专题11 平行的性质及判定（解析版）

专题11平行的性质及判定考点：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能与题目中原有的条件联系在一起．题型一加截线（连接两点或延长线段相交）1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.求证：∠BFE＝∠FEC.（第1题）【答案】证明：(方法一)连接BC，如图①.因为AB∥CD，所以∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．又因为∠ABF＝∠DCE，所以∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，即∠FBC＝∠ECB.所以BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．所以∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．(第1题)(方法二)延长AB，CE相交于点G，如图②.因为AB∥CD，所以AG∥CD.所以∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．又因为∠ABF＝∠DCE，所以∠ABF＝∠G.所以BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．所以∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．题型二过“拐点”作平行线a．“”形图2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．（第2题）【答案】解：(方法一)过点P作射线PN∥AB，如图①.∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.(方法二)过点P作射线PM∥AB，如图②.∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.(第2题)b．“”形图3．（1）如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，求∠BCD的度数．（2）如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．（3）如图②，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．（第3题）【答案】解：(1)过点C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.∴∠BCF＝180°－∠B＝180°－135°＝45°.又∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠FCD＝180°－∠D＝180°－145°＝35°.∴∠BCD＝∠BCF＋∠FCD＝45°＋35°＝80°.(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：过点C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°.∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.c．“”形图4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？（第4题）【答案】解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作CF∥AB.(第4题)∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.d．“”形图5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．（第5题）【答案】解：如图，过点C作CF∥AB.∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝72°.(第5题)题型三平行线间多折点角度问题探究6．（1）在图①中，AB∥CD，则∠BEF＋∠FGD与∠B＋∠EFG＋∠D有何关系？（2）在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？（第6题）【答案】解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：过折点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，如图，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，所以∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(第6题)(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.考点2：与三角形有关的角度的计算，通常是以三角形的内角和定理及其推论为基础，有时还与平行线的性质和判定进行综合．常见的考查形式有：由已知角直接求角的度数，设未知数求角的度数，与三角尺或直尺有关的角度计算，与截取或折叠有关的角度计算，与平行线的性质和判定有关的角度计算．题型一由已知角直接求角的度数1．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝50°，则∠C的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°（第1题）（第2题）【答案】D2．如图，AB∥CD，∠A＝46°，∠C＝27°，则∠AEC的大小应为（）A．19°B．29°C．63°D．73°【答案】D题型二设未知数求角的度数3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ACB的平分线交AB于点D，已知∠DCB＝2∠B.求∠ADC的度数．（第3题）【答案】解：因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠DCB.设∠B＝x°，则∠ACD＝∠DCB＝2x°，由题意，得x＋4x＋90＝180.解得x＝18.所以∠B＝18°，∠DCB＝36°.所以∠ADC＝∠B＋∠DCB＝18°＋36°＝54°.4．在△ABC中，∠B＝55°，且3∠A＝∠B＋∠C，求∠A和∠C的度数．【答案】解：设∠A＝x°，则∠B＋∠C＝3x°.因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以x°＋3x°＝180°.解得x＝45.所以∠A＝45°，∠B＋∠C＝135°.又因为∠B＝55°，所以∠C＝80°.题型三与三角尺或直尺有关的角度计算5．将一副三角尺按如图所示方式摆放，点C在EF上，AC经过点D.已知∠A＝∠EDF＝90°，AB＝AC，∠E＝30°，∠BCE＝40°，则∠CDF＝.（第5题）（第6题）【答案】25°6．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形纸片的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2－∠1＝.【答案】90°题型四与截取或折叠有关的角度计算7．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于（）A．360°B．250°C．180°D．140°（第7题）【答案】B（第8题）8．如图，将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠2＝65°，则∠1＝.【答案】130°点拨：∠1＝2∠2＝2×65°＝130°.9．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′的位置上，EC′交AD于点G，若∠EFG＝60°，试求∠BEG的度数．（第9题）【答案】解：因为四边形ABCD是长方形，所以AD∥BC.所以∠CEF＝∠EFG＝60°.所以∠CEG＝2∠CEF＝120°.所以∠BEG＝180°－∠CEG＝180°－120°＝60°.题型五与平行线的性质和判定有关