%…4”

即：•

D=0…%…0

・・

*.%…4“

则：。=传&.

许0…0

a

为2：…aIn

证先证简单情形：D=

44…a1n

再证一殳情形：

与0••0

八“1为可】••

D----------------------------(-

Cj—3.…qOq

%"

定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的

代数余子式乘积之和，即

按行：《4+《242+…+ainAJn=0（，*j）

按列：即Aj+出4_/+…+。汽=0（iWj）

证：

（此定理称为行列式按行（列）展开定理）

解:

-6

-1

7

2-11001

-12-12

…+7・・・

解：Dn=・・・

2-12-1

-12-12

22

-1-1

林M一讦量即

+皿-1广

2-1

-12

Dn=72+1o

从而解得Dn=n+\o

伊13.证明范德蒙行列式

11

芭x2

2X：石=n（一）

心i>j>\

其中，记号“n”表示全体同类因子的乘积。

证用归纳法

1

因为。2

=x2-\=na-)

所以，当〃=2n=2时，（4）式成立.

现设（4）式对〃-1时成立，要证对〃时也成立.为此，设法

把降阶；从第〃行开始，后行减去前行的为倍，有

ii11

0x2-x}匕一七

刍（七-内）

9=0x2(x2-x,)

0

0月-2小一3)

（按第一列展开，并提出因子毛-2）

=(x2-x,Xx3-x1)---(xrt-x1)（〃-1）阶范德蒙行列式

<2

由暇设_

=…（匕一石）n（七一巧）二n\xi-xj）

n>i>j>2n>i>j>\

定理的推论行列式一行(列)的各元素与另一行(列)

对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即

aaAji+Ad+…+q”4〃=0。士/)

按列：即A/+%%+•,•+=0(iwj)

结合定理及推论，得

A=%，£“A=%,其中4=［：：；］?.

k=ik=\手J)

53-120

17252

例4.计算行列式0=0-2310的值。

0-4-140

02350

小结：

行列式按行（列）展开.

回顾和小结

1.余子式和代数余子式的概念；

2o行列式按行（列）展开；

123

-A〜、120…0

心考题：设：£>=1o30,

100…九

复习思考题或作业题

求第一行各元素的代数余子式之和

作业题：

习题一：第7（2,3,5,6）

1.通过学习学员理解了余子式和代数余子

式的概念，掌握行列式按行（列）展开；

实施情况及分析

2o对利用行列式按行（列）展开的方法计

算行列式等方面的应用有待加强.

第（4）次课授课时间（）

教学章节第一章第七节学时2学时

教材和

参考书《线性代数》（第4版）同济大学编

1.教学目的：了解克拉默法则的内容，了解克拉默法则的证明，会利用克

拉默法则求解含有〃个未知数〃个方程的线性方程组的解；

2.教学重点：克拉默法则的应用；

3.教学难点：克拉默法则的应用。

1.教学内容：克拉默法则；

2.时间安排：2学时；

3.教学方法：讲授与讨论相结合；

4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。

基本内容备注

第七节克拉默法则

含有〃个未知数玉,马，…，当的〃个方程的线性方程组

即2+见通+…〃3”=h

=b

a2lxl+a22x2+--a2nx22(1)

q内+32二2

与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用〃阶行列式表示。

定理1（Cramer法则）如果线性方程组（1）的系数行列式不等

于零，即

…a\n

D=.......................工0,

anl…%

则方程组（1）有且仅有一组解：

丫-。r.2…r_旦_⑵

其中1,2,..,〃）是把系数行列式。中的第j列的元素用方程组

右端的常数列代替，而其余列不变所得到的〃阶行列式

%…%

。21…42.J-14a2M…%

2;

〃4川…与

。正明在第二章）

当。也，…也全为零时,即

《内+%2%2+.•%%=0

a2ixl+a22x2+--a2nx2=0

。“内+。”2/+…。3”=°

称之为齐次线性方程组.显然，齐次线性方程组必定有解

（X1—0,X2~0,…,X”—0）o

根据克拉默法则，有

1.齐次线性方程组的系数行列式。工0时，则它只有零解

（没有非零解）

2.反之，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式

D=0.

例1.求解线性方程组

解：系数行列式

21-51

-33

1-30--6==270

1)=。

02-12-7-2

20-10

同样可以计算

81-5128-51

9-306*190-6*

Q==81D,==-108

-52-120-5-12

04-7610-76

218121-58

1-39-61309

R==-27'D.=.=27,

02-5202-1一:

140614-70

队=7…*=1.

所以9了3=1

再吟=3,D

注意：

1o克莱姆法则的条件：〃个未知数,〃个方程，且。工0

2.用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方

程组。

3o克莱姆法则具有重要的理论意义。

4o克莱姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之

间的依存关系。

例2o用克拉默法则解方程组

3x,+5X2+2X3+X4=3,

3x,+4x.=4,

+x2+xy+x4=\1/6,

[xt-x2-3xy+2X4=5/6.

例3.已知齐次线性方程组

(5-2)x+2y+2z=0

'2x+(6-2)y=0

2x++(4-2)z=0

有非零解，问几应取何值？

解系数行列式

D=(5-2)(2-/l)(8-A)

由：D=0,得4=2、4=5、4=8.

小结：

克拉默法则。

回顾和小结

1.内容；

2.应用.

思考题：当线性方程组的系数行列式为零时，

能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方

复习思考题或作业题程组的解为何？

作业题：

习题一第8(2)、9(2,4)

1.通过学习学员理解了解克拉默法则的内

容，了解克拉默法则的证明，会利用克拉默

法则求解含有〃个未知数〃个方程的线性方程

实施情况及分析

组的解；

2。对利用克拉默法则等方面的应用有待加

强。

第（5）次课授课时间（）

教学章节第二幸第一、二节学时2学

时

1.《线性代数》（第四版）同济大学编；2o同济大学胡一

教材

鸣编《线性代数辅导及习题精解》；3o孙建东等编《线性代

和参考书

数知识点与典型例题解析》。

1o教学目的：了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算；

2.教学重点：矩阵的概念和矩阵的运算；

3.教学难点：矩阵的概念和矩阵的运算.

1.教学内容:矩阵；矩阵的运算；

2o时间安排安学时;

3.教学方法：讲授与讨论相结合；

4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.

基本内容备注

第一节矩阵

一、矩阵的定义

称川行、〃列的数表

a\\a\2…a\n

a2\a22a2n

am\am2…amn

为根x〃矩阵，或简称为矩阵；表示为

«][《2…“I”'

%。22…生〃

A=■••・・・・・・・・・

\am\am2…amn>

或简记为力=(%)…，或A=(%)或A*“；其中%表示A中第，行，第/

列的元素。

a\\a\2…a\n

其中行列式D=%l%…%为按行列式的运算规则所

♦・・・・・・・・•・・

a

m\am2…amn

得到的一个数；而〃2X〃矩阵是mx〃个数的整体，不对这些数作运

算。

例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应

的矩阵。

设4=(%)…，8=(%)〃““都是mx〃矩阵，当

4”=%(i=L2…，第，八L2,…，加)

则称矩阵A与8相等，记成A=8。

二、特殊形式

〃阶方阵：n^n矩阵

行矩阵：lx〃矩阵（以后又可叫做行向量），记为

A=（卬巴,…，4）

列矩阵：机xl矩阵（以后又可叫做列向量），记为

2

B=：

A.;

零矩阵：所有元素为o的矩阵，记为o

对角阵：对角线元素为A，%-%，其余元素为。的方阵，记

为

X、

/=4..=&ag（44.…区）

单位阵：对角线元素为1,其余元素为。的方阵，记为

‘1]

1

E=.

三、线性变换的系数矩阵

线性变换的定义：设变量M,必，…,几能用变量修，々，…，居线性

表示，即

必=《西+42%2+•••《/〃

aXaX

<y2=+222+"'2nn

J加=41石+为2%2+・・七皿再

这里a.,（z=1,2,…，肛）=1,2,为常数。这种从变量再,工2，…，xn

到变量%,为，・・・，%的变换称为线性变换。

线性变换由m个〃元函数组成，每个函数都是变量的一次暴,

故而称之为线性变换。

上式的系数可构成一个WX〃矩阵

A=%"22…"2〃称之为线性变换的系数矩阵。

・•・•・・•・・・•・

，

、4川4fl2…amn>

线性变换和系数矩阵是一一^对应的。

如，直角坐标系的旋转变换(变量(x,y)到变量(£»)的变换)

x'=cos/+sin办

y=-sinfir+cos^y

cosO

的系数矩阵为A=

「sin。

恒等变换

y=西

力二工2

y，“=

的系数矩阵为

例。E=

1

^+al2x2+--alnxn=0

ax+ax+•••。2”工”=0

同样，齐次线性方程组1}}222

《川内+4m2%2+・・・6〃，/〃=°

与系数矩阵A=的〃，也是——'对应的.

%]2+62工2+...6,3〃一4

a2xx^a22x2+--a2nxn=b2

非齐次线性方程组j

、区“内+册2工2+…《”/〃=图

Q”《2。加瓦

与增广矩阵A=的%2⑸久也是一一对应的.

amlamn)

第二节矩阵的运算

一、加法

设A=(%)…，BUS"",都是阳X〃矩阵，则加法定义为

如42+々2…+2〃

a

2\+、21。22+。22…。2n+%

♦•・・♦・♦・・•・♦

a

<n,\+%an2+bm2…amn+bmn)

显然,

①A+5=B+4,②(A+B)+C=A+(B+A)

二、数乘

设4是数，A=是"X〃矩阵，则数乘定义为

、九%助”,2…而〃r〃，

显然

①如)4=%(〃)4,②(4+〃)A=/U+M,③4(A+B)=Z4+>W

三、乘法

乘法运算比较复杂，首先看一个例子

设变量I/到变量丸，々，与的线性变换为

石=411+仇2,2

'X2="2/1+。22,2

X3=4/1+人32,2

必=al]x]+a]2x2^ai3x3

变量4工2，七到变量凹，力的线性变换为,

y2=a21X]+a22x2+a23x3

那么，变量02到变量几％的线性变换应为

J71="11011。+b12,2)+。12(。21。+%，2)+。13031|+^32^2)

Jl=。21(6[£+々2/2)+。22(仇/|+、22£2)+。23("3/1+Az/Z)

即

M=(〃1岛+%2b21+%3b3)】+(all"12+%2b22+^13^32^2

y=(。2占I+a22b2T+a2341bl+(〃2瓦+”22%+^23^32X

定义矩阵

、々।42

a\2

0和演b22

%〃22

也^2)

的乘积为

43

6也I+ab+%3砥。1也2+42b22+《3%

b2\b22l22l

CI।।+Ct,72^21+^^3^31。2'b])++“23”3,

[既^32；

按以上方式定义的乘法具有实际意义。由此推广得到一般定义

设4=(%)…B=(与)…则乘法定义为

AB=C

其中C=(cjy)mx„

&=%仇)+《2〃2,+=Z纵%

k=\j=l,2,…，丐

注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数